Return to Video

Визуализиране на приближенията на функция с ред на Тейлър

  • 0:01 - 0:03
    Доста говорихме за
    използването на полиноми
  • 0:03 - 0:06
    за апроксимиране на функции,
    но сега в това видео искам
  • 0:06 - 0:09
    искам да покажа как реално
    работи апроксимирането.
  • 0:09 - 0:12
    Ето тук използвам
    инструмент на WolframAlpha.
  • 0:12 - 0:13
    Това е страхотен уебсайт.
  • 0:13 - 0:15
    Можеш да правиш всякакви
    шантави математически неща.
  • 0:15 - 0:21
    WolframAlpha.com – копирах
    и поставих това от този сайт.
  • 0:21 - 0:24
    Срещнах Стивън Волфрам на
    конференция преди много време.
  • 0:24 - 0:26
    И той ми позволи да използвам
    WolframAlpha в моите видео уроци.
  • 0:26 - 0:27
    И аз казах, супер,
    ще ги използвам.
  • 0:27 - 0:29
    И ето сега го правя.
  • 0:29 - 0:30
    Това е много полезно, защото...
  • 0:30 - 0:33
    можем да сметнем много
    от тези сами, или даже
  • 0:33 - 0:34
    с помощта на калкулатор.
  • 0:34 - 0:37
    Но тук на WolframAlpha това
    става само в една стъпка.
  • 0:37 - 0:44
    Да видим колко добре можем
    да апроксимираме синус от х с помощта
  • 0:44 - 0:46
    на развиване на ред на Маклорен,
  • 0:46 - 0:49
    или можем да кажем с
    развиване на ред на Тейлър
  • 0:49 - 0:52
    за х = 0 с използване
    на все повече и повече членове.
  • 0:52 - 0:54
    И да се убедим, че
  • 0:54 - 0:59
    колкото повече членове добавяме,
    толкова по-добре приближаваме кривата.
  • 0:59 - 1:03
    Това в оранжево тук е
    графиката на sin(х).
  • 1:03 - 1:07
    Би трябвало да ти е
    добре познато.
  • 1:07 - 1:08
    В предишните видео уроци
    намерихме
  • 1:08 - 1:12
    развиването на реда на Маклорен
    за sin(х).
  • 1:12 - 1:15
    WolframAlpha също може
    да го направи за нас.
  • 1:15 - 1:17
    Те всъщност изчисляват
    факториелите.
  • 1:17 - 1:22
    3! е равно на 6, 5! е равно на 120,
    и така нататък.
  • 1:22 - 1:23
    Интересното тук е, че
  • 1:23 - 1:27
    можеш да избереш колко апроксимации
    искаш да бъдат изобразени.
  • 1:27 - 1:30
    Това, което правят, ако
    искаш само един член
  • 1:30 - 1:32
    на апроксимацията...
  • 1:32 - 1:33
    ако всичко това тук го няма.
  • 1:33 - 1:37
    Ако кажем, че полиномът
    е равен просто на х,
  • 1:37 - 1:38
    как ще изглежда това?
  • 1:38 - 1:40
    Това ще бъде тази графика
    ето тук.
  • 1:40 - 1:42
    Казват ни за кой член...
    колко членове
  • 1:42 - 1:45
    използваме чрез това колко точки
    има тук, което мисля,
  • 1:45 - 1:47
    че е много умно.
  • 1:47 - 1:53
    Значи това тук, това е
    функцията р(х) = х.
  • 1:53 - 1:54
    Това е много груба апроксимация,
  • 1:54 - 1:56
    макар че за sin(х)
    не е толкова зле.
  • 1:56 - 2:00
    Тя съвпада с графиката
    на sin(х) ето тук
  • 2:00 - 2:04
    и след това се отдалечава
    от кривата отново.
  • 2:04 - 2:05
    Добавяме още един член.
  • 2:05 - 2:09
    Ако имаме х – х^3/6.
  • 2:09 - 2:13
    Сега имаме два члена
    в развития полином.
  • 2:13 - 2:17
    Или можем да кажем, че
    сме до члена от трета степен,
  • 2:17 - 2:19
    защото те така номерират
    точките.
  • 2:19 - 2:21
    Тук не става въпрос за
    броя на членовете.
  • 2:21 - 2:23
    Те отразяват степента
    на членовете.
  • 2:23 - 2:25
    Тук има една точка,
    защото
  • 2:25 - 2:28
    имаме само член от
    първа степен.
  • 2:28 - 2:30
    После тук имаме два члена,
    тъй като...
  • 2:30 - 2:32
    когато развием за sin(х),
  • 2:32 - 2:34
    тук няма член от втора степен.
  • 2:34 - 2:40
    Това е апроксимация
    с полином от трета степен.
  • 2:40 - 2:41
    Да видим за трета степен.
  • 2:41 - 2:43
    Търсим три точки.
  • 2:43 - 2:44
    Това е тази крива ето тук.
  • 2:44 - 2:47
    Имаме този пръв член,
  • 2:47 - 2:48
    това е просто права линия.
  • 2:48 - 2:52
    Добавяме –х^3/6.
  • 2:52 - 2:57
    Сега получаваме крива,
    която изглежда ето така.
  • 2:57 - 3:01
    Обърни внимание, че тя се приближава
    още по-добре от преди.
  • 3:01 - 3:03
    И имаме съвпадение
    в малко по-голям участък.
  • 3:03 - 3:05
    Повтарям, като добавим
    само този втори член,
  • 3:05 - 3:07
    това става много по-добре.
  • 3:07 - 3:09
    Приближава се до кривата
    на синуса по-добре,
  • 3:09 - 3:11
    особено около малките числа.
  • 3:11 - 3:13
    Добавяме още един член.
  • 3:13 - 3:18
    Сега имаме полином
    от пета степен.
  • 3:18 - 3:23
    Значи х – х^3/6 + x^5/120.
  • 3:23 - 3:25
    Да намерим пет точки.
  • 3:25 - 3:28
    Това е ето тази крива -
    едно, две, три, четири, пет.
  • 3:28 - 3:30
    Това е ето тази крива.
  • 3:30 - 3:34
    Забележи, че тя съвпада с
    графиката по-напред
  • 3:34 - 3:36
    от цикламената версия,
    и продължава
  • 3:36 - 3:43
    да върви с нея по-дълго.
  • 3:44 - 3:46
    После се обръща ето така.
  • 3:46 - 3:47
    Значи съвпада
    по-продължително.
  • 3:47 - 3:50
    И ще видиш, че аз
    продължавам.
  • 3:50 - 3:52
    Ако имаме тези първи
    четири члена,
  • 3:52 - 3:56
    това е полином от седма степен.
  • 3:56 - 3:58
    Да намерим седем точки.
  • 3:58 - 4:02
    Те идват ето така.
  • 4:02 - 4:06
    Отново, съвпада с графиката
    на функцията по-рано,
  • 4:06 - 4:07
    отколкото когато имахме
    само три члена.
  • 4:07 - 4:13
    И продължава да върви с
    графиката на функцията чак до тук.
  • 4:13 - 4:14
    И сега последната.
  • 4:14 - 4:16
    Ако имаме всичките тези
    членове до х^9,
  • 4:16 - 4:17
    съвпадението
    е още по-голямо.
  • 4:17 - 4:18
    Започваме от тук.
  • 4:18 - 4:20
    Съвпада с графиката по-дълго
    от другите
  • 4:20 - 4:21
    и се отделя.
  • 4:21 - 4:22
    И ако помислиш,
    това е логично,
  • 4:22 - 4:28
    защото всеки следващ член,
    който добавяме към полинома,
  • 4:28 - 4:32
    има х на по-висока степен
    върху много,
  • 4:32 - 4:35
    много по-голямо число.
  • 4:35 - 4:38
    За малките стойности на х...
    когато сме близко до началото,
  • 4:38 - 4:41
    за малките стойности на х,
  • 4:41 - 4:44
    знаменателят ще е по-голям
  • 4:44 - 4:46
    от числителя, особено
    под 1.
  • 4:46 - 4:48
    Защото, когато повдигнем
    на степен нещо,
  • 4:48 - 4:50
    чиято абсолютна стойност
    е по-малка от 1,
  • 4:50 - 4:52
    всъщност ние го смаляваме.
  • 4:52 - 4:54
    Така че, когато сме близо
    до началото,
  • 4:54 - 4:56
    тези членове отзад нямат
    голямо значение.
  • 4:56 - 4:59
    Един вид не губим много
  • 4:59 - 5:01
    от прецизността
    на предишните членове.
  • 5:01 - 5:03
    Когато дойдат тези членове,
  • 5:03 - 5:06
    тогава числителят вече
  • 5:06 - 5:09
    може да е по-голям
    от знаменателя.
  • 5:09 - 5:15
    Така този последният член
    започва да оказва влияние,
  • 5:15 - 5:20
    когато изведнъж х^9 става
    по-голямо от 362 880.
  • 5:20 - 5:22
    Същото става и в
    отрицателната страна.
  • 5:22 - 5:24
    Надявам се, че
    разбираш логиката.
  • 5:24 - 5:27
    Тук имаме само един, два,
    три, четири, пет члена.
  • 5:27 - 5:31
    Но представи си какво става,
    когато имаме безкраен брой членове.
  • 5:31 - 5:32
    Мисля, че разбираш добре,
  • 5:32 - 5:37
    че това ще следва плътно
    графиката на синус до безкрайност.
  • 5:37 - 5:39
    Надявам се, че това
    ти дава малко повече увереност.
  • 5:39 - 5:42
    И просто за забавление, можеш
    да напишеш...
  • 5:42 - 5:44
    можеш да въведеш ред
    на Тейлър около нула
  • 5:44 - 5:48
    и синус от х, или ред
    на Маклорен за синус х,
  • 5:48 - 5:50
    за косинус от х, за е^х
  • 5:50 - 5:52
    на WolframAlpha.com.
  • 5:52 - 5:55
    Можеш да пробваш куп
    различни функции.
  • 5:55 - 5:58
    И можеш да добавяш и
    да махаш членове,
  • 5:58 - 6:01
    за да видиш как се променя
    съвпадението с графиката на функцията.
Title:
Визуализиране на приближенията на функция с ред на Тейлър
Description:

Колкото по-висока е степента на полинома на Тейлър, толкова по-добре той апроксимира функцията. Виж това в действие с функцията sin(x) и ред на Тейлър. Създаден от Сал Кан.

Гледай следващия урок: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-power-series/v/function-as-a-geometric-series?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign = APCalculusBC

Пропусна предишния урок? https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-maclaurin-series/v/recognizing-function-from-taylor-series?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC

Кан Академия е организация с нестопанска цел и с мисията да предоставя свободно образователни материали на световно ниво за всеки и навсякъде. Предлагаме тестове, въпроси, видео уроци и статии върху голям набор от академични дисциплини, включително математика, биология, химия, физика, история, икономика, финанси, граматика, предучилищно образование и други. Ние предоставяме на учителите инструменти и данни, така че да могат да помогнат на учениците си да развият уменията, навиците и нагласите за успех в училище и извън него. Кан Академия е преведена на дузина езици и 100 милиона души по целия свят използват платформата на Кан Академия всяка година. За повече информация, посети bg.khanacademy.org, присъедини се към нас във Фейсбук, или ни следвай в Twitter на @khanacademy. И запомни, можеш да научиш всичко.

Безплатно. За всички. Завинаги.
#YouCanLearnAnything

Абонирай се за канала на Кан Академия Математически анализ: https://www.youtube.com/channel/UC5A2DBjjUVNz8axD-90jdfQ?sub_confirmation=1
Абонирай се за Кан Академия България: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademybulgarian
Абонирай се за Кан Академия: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
06:01

Bulgarian subtitles

Revisions Compare revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.