헤론의 공식

세 변의 길이를 알 때 헤론의 공식을 이용해 삼각형의 넓이 구하기

삼각형의 높이와 밑변을 알고 있을 때

삼각형의 넓이를 구하는 일은

모두 할 수 있을 것이다

예를 들어 보다싶이 밑변의 길이가 b이고

여기 삼각형 높이의 길이가 h라면

삼각형의 넓이는 높이 곱하기

밑변 곱하기 1/2와 같을 것이라는 것은

모두 알고 있을 것이란 거다.예를 들어 밑변이 5였고 높이가 6이었다면

예를 들어 밑변은 5이고 높이가 6이라 하면

삼각형의 넓이는 1/2 곱하기 5 곱하기 6해서

30 곱하기 1/2 즉 15라는 넓이가 나올 것이다

이렇게 삼각형의 넓이를 구하는 것보다 알려지지느 않았지만

높이가 주어지지 않았을 때

삼각형의 세변만이 주어졌을 때 넓이를

구할 수 있는 방법을 알아보자

삼각형의 변만을 가지고 어떻게 넓이를 구할 수 있을까?

이 삼각형의 세변을 이와 같이 a,b,c라고 하자

a,b,c는 변의 길이를 나타낸다

이 상황에선 어떻게 알아낼 수 있을까?

이것을 하기 위해서 헤론 공식이라는 것을

적용해 보자

나는 이것을 이번 비디오 후에

다음 번 영상에서 증명을 할 것이다

그래도 아마 증명하기 위해

필요한 도구들은 모두 가지고 있을 것이다

그 도구라 함은 피타고라스 정리와

조금 복잡한 대수문제 풀기이기 때문이야

하지만 지금은 그냥 공식을 보여주도록 하고

어떻게 적용할지를 보여줄게

굉장히 간단하고 외우기 쉽기를 바래

이것으로 사람들에게 자랑하고 싶을 때 써도 좋아

헤론의 공식은 먼저 S라는 변수를 알아내야 해

S는 삼각형의 둘레의 길이를

1/2한 것을 의미해

a+b+c한 것을 2로 나눈 값인 거지

S를 알아내고 나면 여기 이 삼각형의 넓이는

S에 루트를 씌운 것이지

S는 방금 정의한 S를 말하는 거고

루트 S(S-a)(S-b)(S-c)

이것이 헤론의 공식이야

이 조합

보기 좋게 박스를 쳐 볼게

이것이 헤론의 공식이야

조금 복잡해보이기도 해

1/2 곱하기 밑변 곱하기 높이라는 공식보다

조금 더 복잡하지

이제 실제로 한 두개 문제들에 적용해보자

생각보다 그렇게 어렵지 않다는 것을 알 수 있을 거야

삼각형이 있다고 해보자

공식은 여기 놔두도록 할게

내가 삼각형이 있는 데 각 변의 길이가

9,11,16이라 하고

여기에 헤론의 공식을 적용해 보자

S는 삼각형 둘레의 길이의 반이야

즉 9+11+16을 2로 나눈 것이지

9+11은 20이고 거기에 16을 더해주면

36이고 이를 다시 2로 나눠주면 18

헤론의 공식에 의한 삼각형의 넓이는 S

루트 S...18 곱하기 S-a 즉 S-9

18-9 겠지. 여기에 곱하기 (18-11) 곱하기 (18-16)

그리고 이것은 루트 18 곱하기

7 곱하기 2와 같은 것이지

2 곱하기 18은 36이고

다시 한번 정리를 해 볼게

이것은 루트 36 곱하기 9곱하기 7고 같다

루트 36 곱하기 루트 9 곱하기

루트 7과 같은 것이지

36의 제곱근은 6

이것은 3일 거고

우리는 여기서 제곱근이 음수인 것은 다루지 않을 건데

변의 길이가 음수일 수는 없기 때문이지

그래서 이것은 18곱하기

루트 7이 될 것이야

그래서 방금 본 것처럼

헤론 공식을 적용하기 위해서 몇분 밖에 걸리지 않았어

삼각형의 넓이를 구하기 위해서 말이지

여기 보듯이 18 루트7이 넓이인 것처럼 말이지

이 공식이 쓸모 있다고 생각했기를 바래