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Ich denke, es ist allgemein bekannt, wie die Fläche
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des Dreiecks zu bestimmen ist, wenn wir die Länge seiner Grundlinie,
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und seine Höhe kennen.
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So, zum Beispiel, wenn das mein Dreieck ist, und diese Länge gerade
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hier - diese Grundlinie - ist von der Länge b und die Höhe hier ist
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von der Länge h, so ist es allgemein bekannt, dass die Fläche dieses
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Dreiecks gleich 1/2 mal die Grundlinie
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mal die Höhe sein wird.
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So, zum Beispiel, wenn die Grundlinie gleich 5 sei und die Höhe
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sei gleich 6, dann wäre unsere Fläche 1/2 mal 5 mal 6,
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was 1/2 mal 30 ist - das ist gleich 15.
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Nun, weniger gut bekannt ist, wie die Fläche eines
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Dreiecks zu bestimmen ist, wenn nur sind die Seiten des Dreiecks gegeben sind.
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Wenn die Höhe nicht gegeben ist.
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So, zum Beispiel, wie bestimmen Sie ein Dreieck,
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wenn ich Ihnen nur die Längen der Seiten gebe.
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Lassen Sie uns sagen, das ist die Seite a, Seite b und Seite c. a, b und c sind
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die Längen dieser Seiten.
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Wie kommen Sie dann darauf?
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Um das zu tun, werden wir den sogenannten
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Satz des Heron anwenden.
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Aber ich werde das nicht in diesem Video beweisen.
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Ich werde es in einem zukünftigen Video beweisen.
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Um es wirklich zu beweisen, haben Sie vermutlich bereits
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die notwendigen Kenntnisse.
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Es ist eigentlich nur der Satz des Pythagoras und
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schrecklich viel Algebra.
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Aber ich werde Ihnen jetzt einfach die Formel zeigen und wie sie
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angewandt wird, und dann werden Sie es hoffentlich zu schätzen wissen, dass sie
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ziemlich einfach und leicht zu merken ist.
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Und es kann ein schöner Trick sein, um Leute damit zu beeindrucken.
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So der Satz von Heron sagt, man soll zuerst diese dritte Variable
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S herausfinden, die im Wesentlichen der Umfang dieses
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Dreiecks geteilt durch 2 ist.
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a plus b plus c, geteilt durch 2.
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Dann, sobald Sie S bestimmt haben, ist die Fläche des Dreiecks -- dieses
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Dreiecks genau dort -- ist gleich der Quadratwurzel
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aus S -- diese Variable S gleich hier, die Sie gerade berechnet haben --
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mal S minus a, mal S minus b, mal S minus c.
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Das ist Herons Formel gerade hier.
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Diese Kombination.
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Lassen Sie mich das für Sie einrahmen.
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So das hier ist Herons Formel.
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Und wenn das ein wenig entmutigend aussieht - es ist ein wenig
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abschreckender, klar, als nur 1/2 mal Grundlinie
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mal Höhe.
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Lasst es uns mit einem oder zwei konkreten Beispielen versuchen, dann werden wir sehen,
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dass dies eigentlich nicht so schlimm ist.
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Sagen wir also, ich habe ein Dreieck.
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Ich lasse die Formel da oben.
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Sagen wir also, ich habe ein Dreieck, das Seiten
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der Länge 9, 11 und 16 hat.
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Nun wenden wir also Herons Formel an.
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S in dieser Situation wird der Umfang geteilt durch 2 sein.
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So 9 plus 11 plus 16, geteilt durch 2.
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Was gleich 9 plus 11 -- das ist 20 - plus 16 ist
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36, dividiert durch 2 ist 18.
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Und dann ist die Fläche mit der Formel von Heron gleich
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der Quadratwurzel aus S -- 18 -- mal S minus a -- S minus 9.
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18 minus 9, mal 18 minus 11, mal 18 minus 16.
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Und dann ist das gleich der Quadratwurzel von 18
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mal 9 mal 7 mal 2.
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Welches gleich - mal sehen, 2 mal 18 also 36 ist.
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Nun werde ich es nur ein bisschen neu anordnen.
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Dies ist gleich der Quadratwurzel von 36 mal 9 mal 7,
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was gleich der Wurzel aus 36 mal die Quadratwurzel
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von 9 mal die Quadratwurzel von 7 ist.
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Die Quadratwurzel von 36 ist gerade 6.
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Dies ist gerade 3.
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Und wir befassen uns nicht mit den negativen Wurzeln,
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denn man kann keine negative Seitenlängen haben.
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Und so wird das gleich 18 mal
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die Quadratwurzel von 7.
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So einfach, Sie haben es gesehen, es dauerte nur ein paar
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Minuten, um Herons Formel anzuwenden, oder sogar weniger als
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das, um herauszufinden, dass die Fläche dieses Dreiecks
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gerade hier gleich 18 mal die Quadratwurzel von sieben ist.
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Wie auch immer, hoffentlich fanden Sie das einleuchtend.
