-
Ukažme si nalezení
implicitní derivace v praxi.
-
Budeme chtít najít
derivaci y podle x.
-
Předpokládejme, že y je
funkcí proměnné x.
-
Zderivujme podle x obě
dvě strany rovnice.
-
Nalevo vidíme, že je třeba použít
pravidlo o derivaci složené funkce,
-
abychom mohli vypočítat derivaci
x minus y na druhou podle x.
-
Dle tohoto pravidla derivujme nejprve
‚něco‘ na druhou podle toho ‚něčeho‘.
-
Čímž dostaneme
dvakrát x minus y.
-
To celé vynásobíme
derivací ‚něčeho‘ podle x.
-
Derivace
x podle x je 1.
-
A derivaci y podle x hledáme,
proto ji zatím pouze opíšeme.
-
Ještě si jednou trochu ujasněme,
co jsme vlastně provedli.
-
Zde jsme vypočítali derivaci
x minus y na druhou podle x minus y.
-
Tento činitel je pak derivace
x minus y podle x.
-
Šlo jen o pravidlo
o derivaci složené funkce.
-
Podívejme se nyní
na pravou stranu rovnice.
-
Derivace
x podle x je 1.
-
Derivaci y podle x
pouze opíšeme.
-
A konečně, derivace
konstanty podle x je 0.
-
Nyní se pokusme nalézt derivaci
y podle x vyřešením této rovnice.
-
Toto přepišme
jako 2x minus 2y.
-
Poté roznásobme 2x minus 2y
s druhou závorkou.
-
2x minus 2y krát 1
je stále 2x minus 2y.
-
A 2x minus 2y krát minus derivace
y podle x je následující:
-
2y minus 2x to celé krát
derivace y podle x.
-
No a napravo je stále
1 plus derivace y podle x.
-
Nyní můžeme například odečíst
2x minus 2y od obou stran rovnice.
-
Pak odečtěme od obou stran
také derivaci y podle x.
-
Tím jsme dostali všechny
derivace y podle x na levou stranu.
-
Jděme na to.
-
Co nám zbude?
-
Nalevo se toto zkrátí.
-
Zůstane nám součin 2y minus 2x s derivací
y podle x minus 1 derivace y podle x.
-
Můžeme jednoduše
vytknout derivaci y podle x.
-
Dostaneme součin 2y minus 2x
minus 1 s derivací y podle x.
-
Napravo se nám toto odečte.
-
A zbude tam pouze
1 minus rozdíl 2x a 2y.
-
To můžeme napsat například
takto: 2y minus 2x plus 1.
-
K nalezení derivace y podle x vydělme obě
dvě strany rovnice 2y minus 2x minus 1.
-
Tím jsme hotovi.
-
Jak je vidět, tak nejtěžší bylo
algebraicky vyjádřit derivaci y podle x.
-
Derivace y podle x je rovna podílu
2y minus 2x plus 1 a 2y minus 2x minus 1.
