Porównywanie ułamków część 2

u2_l1_t5_we2 Comparing Fractions

Użyj >,< lub = aby porównać dwa ułamki: 21/28

i 6/9. To zadanie można rozwiązać na kilka sposobów.

Najłatwiej jest sprowadzić je do wspólnego

mianownika, a wtedy wystarczy porównać liczniki.

Te dwa ułamki mają różne mianowniki.

Możemy znaleźć wspólny mianownik

dla obu ułamków i przekształcić je

tak, by miały ten sam mianownik, a następnie porównać

liczniki. Jeszcze prościej, możemy

najpierw je uprościć a potem szukać wspólnego mianownika.

Zacznijmy od 21/28, licznik i mianownik dzielą się przez 7.

Podzielimy więc licznik i mianownik przez 7.

21 dzielone przez 7 i 28 dzielone przez 7.

Ponieważ dzielimy i licznik i mianownik przez 7, nie zmieniamy

wartości ułamka. 21 podzielić przez 7 równa się 3,

28 podzielić przez 7 równa się 4.

A zatem 21/28 - 3/4.

Teraz zrobimy to samo z 6/9.

I 6 i 9 dzielą się przez 3.

Podzielmy obie liczby, 6 i 9, przez 3.

Sześć podzielić na 3 równa się 2.

Dziewięć podzielić na 3 równa się 3.

A zatem, 21/28 = 3/4.

A 6/9 = 2/3.

Teraz musimy porównać 3/4 i 2/3.

Zysk z uproszczenia ułamków polega na tym, że łatwiej jest

znaleźć wspólny mianownik dla 3 i 4 niż dla 28 i 9,

bo w tym drugim przypadku trzeba mnożyć duże liczby.

A tu mamy tylko 3 i 4.

Najmniejszy wspólny mianownik dla 3/4 i 2/3 równa się najmniejszej wspólnej wielokrotności (NWW)

dla 4 i 3.

Czwórka i trójka nie mają wspólnych czynników w rozkładzie na czynniki pierwsze,

więc ich NWW jest po prostu iloczynem 3 i 4, 3 razy 4 równa się 12.

Zapiszmy teraz 3/4 jako ułamek o mianowniku 12. 3/4 = /12.

I to samo dla 2/3. 2/3 = /12.

12 otrzymaliśmy mnożąc przez siebie 3 i 4, dlatego że nie mają

one wspólnych czynników w rozkładzie na czynniki pierwsze.

Inaczej, rozkład 4 na czynniki pierwsze to 4 = 2 razy 2.

A 3 jest liczną pierwszą, więc rozkład 3

to po prostu 3.

Liczba, która zawiera wszystkie czynniki pierwsze rozkładu 4 i 3 równa się 2 razy 2 razy 3.

2 razy 2 razy 3 równa się 12. W ten sposób wyliczyliśmy najmniejsza wspólną wielokrotność.

Aby rozszerzyć 4 do 12, trzeba 4 pomnożyć przez 3.

Mnożymy mianownik przez 3, aby dostać 12.

Musimy także pomnożyć licznik przez 3.

3 razy 3 równa się 9.

Aby rozszerzyć 3 do 12, mnożymy mianownik przez 4.

Musimy także pomnożyć licznik przez 4.

4 razy 2 równa się 8.

A zatem 21/28 = 3/4 = 91/2.

A 6/9 = 2/3 = 8/12.

Który z tych dwóch ułamków jest większy?

Ponieważ oba mają ten sam mianownik, większy jest ten ułamek, którego

licznik jest większy. Wiemy, że 9 jest większe od 8.

A więc 21/28 > 6/9.

I zadanie zrobione.

Można to rozwiązać inaczej,

po prostu nie upraszczając ułamków. Spróbujmy to tak zrobić, dla samej przyjemności.

Bez upraszczania mamy 21/28 i 6/9.

Ile wynosi najmniejsza wspólna wielokrotność 28 i 9?

Rozkład na czynniki pierwsze 28 równa się 2 razy 2 razy 7.

Rozkład na czynniki pierwsze 9 równa się 3 razy 3.

NWW z 28 i 9 musi zawierać 2 razy 2 razy 3 razy 3 razy 7,

czyli to samo co 28 razy 9, a to się równa 252.

Wspólny mianownik jest równy 252.

Aby rozszerzyć 28 do 252, musieliśmy pomnożyć

mianownik przez 9, 28 razy 9 równa się 252.

Musimy więc także pomnożyć licznik przez 9.

21 razy 9 równa się 189.

Aby rozszerzyć 9 do 252

pomnożyliśmy mianownik przez 28.

A więc musimy także pomnożyć licznik przez 28.

A 6 razy 28 równa się 168.

Mamy więc wspólny mianownik

i możemy porównać liczniki.

Wiemy, że 189 > 168.

A więc 21/28 > 6/9.