-
Máme funkci y rovná se sekans v bodě
((3π lomeno 2) minus x)
-
a chceme spočítat dy lomeno dx,
tedy derivaci y podle x,
-
a to v bodě
x rovná se π lomeno 4.
-
Jako vždy si zastavte video
a zkuste to vyřešit sami.
-
Vidíme, že zde máme
složenou funkci.
-
Nemáme tu sekans
jenom z ‚x‘,
-
ale z jiného výrazu,
nebo můžeme říct z jiné funkce.
-
Když si tento výraz
označíme například jako u(x),
-
tedy když zadefinujeme u(x) jako
(3π lomeno 2) minus x...
-
Můžeme rovnou spočítat
‚u‘ s čárkou v bodě x.
-
Bude se rovnat...
-
Derivace (3π lomeno 2) je 0,
derivace −x je −1.
-
Použil jsem vlastně
derivaci mocniny,
-
je to 1 krát −1 krát
x na nultou, což je 1.
-
To bychom měli.
-
Na tohle se tedy můžeme dívat jako na
derivaci naší funkce sekans podle u(x)...
-
Když budeme derivovat,
-
tak to bude derivace naší funkce sekans
podle u(x) krát derivace ‚u‘ podle x.
-
Možná si teď říkáte,
jak zderivovat sekans.
-
V jiném videu už
jsme si to dokázali.
-
Mohli byste to
i znovu odvodit.
-
Sekans je jen 1 lomeno kosinus a pak
stačí použít derivaci složené funkce.
-
V jiném videu jsme
si tedy dokázali,
-
že derivace sec(x) se rovná
sin(x) lomeno cos(x) na druhou.
-
Když tedy chceme spočítat
derivaci y podle x,
-
tak to bude derivace naší funkce sekans
podle u(x) krát derivace ‚u‘ podle x.
-
Tak to napišme.
-
Derivace naší funkce
sekans podle u(x)...
-
Místo x musíme
všude napsat u(x),
-
takže to bude
sinus v bodě u(x)...
-
Nemusel bych ani psát u(x), mohl bych
rovnou napsat (3π lomeno 2) minus x,
-
ale napíšu u(x), aby bylo
lépe vidět, co děláme.
-
Sinus v bodě u(x) lomeno
kosinus na druhou v bodě u(x)...
-
Závorky raději udělám stejnou modrou
barvou jako ty goniometrické funkce.
-
...kosinus na druhou
v bodě u(x).
-
Takhle tedy vypadá derivace
naší funkce sekans podle u(x).
-
Podle pravidla o derivaci složené funkce
to ještě musíme vynásobit u(x) s čárkou.
-
Čemu se to nyní
bude rovnat?
-
Jen do
toho dosadím.
-
Toto se rovná...
-
Napíšu to takto.
-
Sinus v bodě u(x), což je
(3π lomeno 2) minus x,
-
za chvilku
to tam napíšu,
-
lomeno kosinus na
druhou v bodě u(x),
-
to celé krát
‚u‘ s čárkou v bodě x.
-
u(x) se rovná
(3π lomeno 2) minus x.
-
Navíc už jsme zjistili, že
‚u‘ s čárkou v bodě x je −1,
-
takže můžu
napsat krát -1.
-
Zatím to
tak nechám.
-
Mohl bych sice
minus napsat dopředu,
-
ale chci, abyste dobře
viděli, co tu dělám.
-
Nyní musíme derivaci vyčíslit
v bodě x rovná se π lomeno 4.
-
x se tedy
rovná π lomeno 4.
-
Toto se rovná
sinus v bodě...
-
Kolik je (3π lomeno 2)
minus (π lomeno 4)?
-
Napíšu to
sem vedle.
-
Když převedeme na společného jmenovatele,
tak to bude 6π lomeno 4...
-
To je totéž jako
3π lomeno 2.
-
...minus π lomeno 4...
-
Pardon, minus π lomeno 4.
-
...což se rovná
5π lomeno 4.
-
Máme tak sinus v bodě (5π lomeno 4) lomeno
kosinus na druhou v bodě (5π lomeno 4),
-
tohle celé krát −1,
což můžu napsat dopředu.
-
Kolik je sinus v bodě (5π lomeno 4)
a kosinus na druhou v bodě (5π lomeno 4)?
-
Sám si to z hlavy nepamatuji,
ale nakresleme si jednotkovou kružnici,
-
pomocí které bychom měli
být schopni zjistit, čemu se to rovná.
-
Takže jednotková kružnice...
-
Zkusím ji načrtrnout,
jak nejlépe umím.
-
Snad mi odpustíte, že moje kružnice
nevypadá zrovna moc jako kružnice.
-
Teď si vyznačme
nějaké úhly.
-
V hlavě si je občas
převádím na stupně.
-
π lomeno 4
je 45 stupňů,
-
tohle je
π lomeno 2,
-
tady je
3π lomeno 4,
-
zde je
4π lomeno 4
-
a 5π lomeno 4 je tady.
-
My teď chceme vědět, ve kterém bodě
tady protínáme jednotkovou kružnici.
-
Je to bod, jehož x-ová souřadnice je
minus odmocnina ze 2 vydělená 2
-
a jehož y-ová souřadnice je také
minus odmocnina ze 2 vydělená 2.
-
Pokud si říkáte,
jak jsem na to přišel,
-
doporučuji si zopakovat jednotkovou
kružnici a některé známé úhly na ní.
-
Najdete to v kurzu trigonometrie
na stránkách Khan Academy.
-
Tohle nám
teď ale stačí,
-
protože sinus je y-ová
souřadnice tohoto bodu,
-
takže tady bude minus
odmocnina ze 2 vydělená 2,
-
a kosinus je x-ová souřadnice, což je také
minus odmocnina ze 2 vydělená 2,
-
kterou mocníme na druhou, takže (minus
odmocnina ze 2 vydělená 2) na druhou.
-
Když tohle umocníme
na druhou, bude to kladné.
-
Odmocnina ze 2 umocněná
na druhou je 2,
-
2 na druhou jsou 4,
-
takže se to rovná
jedné polovině.
-
Jmenovatel se rovná
jedné polovině.
-
V čitateli se tohle minus
pokrátí s tímhle minus,
-
takže nám zbyla odmocnina ze 2
vydělená 2, tomu se rovná čitatel,
-
děleno jedna polovina, což je
totéž jako kdybychom násobili 2,
-
tudíž nám zbyde
kladná odmocnina ze 2.
-
Taková je směrnice tečny ke grafu y rovná
se tento výraz v bodě x rovno π lomeno 4.
-
Velmi zajímavé.
