-
Zkusme implicitně zderivovat
tento poněkud šílený vztah.
-
Tady je graf, na kterém můžete vidět,
že jde skutečně o docela bizarní vztah.
-
e na (x krát y na druhou)
se rovná x minus y.
-
Tady máme některá x a y, která se vešla
do grafu a vyhovují tomuto vztahu.
-
Pojďme obě
strany zderivovat.
-
Na obě strany tedy
použijeme operátor derivace.
-
Tohle je možná příhodná chvíle k tomu,
abychom si ukázali různá značení.
-
Většinou používáme
tohle značení,
-
ale často se můžete setkat s operátorem
derivace zapsaným jako velké tiskací D,
-
takže to teď
zapišme třeba takto.
-
Raději to
ujasním.
-
Toto je totéž jako
napsat d lomeno dx.
-
Použiji zde operátor zapsaný
jako velké tiskací D,
-
abyste si zvykli
i na tento zápis.
-
Namísto dy lomeno dx, když
chceme napsat derivaci y podle x,
-
budu psát y s čárkou,
-
abychom si trochu
procvičili různá značení.
-
Spočítejme teď
derivaci tohohle.
-
Použijeme vzorec pro derivaci složené
funkce, dokonce ho použijeme několikrát.
-
Derivace (e na něco) podle
toho něčeho je e na to něco,
-
což ještě musíme vynásobit
derivací toho něčeho podle x,
-
tedy krát derivace z
(x krát y na druhou).
-
Tak vypadá
levá strana,
-
ale ještě jsme
nespočítali tuhle derivaci.
-
Na pravé straně...
-
Derivace x je 1
-
a derivace podle ‚x‘ z ‚y‘ se rovná
minus dy lomeno dx,
-
ale místo dy lomeno dx
napíšu y s čárkou.
-
Jak asi vidíte, mám
raději tenhle zápis,
-
protože je z něho jasné,
že derivujeme podle x,
-
zatímco zde musíme předpokládat,
že derivujeme podle x,
-
stejně tak zde musíme předpokládat,
že jde o derivaci y podle x.
-
Držme se ale
tohoto značení.
-
A pokaždé...
-
Všechna y s čárkou, tedy všechny derivace
podle x, nebo spíše derivace y podle x,
-
napíšu růžovou, abych
lépe viděl, kde jsou.
-
Toto se rovná e na (x krát y na druhou),
to celé krát derivace tohohle.
-
Na derivaci tohohle použijeme vzorce
pro derivaci součinu a složené funkce.
-
Derivace x je 1, což musíme vynásobit
druhou funkcí, tedy krát y na druhou,
-
a k tomu musíme přičíst
součin první funkce, což je x,
-
krát derivace
(y na druhou) podle x.
-
Ta se rovná derivaci (y na druhou)
podle y, což je 2 krát y,
-
vynásobené
derivací y podle x,
-
kterou nyní značíme
jako y s čárkou.
-
Tohle celé je rovno
1 minus y s čárkou.
-
Jako jsme to dělali už dříve, musíme
nyní osamostatnit y s čárkou.
-
Roznásobme nejdřív touhle exponenciální
funkcí, tímhle e na (x krát y na druhou),
-
čímž dostaneme, že e...
-
Nebo bych spíš měl říct, že (y na druhou)
krát e umocněné na (x krát y na druhou),
-
to je tenhle člen,
-
plus 2 krát x krát y krát e umocněné na
(x krát y na druhou) krát y s čárkou,
-
což je derivace y podle x.
-
To se rovná 1 minus
derivace y podle x.
-
Nyní přesuneme všechna
y s čárkou na jednu stranu,
-
takže k oběma stranám
přičteme y s čárkou.
-
Přičteme...
-
Aby to bylo jasné, tak k oběma
stranám přičítám jedno y s čárkou.
-
K oběma stranám
přičteme y s čárkou
-
a od obou stran
odečteme tento výraz.
-
Od obou stran tedy odečteme (y na druhou)
krát e umocněné na (x krát y na druhou).
-
Odečítáme od obou stran,
-
takže i zde odečteme (y na druhou)
krát e umocněné na (x krát y na druhou).
-
Zbyde nám (2xy krát e umocněné na (x krát
y na druhou) plus 1) krát y s čárkou.
-
Měli jsme tolik y s čárkou
a přidali jsme další y s čárkou,
-
takže teď máme tolik
a ještě plus 1 y s čárkou.
-
Tohle se rovná...
-
Schválně jsem k oběma
stranám přičetl y s čárkou,
-
takže zbyde 1 minus
tento šílený výraz,
-
a to (y na druhou) krát
e umocněné na (x krát y na druhou).
-
Nyní už jen musíme
obě strany vydělit tímhle.
-
Vyjde nám, že derivace y
podle x se rovná tomuhle,
-
což jen zkopíruji
a vložím sem...
-
Raději to přepíšu.
-
Rovná se to
1 lomeno...
-
Sjedu trochu níž.
-
Rovná se to 1 minus (y na druhou krát
e umocněné na (x krát y na druhou)),
-
to celé lomeno
tímhle výrazem,
-
tedy 2...
-
Budu potřebovat
víc místa.
-
...2 krát x krát y krát e umocněné na
(x krát y na druhou), tohle celé plus 1.
-
A máme hotovo.
-
Bylo to trochu šílené,
-
ale v zásadě nijak různé od toho, co jsme
dělali v několika předchozích příkladech.
