Διαίρεση 2

Διαίρεση με μεγάλο αριθμό. Εισαγωγή στη μακρά διαίρεση και τα υπόλοιπα.

Ας δούμε τώρα εάν μπορούμε να διαιρέσουμε μεγαλύτερους αριθμούς.

Και για να ξεκινήσουμε, όταν θέλουμε να διαιρέσουμε μεγαλύτερους αριθμούς,

χρειάζεται να ξέρουμε τουλάχιστον τους πίνακες της προπαίδειας

από τον πίνακα του ένα μέχρι, τουλάχιστον, και τον πίνακα του δέκα.

Μέχρι το 10 x 10 που, όπως ξέρετε, κάνει 100.

Και μετά, ξεκινώντας από το 1 x 1, πηγαίνοντας στο 2 x 3,

μέχρι το 10 x 10.

Και, τουλάχιστον όταν εγώ πήγαινα στο σχολείο,

μαθαίναμε μέχρι το 12 x 12.

Αλλά αρκεί να ξέρετε μέχρι το 10 x 10.

Από εκεί ξεκινάμε.

Γιατί αυτό χρειάζεται για να κάνουμε προβλήματα πολλαπλασιασμού

ή προβλήματα διαίρεσης όπως αυτό.

Ας πούμε ότι έχω το 25 και θέλω να το διαιρέσω με το 5.

Θα μπορούσα να σχεδιάσω 25 πράγματα

και μετά να τα χωρίσω σε ομάδες των πέντε, ή να τα χωρίσω σε πέντε ομάδες

και να δω πόσα στοιχεία υπάρχουν σε κάθε ομάδα.

Αλλά ο γρήγορος τρόπος να το κάνουμε αυτό είναι να σκεφτούμε

"5 επί ποιον αριθμό μας κάνει 25";

5 επί ερωτηματικό ίσον 25.

Αν λοιπόν ξέρετε τους πίνακες του πολλαπλασιασμού

και ιδίως τους πίνακες του 5

ξέρετε ότι 5 x 5 μας κάνει 25.

Άρα θα μπορούσατε αμέσως να πείτε,

χάρη στη γνώση σας του πολλαπλασιασμού,

ότι το 5 χωρά στο 25 πέντε φορές.

Και θα γράφατε το 5 εδώ.

Όχι πάνω από το 2,

γιατί πρέπει να προσέχετε σε ποια θέση γράφετε τους αριθμούς.

Πρέπει να γράψετε το 5 στη θέση των μονάδων.

Χωρά πέντε μονάδες, ή με άλλα λόγια ακριβώς πέντε φορές.

Και το ίδιο.

Αν έλεγα ότι το 7 χωρά στο 49.

Πόσες φορές χωρά;

Θα σκεφτόσασταν "είναι σαν να λέμε 7 φορές επί ποιον αριθμό",

και θα μπορούσατε μάλιστα αντί για ερωτηματικό, να βάζατε ένα κενό εκεί,

το 7 επί ποιον αριθμό ισούται με το 49;

Αν ξέρετε, λοιπόν, τους πίνακες του πολλαπλασιασμού

ξέρετε ότι 7 x 7 = 49.

Όλα τα παραδείγματα που είδαμε μέχρι τώρα είναι ένας αριθμός που πολλαπλασιάζεται με τον εαυτό του.

Ας κάνουμε ένα άλλο παράδειγμα.

Πόσες φορές χωρά το 9 στο 54;

Κι εδώ χρειάζεται να ξέρετε τους πίνακες του πολλαπλασιασμού για να το βρείτε.

9 επί ποιον αριθμό ισούται με 54;

Καμιά φορά, ακόμα κι αν δεν το θυμάστε απ' έξω,

μπορείτε να πείτε "9 x 5 = 45".

Και 9 x 6 θα είναι 9 παραπάνω από αυτό, άρα θα είναι 54.

Έτσι, το 9 χωρά στο 54 έξι φορές.

Έτσι λοιπόν, για να ξεκινήσουμε

χρειάζεται να μάθετε απ' έξω τους πίνακες της προπαίδειας από το 1 x 1

μέχρι το 10 x 10

για να μπορείτε να λύνετε τουλάχιστον κάποια από αυτά τα βασικά προβλήματα σχετικά γρήγορα.

Αφού το είπαμε λοιπόν αυτό, ας δοκιμάσουμε κάποια προβλήματα

που μπορεί να μην ταιριάζουν καθαρά στους πίνακες της προπαίδειας.

Ας πούμε ότι θέλω να διαιρέσω

το 43 με το 3.

Βλέπουμε ότι αυτό είναι μεγαλύτερο από το 3 x 10 ή το 3 x 12.

Βασικά, κοιτάξτε.

Ας κάνουμε ένα άλλο πρόβλημα.

Ας κάνουμε το 23 διά 3.

Αν ξέρετε τους πίνακες του 3

θα δείτε ότι δεν υπάρχει αριθμός που "3 επί αυτόν" να μας δίνει 23.

Θα το κάνω τώρα.

3 x 1 = 3

3 x 2 = 6

Ας τα γράψω όλα εδώ.

3 x 3 = 9, 12, 15, 18, 21, 24, έτσι;

Δεν υπάρχει το 23 στα πολλαπλάσια του 3.

Άρα, πώς θα λύσουμε αυτό το πρόβλημα διαίρεσης;

Αυτό που πρέπει να κάνουμε είναι να σκεφτούμε: "ποιο είναι το μεγαλύτερο πολλαπλάσιο του 3 που χωρά στο 23";

Είναι το 21!

Και πόσες φορές χωρά το 3 στο 21;

Ξέρετε ότι 3 x 7 = 21.

Άρα, λέμε ότι το 3 χωρά στο 23 εφτά φορές.

Αλλά δεν χωρά ακριβώς

γιατί 7 x 3 = 21.

Άρα μας μένει ένα υπόλοιπο.

Έτσι, αν από το 23 αφαιρέσουμε 21, μας μένει ένα υπόλοιπο 2.

Άρα μπορούμε να γράψουμε ότι το 23 διά 3 μας κάνει 7

και έχουμε και ένα υπόλοιπο 2.

Άρα, δεν χρειάζεται να χωρά ακριβώς.

Στο μέλλον μάλιστα θα μάθουμε για τους δεκαδικούς αριθμούς και τα κλάσματα.

Αλλά για τώρα, μπορούμε να πούμε ότι χωρά εφτά φορές...

αλλά έτσι φτάνουμε μόνο μέχρι το 21

και μας μένουν και 2 υπόλοιπο.

Έτσι μπορείτε να δουλέψετε τα προβλήματα της διαίρεσης...

όπου δεν έχουμε ακριβώς ένα πολλαπλάσιο του αριθμού

με τον οποίο διαιρούμε τον μεγαλύτερο αριθμό.

Ας κάνουμε όμως λίγη εξάσκηση με ακόμα μεγαλύτερους αριθμούς.

Και νομίζω ότι θα δείτε ένα μοτίβο εδώ.

Ας δούμε πόσες φορές χωρά το 4...

θα διαλέξω ένα μεγάλο αριθμό -- στο 344.

Αμέσως όταν το δείτε αυτό...

θα πείτε "Σαλ ξέρω μέχρι το 4 επί 10 ή το 4 επί 12"

4 x 12 = 48.

Αυτός ο αριθμός είναι πολύ μεγαλύτερος.

Βγαίνει έξω από τα όρια

των όσων ξέρω στους πίνακες του 4".

Αυτό που θα σας δείξω τώρα είναι ένας τρόπος να λύνετε αυτά τα προβλήματα...

γνωρίζοντας μόνο τους πίνακες του 4.

Αυτό που κάνετε είναι να πείτε

"Πόσες φορές χωρά το 4 σε αυτό εδώ το 3;"

Και στην ουσία λέτε

"πόσες εκατοντάδες φορές χωρά το 4 σε αυτό εδώ το 3;"

Και το λέμε αυτό γιατί εδώ έχουμε 300, έτσι;

Ο αριθμός μας είναι το 344.

Όμως το 4 δεν χωρά στο 3 εκατοντάδες φορές.

Ίσως ο καλύτερος τρόπος να το σκεφτείτε είναι να πείτε ότι το 4 χωρά στο 3 μηδέν φορές.

Άρα μπορούμε να προχωρήσουμε στο επόμενο.

Πόσες φορές χωρά το 4 στο 34.

Άρα τώρα συγκεντρωνόμαστε στο 34.

Πόσες φορές λοιπόν χωρά το 4 στο 34;

Εδώ μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους πίνακες της προπαίδειας του 4.

Για να δούμε, 4 x 8 = 32,

4 x 9 = 36.

Άρα το 4 χωρά στο 34 όχι 9 φορές, είναι πάρα πολύ, έτσι;

Το 36 είναι μεγαλύτερο από το 34.

Άρα το 4 χωρά στο 34 οκτώ φορές.

Θα υπάρχει ένα μικρό υπόλοιπο.

Το 4 χωρά στο 34 οκτώ φορές.

Ας υπολογίσουμε λοιπόν ποιο είναι το υπόλοιπο.

Αυτό που στην πραγματικότητα λέμε εδώ

είναι "πόσες δεκάδες φορές χωρά το 4 στο 340;"

Λέμε λοιπόν ότι το 4 χωρά στο 340 ογδόντα φορές.

Κι αυτό γιατί, αν παρατηρήσετε, γράψαμε αυτό το 8 στη θέση των δεκάδων.

Αλλά για να λύσουμε γρήγορα το πρόβλημα

λέμε απλώς ότι το 4 χωρά στο 34 οχτώ φορές

αλλά βεβαιωθείτε ότι γράψατε το 8 στη θέση των δεκάδων εδώ πέρα.

8 επί 4.

Ξέρουμε ήδη πόσο κάνει αυτό.

8 x 4 = 32.

Και μετά βρίσκουμε το υπόλοιπο.

34 μείον 32.

4 μείον 2 ίσον 2.

Και μετά αυτά τα τριάρια ακυρώνουν το ένα το άλλο.

Άρα μας μένουν 2.

Παρατηρήστε όμως ότι βρισκόμαστε στη στήλη των δεκάδων, έτσι;

Αυτή εδώ η στήλη, είναι η στήλη των δεκάδων.

Άρα αυτό που είπαμε στην πραγματικότητα είναι ότι το 4 χωρά στο 340 ογδόντα φορές.

80 επί 4 ίσον 320, έτσι;

Κι αυτό γιατί έγραψα το 3 στη θέση των εκατοντάδων.

Και μετά...

ας το καθαρίσω λίγο.

Δεν ήθελα να κάνω αυτή τη γραμμή να φαίνεται έτσι

όταν χώριζα τις στήλες, να μοιάζει με 1.

Έχουμε όμως ένα υπόλοιπο 2.

Αλλά έγραψα το 2 στη θέση των δεκάδων.

Άρα στην πραγματικότητα, έχουμε ένα υπόλοιπο 20.

Αλλά, ας κατεβάσω αυτό το 4.

Το κάνω αυτό γιατί δε θέλω να διαιρέσω το 340

αλλά το 344.

Άρα, κατεβάζουμε το 4.

Ας αλλάξω χρώματα.

Έτσι, ένας άλλος τρόπος να το σκεφτείτε αυτό είναι ο εξής:

Είπαμε ότι το 4 χωρά στο 344 ογδόντα φορές, έτσι;

Γράψαμε το 8 στη θέση των δεκάδων.

Και μετά, 80 x 4 = 320.

Το υπόλοιπο τώρα είναι 24.

Πόσες φορές λοιπόν χωρά το 4 στο 24;

Το ξέρουμε αυτό.

4 x 6 = 24.

Άρα το 4 χωρά στο 24 έξι φορές...

και το βάζουμε αυτό στη θέση των μονάδων.

6 x 4 = 24.

Και μετά αφαιρούμε.

24 μείον 24.

Ούτως ή άλλως αφαιρούμε σ' αυτό το στάδιο.

Εδώ παίρνουμε μηδέν.

Άρα, δεν υπάρχει υπόλοιπο.

Έτσι, το 4 χωρά στο 344 ακριβώς 86 φορές

Άρα, αν παίρναμε 344 αντικείμενα και τα χωρίζαμε σε ομάδες των τεσσάρων

θα παίρναμε 86 ομάδες.

Ή αλλιώς, αν τα χωρίζαμε σε ομάδες των 86

θα παίρναμε 4 ομάδες.

Ας κάνουμε λίγα ακόμη προβλήματα.

Νομίζω ότι αρχίζετε να το καταλαβαίνετε.

Ας κάνουμε ένα απλό.

Πόσες φορές χωρά το 7 στο 91.

Κι εδώ αυτό είναι πέρα από το 7 x 12,

που μας κάνει 84, το οποίο ξέρετε από τους πίνακες του πολλαπλασιασμού.

Άρα, χρησιμοποιούμε το ίδιο σύστημα με το τελευταίο πρόβλημα.

Πόσες φορές χωρά το 7 στο 9;

Το 7 στο 9 χωρά μία φορά.

1 x 7 = 7.

Και έχουμε 9 - 7 = 2.

Και μετά κατεβάζουμε το 1.

Έχουμε 21.

Θυμηθείτε, μπορεί να φαίνεται σαν μαγικό,

αλλά αυτό που είπαμε στην πραγματικότητα είναι ότι το 7 χωρά στο 90 δέκα φορές,

10 γιατί γράψαμε το 1 στη θέση των δεκάδων,

10 x 7 = 70.

Σωστά; Θα μπορούσατε σχεδόν να βάλετε ένα μηδενικό εδώ αν θέλατε,

και 91 - 70 = 21.

Άρα το 7 χωρά στο 91 δέκα φορές και μας μένει υπόλοιπο 21.

Και μετά λέμε: το 7 χωρά στο 21... ε, το ξέρετε αυτό.

7 x 3 = 21.

Άρα το 7 χωρά στο 21 τρεις φορές.

3 x 7 = 21.

Αφαιρούμε το ένα από το άλλο.

Μηδέν υπόλοιπο.

Έτσι, 91 διά 7 ίσον 13.

Ας κάνουμε άλλο ένα.

Και δε θα κάνω διάλειμμα να εξηγήσω τις θέσεις και όλα αυτά.

Νομίζω ότι το καταλαβαίνετε αυτό.

Θέλω τουλάχιστον να καταλάβετε πολύ καλά τη διαδικασία σε αυτό το βίντεο.

Ας δούμε λοιπόν το 7 - συνέχεια χρησιμοποιώ το 7.

Ας χρησιμοποιήσουμε έναν άλλο αριθμό.

Πόσες φορές λοιπόν χωρά το 8 στο 608;

Ξεκινάμε λοιπόν: πόσες φορές χωρά το 8 στο 6;

Μηδέν φορές.

Άρα πάω παρακάτω.

Πόσες φορές χωρά το 8 στο 60;

Ας γράψω το 8.

Θα σχεδιάσω μια γραμμή εδώ για να μην μπερδευτούμε.

Θα κατέβω λίγο κάτω.

Χρειάζομαι λίγο χώρο πάνω από τον αριθμό.

Πόσες φορές λοιπόν χωρά το 8 στο 60;

Ξέρουμε ότι 8 x 7 = 56.

Και ότι 8 x 8 = 64.

Άρα το 8 χωρά -- το 64 είναι πολύ μεγάλο.

Άρα δε μας κάνει.

Άρα το 8 χωρά στο 60 εφτά φορές.

Και θα έχουμε και κάποιο υπόλοιπο.

Άρα, το 8 χωρά στο 60 εφτά φορές.

Εφόσον κάνουμε το 60

βάζουμε το 7 πάνω από τη θέση των μονάδων στο 60

που είναι η θέση των δεκάδων για ολόκληρο τον αριθμό.

7 επί 8 όπως ξέρουμε κάνει 56.

60 μείον 56.

Μας κάνει 4.

Μπορούμε να το κάνουμε και με το μυαλό μας αυτό.

Ή αν θέλουμε μπορούμε να δανειστούμε.

Αυτό είναι 10.

Αυτό είναι 5.

10 - 6 = 4.

Μετά κατεβάζουμε αυτό το 8.

Πόσες φορές χωρά το 8 στο 48;

Ε, πόσο μας κάνει 8 x 6;

8 x 6 μας κάνει ακριβώς 48.

Άρα το 8 χωρά στο 48 έξι φορές.

6 x 8 = 48

Και αφαιρούμε.

Αφαιρέσαμε κι εδώ ομοίως.

48 - 48 = 0.

Άρα, κι εδώ, το υπόλοιπο είναι 0.

Ελπίζω, λοιπόν, ότι καταλάβατε πώς λύνουμε αυτά τα μεγαλύτερα προβλήματα διαίρεσης.

Το μόνο που χρειάζεται για να τα λύνετε αυτά

είναι οι πίνακες της προπαίδειας

μέχρι το 10 x 10 ή το 12 x 12.