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Right Triangles Inscribed in Circles (Proof)

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    这儿有一个圆 这是它的直径
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    让我把这条直径画好些
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    恩 不错
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    这就是这个圆的直径
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    圆的一条直径
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    直径画好了
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    现在有一个三角形
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    它的一条边就是直径
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    这条边所对的角的
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    顶点在圆周上
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    就是说
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    直径所对的那个角在圆周上
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    这个三角形应该
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    是这样的
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    这节课我所要证明的就是
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    这个三角形其实
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    是一个直角三角形
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    90度的角所对的边
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    就是直径
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    我先不在这里标记这个角
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    因为它不方便后面的证明
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    看看我们应该怎么证明它呢
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    我们已经学了圆周角的概念
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    圆周角与它同弧所对的圆心角之间的关系
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    看看能不能利用上
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    这是一个圆周角
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    记为θ
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    我们说
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    这个点就是这个圆的圆心
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    那么这个角应该是一个圆心角
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    让我再画一个三角形
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    又画了一条线
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    这个就是圆心角
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    这个是半径
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    这同样是一条半径
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    实际上它们两个的长度是相等的
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    几节课以前我们学过
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    这个圆周角
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    对着这个圆弧
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    而这个弧所对的圆心角
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    将是这个圆周角的二倍
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    这一点我们几节课之前证明过
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    所以这个角是 2θ
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    是同弧所对的圆心角
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    现在看这个三角形
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    这是个等腰三角形
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    我可以把它旋转
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    这样画出来
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    假设我把它翻过来 这条边 这条边
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    还有下面绿色的这条边
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    这两条边的边长都是r
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    顶角是2θ其实我只是把这个三角形拿出来
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    并且旋转以后 画出来
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    这条边就是刚刚的那条边
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    因为这两条边相等 这是个等腰三角形
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    这两个底角也相等
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    这个角和这个角相等
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    在这里画的这个三角形里
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    这两个角就是那对相等的底角
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    我看看
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    θ已经用过了 我们用x来表示这些角
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    那么这个和这个角都是x
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    那x是多少呢
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    x + x + 2θ = 180
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    它们在同一个三角形中
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    我把它写下来
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    我们已经得出了 x + x + 2θ = 180
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    也就是2x + 2θ = 180
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    2x = 180 - 2θ两边同时除以2
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    得出 x = 90 - θ
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    所以x = 90 - θ
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    这个有什么用呢
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    让我们再看看这个三角形
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    这个三角形的这条边
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    也是这个圆的半径
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    这个长度我们
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    已经标记过了是半径r
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    所以这个三角形也是等腰三角形
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    这两边相等
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    这两个底角也相等
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    这个是θ 所以这个角也是θ
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    事实上 利用这两个角都是θ
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    我们也证明了之前的那个
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    关于圆周角的结论
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    就是同弧所对的圆心角和圆周角
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    之间的关系
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    所以这个是θ 这个也是θ
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    因为是等腰三角形
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    这里的这个角是什么呢
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    它应该是 θ 加上 90度减去θ
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    就是 θ加上90 减去 θ
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    θ 消掉了
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    所以不论三角形是怎样的 只要它的一条边是直径
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    并且这条边所对的角或者说顶点
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    在圆周上
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    那么这个角
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    就是直角
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    这个三角形就是一个直角三角形
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    我可以随机画一些三角形
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    在这取一个点
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    这样的
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    这也是个直角三角形
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    或者这样画
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    那么
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    这也是直角
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    对任意一个三角形
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    都可以做相同的证明
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    事实上 我刚刚所画的那个三角形是很普通的
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    所有它对于这所有的三角形都适用
Title:
Right Triangles Inscribed in Circles (Proof)
Description:

Proof showing that a triangle inscribed in a circle having a diameter as one side is a right triangle

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Video Language:
English
Duration:
05:35
chezisu1988 edited Chinese, Simplified subtitles for Right Triangles Inscribed in Circles (Proof)
苏莘 苏 added a translation

Chinese, Simplified subtitles

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