Return to Video

Right Triangles Inscribed in Circles (Proof)

  • 0:05 - 0:06
    Привет!
  • 0:06 - 0:09
    Допустим, у нас с вами есть круг.
  • 0:09 - 0:12
    И ещё мы знаем диаметр этого круга.
  • 0:12 - 0:15
    Я сейчас постараюсь его получше нарисовать.
  • 0:15 - 0:17
    Довольно неплохо получилось, да?
  • 0:17 - 0:19
    Это диаметр нашего круга.
  • 0:19 - 0:21
    Диаметр.
  • 0:21 - 0:23
    Допустим, у нас есть треугольник,
  • 0:23 - 0:26
    у которого одна из сторон – диаметр.
  • 0:26 - 0:28
    Угол, противолежащий этой стороне,
  • 0:28 - 0:29
    находится у вершины,
  • 0:29 - 0:32
    которая лежит где-то на окружности.
  • 0:32 - 0:34
    Допустим, что вершина
  • 0:34 - 0:37
    лежит где-то здесь на окружности.
  • 0:37 - 0:44
    Тогда треугольник будет выглядеть примерно так.
  • 0:44 - 0:49
    Вот так выглядит наш треугольник.
  • 0:49 - 0:50
    Я докажу вам в этом видео,
  • 0:50 - 0:53
    что этот треугольник будет прямоугольным.
  • 0:53 - 0:55
    А прямой угол будет находиться у вершины,
  • 0:55 - 0:57
    противолежащей диаметру.
  • 0:57 - 1:00
    Я пока не буду отмечать его на рисунке,
  • 1:00 - 1:02
    потому что мы это еще не доказали.
  • 1:02 - 1:04
    Давайте посмотрим, что мы сможем сделать,
  • 1:04 - 1:06
    чтобы показать это.
  • 1:06 - 1:09
    Мы уже знаем определение вписанного угла
  • 1:09 - 1:12
    и его отношение к центральному углу,
  • 1:12 - 1:15
    если они оба опираются на одну и ту же дугу.
  • 1:15 - 1:23
    Давайте посмотрим. Мы видим здесь вписанный угол.
  • 1:23 - 1:26
    Давайте обозначим его Ѳ.
  • 1:26 - 1:30
    Допустим, что здесь у нас центр нашего круга.
  • 1:30 - 1:33
    Тогда этот угол – центральный угол.
  • 1:33 - 1:36
    Давайте я нарисую ещё один треугольник,
  • 1:36 - 1:38
    нарисую еще одну линию.
  • 1:38 - 1:42
    Это у нас центральный угол. Это – радиус.
  • 1:42 - 1:44
    Здесь у нас тоже радиус.
  • 1:44 - 1:46
    Расстояния от центра одинаковы.
  • 1:46 - 1:50
    Мы выучили несколько видео тому назад, что этот угол,
  • 1:50 - 1:53
    вписанный угол, он относится к этой дуге.
  • 1:53 - 1:56
    Центральный угол, который стягивает ту же дугу,
  • 1:56 - 1:59
    будет в 2 раза больше.
  • 1:59 - 2:02
    Мы доказали это пару видео тому назад.
  • 2:02 - 2:07
    Значит этот угол будет равен 2Ѳ.
  • 2:07 - 2:08
    Это центральный угол,
  • 2:08 - 2:11
    который опирается на ту же самую дугу.
  • 2:11 - 2:14
    Теперь, этот треугольник у нас равнобедренный.
  • 2:14 - 2:21
    Я могу повернуть его и зарисовать вот так.
  • 2:21 - 2:26
    Я немного поверну, и он будет выглядеть так,
  • 2:26 - 2:31
    а зелёная сторона будет выглядеть вот так.
  • 2:31 - 2:34
    И обе эти стороны по длине равны r.
  • 2:34 - 2:37
    Верхний угол равен 2Ѳ.
  • 2:37 - 2:39
    Всё, что я сделал – просто повернул его,
  • 2:39 - 2:42
    чтобы нарисовать его таким образом.
  • 2:42 - 2:44
    Эта сторона – это данная сторона.
  • 2:44 - 2:46
    Т.к. две стороны равны,
  • 2:46 - 2:48
    это равнобедренный треугольник.
  • 2:48 - 2:54
    Значит, два угла у основания должны быть одинаковыми.
  • 2:54 - 2:59
    Этот и этот угол у основания равны.
  • 2:59 - 3:01
    Подумаем, я уже использовал Ѳ,
  • 3:01 - 3:06
    тогда сейчас давайте использовать х.
  • 3:06 - 3:09
    Здесь будет х, и здесь будет х.
  • 3:09 - 3:11
    Чему будет равен х?
  • 3:11 - 3:16
    х+х+2Ѳ=180°.
  • 3:16 - 3:18
    Они все относятся к одному треугольнику.
  • 3:18 - 3:20
    Давайте я запишу это.
  • 3:21 - 3:28
    х+х+2Ѳ - всё должно равняться 180°.
  • 3:28 - 3:34
    Или получаем, что 2х+2Ѳ=180.
  • 3:34 - 3:40
    Или 2х=180-2Ѳ.
  • 3:40 - 3:47
    Делим всё на 2 и получаем: х=90-Ѳ.
  • 3:47 - 3:53
    Т.е. х=90-Ѳ.
  • 3:53 - 3:55
    Что ещё мы можем здесь сделать?
  • 3:55 - 3:57
    Посмотрите на этот треугольник.
  • 3:57 - 4:01
    В этом треугольнике стороны тоже имеют такие же длины.
  • 4:01 - 4:04
    Это тоже радиус треугольника.
  • 4:04 - 4:08
    Эту сторону мы уже обозначили, что это радиус.
  • 4:08 - 4:12
    Т.е. снова: это тоже равнобедренный треугольник.
  • 4:12 - 4:14
    Эти две стороны равны,
  • 4:14 - 4:18
    значит, углы у основания тоже равны.
  • 4:18 - 4:22
    Здесь Ѳ, значит здесь тоже будет Ѳ.
  • 4:22 - 4:23
    Мы использовали эти данные,
  • 4:23 - 4:27
    когда показывали отношение вписанного угла к центральному,
  • 4:27 - 4:29
    если они опираются на одну дугу.
  • 4:29 - 4:35
    Итак, тут и тут Ѳ, т.к. это углы равнобедренного треугольника.
  • 4:35 - 4:41
    Чему равен весь большой угол?
  • 4:41 - 4:50
    Он будет равен: Ѳ+90-Ѳ.
  • 4:50 - 4:51
    Ѳ сокращается.
  • 4:51 - 4:55
    Если одна из сторон моего треугольника является диаметром,
  • 4:55 - 4:59
    и вершина противолежащего угла лежит на окружности,
  • 4:59 - 5:07
    тогда угол при ней будет прямым.
  • 5:07 - 5:14
    И треугольник, соответственно, будет прямоугольным.
  • 5:14 - 5:16
    Я нарисовал просто пример из головы.
  • 5:16 - 5:19
    Если бы я, например, взял точку здесь.
  • 5:19 - 5:23
    Нарисовал бы вот так и вот так.
  • 5:23 - 5:25
    Этот угол был бы прямым.
  • 5:25 - 5:30
    Если я нарисую вот так, то прямым будет этот угол.
  • 5:30 - 5:33
    Для каждого примера я могу применить то же доказательство.
  • 5:33 - 5:35
    Сейчас я показал очень общий пример,
  • 5:35 - 5:37
    но правило будет применимо
  • 5:37 - 5999:59
    для любого подобного треугольника.
Title:
Right Triangles Inscribed in Circles (Proof)
Description:

Proof showing that a triangle inscribed in a circle having a diameter as one side is a right triangle

more » « less
Video Language:
English
Duration:
05:35

Russian subtitles

Revisions Compare revisions