Return to Video

Indskrevne retvinklede trekanter i cirkler (bevis)

  • 0:00 - 0:01
    .
  • 0:01 - 0:04
    Her er en cirkel,
  • 0:04 - 0:05
    og den cirkel har en diameter.
  • 0:05 - 0:09
    Vi tegner diameteren.
  • 0:09 - 0:10
    .
  • 0:10 - 0:13
    Det her er cirklens diameter.
  • 0:13 - 0:15
    .
  • 0:15 - 0:16
    Der er en trekant,
  • 0:16 - 0:19
    hvor diameteren er den ene side i trekanten,
  • 0:19 - 0:26
    og vinklen på modsatte side, som er trekantens toppunkt,
  • 0:26 - 0:29
    er et eller andet sted på cirklen.
  • 0:29 - 0:34
    Vinklen modsat diameteren
  • 0:34 - 0:35
    er et sted på kanten af cirklen.
  • 0:35 - 0:38
    Trekanten ser sådan her ud.
  • 0:38 - 0:44
    .
  • 0:44 - 0:47
    I den her video skal vi bevise,
  • 0:47 - 0:51
    at trekanten er en retvinklet trekant.
  • 0:51 - 0:54
    .
  • 0:54 - 0:57
    Vinklen på 90 grader ligger
  • 0:57 - 0:59
    modsat diameteren.
  • 0:59 - 1:00
    .
  • 1:00 - 1:02
    .
  • 1:02 - 1:05
    Hvad kan vi gøre for at bevise det?
  • 1:05 - 1:09
    Vi har en fornemmelse for den indskrevne vinkel
  • 1:09 - 1:13
    og dens forhold til centervinklen,
  • 1:13 - 1:15
    der ligger lige over for den samme bue.
  • 1:15 - 1:16
    Den kigger vi på.
  • 1:16 - 1:19
    Her er en indskreven vinkel.
  • 1:19 - 1:23
    Vi kalder den for theta.
  • 1:23 - 1:25
    Det her er
  • 1:25 - 1:27
    cirklens centrum.
  • 1:27 - 1:30
    Den her vinkel er centervinklen.
  • 1:30 - 1:33
    Vi tegner endnu en trekant her.
  • 1:33 - 1:33
    .
  • 1:33 - 1:35
    Det her er en centervinkel.
  • 1:35 - 1:38
    Det her er radius.
  • 1:38 - 1:40
    De her 2 afstande
  • 1:40 - 1:41
    er lige lange.
  • 1:41 - 1:44
    Vi har tidligere kigget på,
  • 1:44 - 1:49
    at den her indskrevne vinkel ligger lige over for den her bue.
  • 1:49 - 1:52
    .
  • 1:52 - 1:56
    Centervinklen, der ligger overfor den samme bue,
  • 1:56 - 1:57
    er dobbelt så stor som den her vinkel.
  • 1:57 - 1:59
    Det har vi bevist i en tidligere video.
  • 1:59 - 2:02
    Den er altså 2 theta.
  • 2:02 - 2:05
    Det er centervinklen, der ligger overfor den samme bue.
  • 2:05 - 2:10
    Den her trekant
  • 2:10 - 2:12
    er ligebenet.
  • 2:12 - 2:14
    Vi kan dreje den og tegne den sådan her.
  • 2:14 - 2:16
    .
  • 2:16 - 2:22
    Hvis vi drejer den sådan her,
  • 2:22 - 2:25
    vender den grønne side nedad.
  • 2:25 - 2:29
    Begge de her sider har længden r.
  • 2:29 - 2:31
    Topvinklen er 2 theta.
  • 2:31 - 2:34
    Vi har ikke ændret på den.
  • 2:34 - 2:35
    Vi har kun drejet den.
  • 2:35 - 2:37
    Den her side svarer til den her side.
  • 2:37 - 2:42
    De her 2 sider er lige store, så den er ligebenet,
  • 2:42 - 2:44
    og det må betyde, at grundvinklerne er lige store.
  • 2:44 - 2:48
    .
  • 2:48 - 2:50
    De her er ens.
  • 2:50 - 2:55
    De 2 vinkler svarer til de her 2 vinkler.
  • 2:55 - 2:58
    Vi har allerede brugt theta,
  • 2:58 - 3:00
    så vi kalder vinklerne for x.
  • 3:00 - 3:05
    Den her er x, og den her er x, for de er lige store.
  • 3:05 - 3:08
    Hvad er x lig med?
  • 3:08 - 3:12
    x plus x plus 2 theta må være lig med 180 grader.
  • 3:12 - 3:14
    Der er jo i alt 180 grader i en trekant.
  • 3:14 - 3:16
    Det skriver vi ned.
  • 3:16 - 3:23
    x plus x plus 2 theta er lig med 180 grader.
  • 3:23 - 3:31
    Det er det samme som 2x plus 2 theta er lig med 180 grader.
  • 3:31 - 3:36
    Det er det samme som 2x er lig med 180 minus 2 theta.
  • 3:36 - 3:43
    Vi dividerer begge sider med 2 og får, at x er lig med 90 minus theta.
  • 3:43 - 3:51
    x er lig med 90 minus theta.
  • 3:51 - 3:53
    Hvad kan vi ellers gøre ved ligningen?
  • 3:53 - 3:55
    Vi kan kigge på trekanten.
  • 3:55 - 3:59
    Den her side svarer til den her side,
  • 3:59 - 4:02
    og det er cirklens radius.
  • 4:02 - 4:04
    .
  • 4:04 - 4:05
    .
  • 4:05 - 4:09
    Det er en ligebenet trekant.
  • 4:09 - 4:13
    De her 2 sider er lige lange,
  • 4:13 - 4:14
    så de 2 grundvinkler må være lige store.
  • 4:14 - 4:17
    Det her er theta,
  • 4:17 - 4:18
    så det her må også være theta.
  • 4:18 - 4:21
    Vi har brugt den information til at vise
  • 4:21 - 4:25
    det første resultat omkring indskrevne vinkler
  • 4:25 - 4:27
    og forholdet mellem dem og centervinkler,
  • 4:27 - 4:28
    der ligger over for den samme bue.
  • 4:28 - 4:30
    Det her er altså theta,
  • 4:30 - 4:31
    og det er det her også, for det er en ligebenet trekant.
  • 4:31 - 4:36
    Hvad er det her for en vinkel?
  • 4:36 - 4:40
    Det er theta plus 90 minus theta.
  • 4:40 - 4:42
    Vinklen lige her er
  • 4:42 - 4:45
    theta plus 90 minus theta.
  • 4:45 - 4:46
    Thetaerne forsvinder.
  • 4:46 - 4:50
    Så længe den ene side i trekanten er diameteren,
  • 4:50 - 4:53
    og så længe vinklen eller vinklens toppunkt
  • 4:53 - 4:57
    er modsat den side,
  • 4:57 - 5:02
    vil den her vinkel være en ret vinkel.
  • 5:02 - 5:09
    .
  • 5:09 - 5:12
    Hvis vi tegner noget tilfældigt her
  • 5:12 - 5:16
    og vælger et punkt her og tegner,
  • 5:16 - 5:20
    vil det her være en ret vinkel.
  • 5:20 - 5:23
    .
  • 5:23 - 5:25
    .
  • 5:25 - 5:28
    Vi kan lave samme bevis for alle dem her.
  • 5:28 - 5:30
    Det var det.
  • 5:30 - 5:34
    .
  • 5:34 - 5:34
    .
Title:
Indskrevne retvinklede trekanter i cirkler (bevis)
Description:

Gennemgang af beviset for, at indskrevne trekanter i cirkler, hvor den ene side er cirklens diameter, vil være retvinklede.

more » « less
Video Language:
English
Duration:
05:35

Danish subtitles

Revisions Compare revisions