Return to Video

Pravoúhlé trojúhelníky vepsané do kružnice (důkaz)

  • 0:01 - 0:05
    Představte si kružnici s nějakým průměrem.
  • 0:05 - 0:09
    Zkusím ho nakreslit.
  • 0:09 - 0:10
    To by docela šlo.
  • 0:10 - 0:13
    Žlutá čára uprostřed
    se nazývá průměr kružnice.
  • 0:14 - 0:16
    Průměr kružnice.
  • 0:16 - 0:22
    A teď si představte trojúhelník, jehož
    jednu stranu tvoří tahle žlutá úsečka,
  • 0:22 - 0:25
    s vrcholem umístěným
  • 0:25 - 0:29
    kdekoli na bílém obvodu kružnice.
  • 0:29 - 0:33
    Jeden z vrcholů trojúhelníku tak bude
  • 0:33 - 0:35
    ležet na kružnici.
  • 0:35 - 0:38
    Trojúhelník může vypadat například takhle.
  • 0:44 - 0:47
    V tomto videu vám chci ukázat,
  • 0:47 - 0:52
    že tenhle trojúhelník je pravoúhlý.
  • 0:53 - 0:55
    Pravý úhel se vždycky bude nacházet
  • 0:55 - 0:58
    na opačné straně než průměr kružnice.
  • 0:58 - 1:00
    Nechci ho zatím označovat,
  • 1:00 - 1:02
    protože bychom si neužili
    zábavu s jeho objevováním.
  • 1:02 - 1:05
    Podívejme se, jak si to můžeme dokázat.
  • 1:05 - 1:09
    Použijeme znalosti
    týkající se obvodového úhlu
  • 1:09 - 1:13
    a jeho vztahu k úhlu středovému,
  • 1:13 - 1:15
    který vytyčuje tentýž oblouk.
  • 1:15 - 1:16
    Pojďme to zkusit.
  • 1:16 - 1:19
    Toto je obvodový úhel.
  • 1:19 - 1:23
    Označme ho písmenem theta.
  • 1:23 - 1:25
    Nyní si označím střed
  • 1:25 - 1:27
    své kružnice
  • 1:27 - 1:30
    a vytvořím středový úhel.
  • 1:30 - 1:32
    Povedeme do středu úsečku
  • 1:32 - 1:33
    a tím vzniknou další trojúhelníky
  • 1:33 - 1:36
    V kružnici se objeví nový,
    středový úhel.
  • 1:36 - 1:38
    Toto je poloměr.
  • 1:38 - 1:40
    Tohle je taky poloměr
  • 1:40 - 1:42
    Obě úsečky jsou stejně dlouhé.
  • 1:42 - 1:44
    V minulých videích jsme zjistili,
  • 1:44 - 1:49
    že obvodový úhel
    vytyčuje v kružnici oblouk.
  • 1:52 - 1:56
    Dozvěděli jsme se, že středový úhel,
    který k obvodovému úhlu vytyčuje stejný oblouk,
  • 1:56 - 1:57
    bude mít dvojnásobnou velikost.
  • 1:57 - 1:59
    To jsme si dokázali
    v předchozích videích.
  • 1:59 - 2:02
    Takže středový úhel
    bude mít velikost 2 krát theta.
  • 2:02 - 2:05
    Je to proto, že středový úhel
    vymezuje tentýž oblouk.
  • 2:05 - 2:08
    Uvědomme si, že tento trojúhelník
  • 2:08 - 2:12
    tady... je rovnoramenný.
  • 2:12 - 2:14
    Mohl bych ho otočit a překreslit takto.
  • 2:16 - 2:20
    Otočený by vypadal takhle.
  • 2:22 - 2:25
    Zelená by byla základna.
  • 2:25 - 2:29
    Obě tyto strany mají stejnou délku,
    která se rovná poloměru kružnice.
  • 2:29 - 2:31
    U vrcholu je úhel 2 krát theta.
  • 2:31 - 2:34
    Je to úplně stejný trojúhelník
    jako v kružnici,
  • 2:34 - 2:35
    jen jsem ho pro vás otočil.
  • 2:35 - 2:37
    Tato žlutá strana je totožná s touhle.
  • 2:37 - 2:42
    Protože je to rovnoramenný
    trojúhelník (dvě strany jsou stejně dlouhé),
  • 2:42 - 2:44
    úhly přilehlé
    k základně musejí být stejné.
  • 2:48 - 2:50
    Tenhle je stejný s tímhle,
    nebo, když to nakreslím sem,
  • 2:50 - 2:53
    tady a tady musí být stejný úhel.
  • 2:55 - 2:58
    Jeden úhel jsem už označil jako theta,
  • 2:58 - 3:00
    tenhle bude třeba 'x'.
  • 3:00 - 3:05
    Takže tenhle bude 'x' a tenhle také,
  • 3:05 - 3:08
    čemu se bude rovnat 'x'?
  • 3:08 - 3:12
    'x' plus 'x' plus 2 krát theta
    se musí rovnat 180 stupňům.
  • 3:12 - 3:14
    To jsou tři úhly našeho
    rovnoramenného trojúhelníka.
  • 3:14 - 3:16
    Ještě to napíšu.
  • 3:16 - 3:23
    x plus x plus 2 theta = 180°
    To je
  • 3:23 - 3:31
    2x plus 2 theta = 180°
  • 3:31 - 3:36
    2x = 180° minus 2 theta
  • 3:36 - 3:43
    Vydělte obě strany dvěma a dostanete
    x = 90° minus theta
  • 3:43 - 3:51
    Proto
    x = 90° minus theta
  • 3:51 - 3:53
    Co dalšího si můžeme ukázat?
  • 3:53 - 3:55
    Podívejme se na trojúhelník zde.
  • 3:55 - 3:59
    Tento trojúhelník, či tato strana,
  • 3:59 - 4:02
    se také rovná poloměru kružnice.
  • 4:02 - 4:04
    Tato vzdálenost,
    kterou jsme si už popsali,
  • 4:04 - 4:06
    je další poloměr.
  • 4:06 - 4:09
    Takže ještě jednou,
    i toto je rovnoramenný trojúhelník.
  • 4:09 - 4:12
    Tyto dvě strany jsou stejné,
  • 4:12 - 4:15
    a tudíž i tyto dva úhly musí být stejné.
  • 4:15 - 4:17
    Pokud je tento úhel theta,
  • 4:17 - 4:18
    i druhý úhel bude theta.
  • 4:18 - 4:21
    A opět vycházíme ze stejných informací
  • 4:21 - 4:24
    a využíváme stejné znalosti
    jako v předchozím případě
  • 4:24 - 4:27
    o středových a obvodových úhlech
  • 4:27 - 4:28
    a jejich obloucích.
  • 4:28 - 4:30
    Tento úhel je tedy theta,
  • 4:30 - 4:32
    protože se jedná
    o rovnoramenné trojúhelníky.
  • 4:32 - 4:36
    Jaký tedy bude tento úhel?
  • 4:36 - 4:40
    Bude opět
    theta plus 90° minus theta
  • 4:40 - 4:42
    Tento úhel bude
  • 4:42 - 4:45
    theta plus 90° minus theta.
  • 4:45 - 4:46
    Hodnoty theta
    se navzájem vyruší.
  • 4:46 - 4:50
    Takže pokaždé, když jedna strana
    trojúhelníka tvoří průměr
  • 4:50 - 4:53
    a protilehlý úhel či jeho vrchol
  • 4:53 - 4:57
    leží na kružnici,
  • 4:57 - 5:02
    pak tento úhel bude vždy pravý.
  • 5:02 - 5:09
    Bude se jednat
    o pravoúhlý trojúhelník.
  • 5:09 - 5:12
    Kdybych nakreslil
    méně pravidelný trojúhelník, třeba takový...
  • 5:12 - 5:13
    Bod si nakreslím třeba sem
  • 5:16 - 5:18
    a trojúhelník bude vypadat takto,
    pravý úhel bude tady.
  • 5:21 - 5:23
    Nakreslím-li trojúhelník takto,
  • 5:23 - 5:24
    pravý úhel bude zde.
  • 5:25 - 5:29
    U každého z těchto trojúhelníků bych úplně stejným
    postupem dokázal, že budou pravoúhlé.
  • 5:29 - 5:31
    Způsob, jak jsme ověřovali
    pravoúhlost prvního trojúhelníku,
  • 5:31 - 5:34
    platí na kterýkoli trojúhelník
    takto vepsaný do kružnice.
Title:
Pravoúhlé trojúhelníky vepsané do kružnice (důkaz)
Description:

Důkaz o tom, že trojúhelník vepsaný do kružnice tak, že jeho přepona se kryje s průměrem kružnice, je pravoúhlý.

more » « less
Video Language:
English
Duration:
05:35

Czech subtitles

Revisions Compare revisions