-
Představte si kružnici s nějakým průměrem.
-
Zkusím ho nakreslit.
-
To by docela šlo.
-
Žlutá čára uprostřed
se nazývá průměr kružnice.
-
Průměr kružnice.
-
A teď si představte trojúhelník, jehož
jednu stranu tvoří tahle žlutá úsečka,
-
s vrcholem umístěným
-
kdekoli na bílém obvodu kružnice.
-
Jeden z vrcholů trojúhelníku tak bude
-
ležet na kružnici.
-
Trojúhelník může vypadat například takhle.
-
V tomto videu vám chci ukázat,
-
že tenhle trojúhelník je pravoúhlý.
-
Pravý úhel se vždycky bude nacházet
-
na opačné straně než průměr kružnice.
-
Nechci ho zatím označovat,
-
protože bychom si neužili
zábavu s jeho objevováním.
-
Podívejme se, jak si to můžeme dokázat.
-
Použijeme znalosti
týkající se obvodového úhlu
-
a jeho vztahu k úhlu středovému,
-
který vytyčuje tentýž oblouk.
-
Pojďme to zkusit.
-
Toto je obvodový úhel.
-
Označme ho písmenem theta.
-
Nyní si označím střed
-
své kružnice
-
a vytvořím středový úhel.
-
Povedeme do středu úsečku
-
a tím vzniknou další trojúhelníky
-
V kružnici se objeví nový,
středový úhel.
-
Toto je poloměr.
-
Tohle je taky poloměr
-
Obě úsečky jsou stejně dlouhé.
-
V minulých videích jsme zjistili,
-
že obvodový úhel
vytyčuje v kružnici oblouk.
-
Dozvěděli jsme se, že středový úhel,
který k obvodovému úhlu vytyčuje stejný oblouk,
-
bude mít dvojnásobnou velikost.
-
To jsme si dokázali
v předchozích videích.
-
Takže středový úhel
bude mít velikost 2 krát theta.
-
Je to proto, že středový úhel
vymezuje tentýž oblouk.
-
Uvědomme si, že tento trojúhelník
-
tady... je rovnoramenný.
-
Mohl bych ho otočit a překreslit takto.
-
Otočený by vypadal takhle.
-
Zelená by byla základna.
-
Obě tyto strany mají stejnou délku,
která se rovná poloměru kružnice.
-
U vrcholu je úhel 2 krát theta.
-
Je to úplně stejný trojúhelník
jako v kružnici,
-
jen jsem ho pro vás otočil.
-
Tato žlutá strana je totožná s touhle.
-
Protože je to rovnoramenný
trojúhelník (dvě strany jsou stejně dlouhé),
-
úhly přilehlé
k základně musejí být stejné.
-
Tenhle je stejný s tímhle,
nebo, když to nakreslím sem,
-
tady a tady musí být stejný úhel.
-
Jeden úhel jsem už označil jako theta,
-
tenhle bude třeba 'x'.
-
Takže tenhle bude 'x' a tenhle také,
-
čemu se bude rovnat 'x'?
-
'x' plus 'x' plus 2 krát theta
se musí rovnat 180 stupňům.
-
To jsou tři úhly našeho
rovnoramenného trojúhelníka.
-
Ještě to napíšu.
-
x plus x plus 2 theta = 180°
To je
-
2x plus 2 theta = 180°
-
2x = 180° minus 2 theta
-
Vydělte obě strany dvěma a dostanete
x = 90° minus theta
-
Proto
x = 90° minus theta
-
Co dalšího si můžeme ukázat?
-
Podívejme se na trojúhelník zde.
-
Tento trojúhelník, či tato strana,
-
se také rovná poloměru kružnice.
-
Tato vzdálenost,
kterou jsme si už popsali,
-
je další poloměr.
-
Takže ještě jednou,
i toto je rovnoramenný trojúhelník.
-
Tyto dvě strany jsou stejné,
-
a tudíž i tyto dva úhly musí být stejné.
-
Pokud je tento úhel theta,
-
i druhý úhel bude theta.
-
A opět vycházíme ze stejných informací
-
a využíváme stejné znalosti
jako v předchozím případě
-
o středových a obvodových úhlech
-
a jejich obloucích.
-
Tento úhel je tedy theta,
-
protože se jedná
o rovnoramenné trojúhelníky.
-
Jaký tedy bude tento úhel?
-
Bude opět
theta plus 90° minus theta
-
Tento úhel bude
-
theta plus 90° minus theta.
-
Hodnoty theta
se navzájem vyruší.
-
Takže pokaždé, když jedna strana
trojúhelníka tvoří průměr
-
a protilehlý úhel či jeho vrchol
-
leží na kružnici,
-
pak tento úhel bude vždy pravý.
-
Bude se jednat
o pravoúhlý trojúhelník.
-
Kdybych nakreslil
méně pravidelný trojúhelník, třeba takový...
-
Bod si nakreslím třeba sem
-
a trojúhelník bude vypadat takto,
pravý úhel bude tady.
-
Nakreslím-li trojúhelník takto,
-
pravý úhel bude zde.
-
U každého z těchto trojúhelníků bych úplně stejným
postupem dokázal, že budou pravoúhlé.
-
Způsob, jak jsme ověřovali
pravoúhlost prvního trojúhelníku,
-
platí na kterýkoli trojúhelník
takto vepsaný do kružnice.
