Return to Video

Правоъгълни триъгълници, вписани в окръжност (доказателство)

  • 0:01 - 0:03
    Нека ни е дадена една окръжност и
  • 0:03 - 0:05
    нейния диаметър.
  • 0:05 - 0:09
    Нека начертая своя най- добър диаметър.
  • 0:09 - 0:10
    Този е сравнително добър.
  • 0:10 - 0:15
    Това тук е диаметъра на окръжността.
  • 0:15 - 0:16
    Това е диаметър.
  • 0:16 - 0:22
    Нека имаме триъгълник, за който
    диаметърът е едната му страна,
  • 0:22 - 0:26
    и върхът на срещулежащия на нея ъгъл
  • 0:26 - 0:29
    лежи някъде на окръжността.
  • 0:29 - 0:34
    Да кажем, че ъгълът срещу този диаметър
  • 0:34 - 0:35
    лежи на тази окръжност.
  • 0:35 - 0:38
    Следователно триъгълникът изглежда така.
  • 0:38 - 0:44
    Триъгълникът изглежда така.
  • 0:44 - 0:47
    Това, което ще ти покажа
    в това видео е, че
  • 0:47 - 0:54
    този триъгълник ще е
    правоъгълен триъгълник.
  • 0:54 - 0:57
    Ъгълът с 90 градуса ще бъде ъгълът,
    който е
  • 0:57 - 0:59
    срещулежащ на този диаметър.
  • 0:59 - 1:00
    Не искам да го именувам още,
    защото това би
  • 1:00 - 1:02
    провалило удоволствието от
    доказването.
  • 1:02 - 1:05
    Сега да видим какво можем да направим,
    за да покажем това.
  • 1:05 - 1:09
    В нашия инструментариум от знания имаме
    представата за вписан ъгъл,
  • 1:09 - 1:13
    и неговата връзка с централния ъгъл, който
  • 1:13 - 1:15
    отсича същата дъга.
  • 1:15 - 1:16
    Да погледнем това.
  • 1:16 - 1:19
    Да кажем, че това е вписан ъгъл тук.
  • 1:19 - 1:23
    Да го означим с θ (тета).
  • 1:23 - 1:25
    Сега нека кажем, че това е центърът на
  • 1:25 - 1:27
    моята окръжност ето тук.
  • 1:27 - 1:30
    Тогава този ъгъл тук би бил
    централен ъгъл.
  • 1:30 - 1:33
    Нека начертая още един ъгъл тук,
  • 1:33 - 1:33
    друга отсечка тук.
  • 1:33 - 1:35
    Това е централен ъгъл тук.
  • 1:35 - 1:38
    Това е радиус.
  • 1:38 - 1:40
    Това е същия радиус – всъщност това
  • 1:40 - 1:41
    разстояние е същото.
  • 1:41 - 1:44
    Но ние научихме в предходно видео,
    че...
  • 1:44 - 1:52
    виж този вписан ъгъл, той
    отсича тази дъга тук горе.
  • 1:52 - 1:56
    Централният ъгъл, който отсича
    същата дъга,
  • 1:56 - 1:57
    е два пъти този ъгъл.
  • 1:57 - 1:59
    Доказахме го в предходно видео.
  • 1:59 - 2:02
    Така че това ще е 2θ.
  • 2:02 - 2:05
    Това е централния ъгъл, отсичащ
    същата дъга.
  • 2:05 - 2:10
    Сега този триъгълник тук, този тук,
  • 2:10 - 2:12
    е равнобедрен триъгълник.
  • 2:12 - 2:17
    Мога да го завъртя и да ги начертая така.
  • 2:17 - 2:22
    Ако го обърна, ще изглежда така,
    така, и после
  • 2:22 - 2:25
    зелената страна ще бъде долу ето така.
  • 2:25 - 2:29
    И тези две страни са с дължина r.
  • 2:29 - 2:31
    Този ъгъл на върха е 2 тета.
  • 2:31 - 2:34
    Всичко, което направих,
    е да го завъртя, за да
  • 2:34 - 2:35
    изглежда ето така.
  • 2:35 - 2:37
    Тази страна е тази тук.
  • 2:37 - 2:42
    След като неговите две страни са равни,
    това е равнобедрен триъгълник, следователно
  • 2:42 - 2:48
    ъглите при основата трябва да са равни.
  • 2:48 - 2:50
    Тези ъгли трябва да са еднакви, или ако
    трябваше да ги начертая тук горе,
  • 2:50 - 2:55
    това и това трябва да са точно
    еднакви ъгли при основата.
  • 2:55 - 2:58
    Сега нека да видя, вече използвах тета,
    може би
  • 2:58 - 3:00
    ще използвам х за тези ъгли.
  • 3:00 - 3:05
    Следователно това трябва да е х,
    и това трябва да е х.
  • 3:05 - 3:08
    На колко ще е равно х?
  • 3:08 - 3:12
    х плюс х плюс 2θ трябва да е равно
    на 180 градуса.
  • 3:12 - 3:14
    Те всичките са в един триъгълник.
  • 3:14 - 3:16
    Нека го запиша.
  • 3:16 - 3:23
    Имаме х + х + 2θ = 180 градуса,
  • 3:23 - 3:31
    или имаме 2х + 2θ = 180 градуса,
  • 3:31 - 3:36
    или получаваме 2х = 180 – 2θ.
  • 3:36 - 3:43
    Разделяме двете страни на 2 и получаваме
    х = 90 – θ.
  • 3:43 - 3:51
    Така че х = 90 – θ.
  • 3:51 - 3:53
    Сега да видим какво друго
    можем да направим с това.
  • 3:53 - 3:55
    Можем да погледнем този триъгълник тук.
  • 3:55 - 3:59
    Този триъгълник, тази страна тук,
    също има това разстояние
  • 3:59 - 4:02
    това тук също е
    радиус на окръжността.
  • 4:02 - 4:04
    Това разстояние тук
    вече го отбелязахме,
  • 4:04 - 4:05
    е радиус на окръжността.
  • 4:05 - 4:09
    Още веднъж, това също е
    равнобедрен триъгълник.
  • 4:09 - 4:13
    Тези две страни са равни, така че
    тези два ъгъла в основата
  • 4:13 - 4:14
    трябва да са равни.
  • 4:14 - 4:17
    Ако това е тета, това също ще е
  • 4:17 - 4:18
    равно на тета.
  • 4:18 - 4:21
    И всъщност ние използваме
    тази информация, за да
  • 4:21 - 4:25
    покажем, че първият резултат
    за вписаните ъгли и
  • 4:25 - 4:27
    отношението между тях и
    централните ъгли, които отсичат
  • 4:27 - 4:28
    същата дъга.
  • 4:28 - 4:30
    Така че ако това е тета, това е тета,
    защото това е
  • 4:30 - 4:31
    равнобедрен триъгълник.
  • 4:31 - 4:36
    Така че колко е този целият ъгъл тук?
  • 4:36 - 4:40
    Ще бъде θ + (90 – θ).
  • 4:40 - 4:42
    Този ъгъл тук ще бъде
  • 4:42 - 4:45
    θ + 90 – θ.
  • 4:45 - 4:46
    Е, тетите се съкращават.
  • 4:46 - 4:50
    Така че независимо от всичко, докато
    една страна от моя триъгълник е
  • 4:50 - 4:53
    диаметър и после върхът на
    срещуположния ъгъл,
  • 4:53 - 4:57
    който е срещулежащ на тази страна,
  • 4:57 - 5:02
    лежи на окръжността, тогава
    този ъгъл тук ще бъде
  • 5:02 - 5:09
    прав ъгъл и това ще бъде
    правоъгълен триъгълник.
  • 5:09 - 5:12
    Така че ако аз начертая нещо
    произволно, като това...
  • 5:12 - 5:16
    ако просто взема точка тук, така, и
  • 5:16 - 5:20
    начертая ей така, това е прав ъгъл.
  • 5:20 - 5:23
    Ако начертая нещо такова и излезе така,
  • 5:23 - 5:25
    това е прав ъгъл.
  • 5:25 - 5:28
    За всеки от тези мога да направя
    точно същото доказателство.
  • 5:28 - 5:30
    И всъщност начинът, по който го начертах тук, го запазих
  • 5:30 - 5:34
    основно, за да може да се приложи
    на всеки от тези триъгълници.
Title:
Правоъгълни триъгълници, вписани в окръжност (доказателство)
Description:

Доказателство, че всеки вписан в окръжност триъгълник, имащ за една страна диаметъра ѝ, е правоъгълен триъгълник.

more » « less
Video Language:
English
Duration:
05:35
Sevdalina Peeva edited български език subtitles for Right Triangles Inscribed in Circles (Proof)
veselanikolova added a translation

Bulgarian subtitles

Revisions Compare revisions