Introduction to Harmonic Motion

Hajde da vidimo, možemo li da iskoristimo ono što znamo o oprugama

da bi izveli intuitivno kako se

opruga kreće vremenom

I valjda ćemo naučiti nešto o harmonijskom oscilovanju.

Čak ćemo zapravo zakoračiti

u svet diferencijalnih jednačina pomalo.

I nemojte se obeshrabriti kad stignemo dotle

ili samo zatvorite oči kad se to desi

U svakom slučaju, nacrtao sam oprugu, kao

što sam to uradio zadnjih par snimaka

I 0, ova tačka ovde na x osi, to je mesto gde

je opruga sama u ravnoteži.

I u ovom primeru, imam masu, masu m,

zakačenu za oprugu.

I istegao sam oprugu.

U suštini povukao sam je.

Tako da se sada masa nalazi na tački A.

Pa, šta će se sada desiti ?

Kao što znamo, sila, povratna sila

opruge, jednaka je minus neka

konstanta, puta položaj x

Položaj x počinje u tački A

Pa, inicijalno, opruga će vući

nazad u ovom pravcu, jel tako ?

Opruga će vući nazad u ovom pravcu.

I biće sve brže i brže i brže

I naučili smo da u ovom trenutku, ona ima

puno potencijalne energije

U ovoj tački, kada se na neki način vrati u ravnotežni

položaj, imaće veliku brzinu i puno kinetičke

energije, ali veoma malo potencijalne energije

Ali tada će inertnost mase nastaviti da se kreće i

sabijaće oprugu sve dok,

kinetička energija nije ponovo prevedena u potencijalnu

Tada će se proces ponoviti.

Pa, hajde da vidimo, možemo li intuivivno zaključiti

kako će izgledati x kao funkcija vremena

Dakle, naš cilj je da odredimo x(t), x kao funkciju vremena.

To će biti naš cilj u ovom snimku i

verovatno nekoliko narednih.

Pa hajde da steknemo intuiciju o tome šta se ovde dešava

Dozvoli mi da pokušam da nacrtam x kao funkciju vremena

Dakle, vreme je nezavisna promenljiva

I počeće u trenutku t = 0.

Dakle, ovo je vremenska osa

Saću da nacrtam x osu

Ovo će možda biti malo neobično, da crtam

x osu vertikalno, ali to je zato jer je x

zavisna promenljiva u ovom slučaju.

Dakle, to je x osa, veoma neobično

Ili možemo da kažemo x(t), samo da bi znali da je x

funkcija vremena

I ovo stanje, koje sam nacrtao ovde, ovo je u trenutku

t=0, jel tako ?

Dakle, ovo je 0.

Dozvoli da promenim boju.

Dakle, u trenutku t=0, koji je položaj x mase m?

Pa x položaj je A.

Pa, nacrtaću ovo, ovo je A.

Zapravo, dozvoli da nacrtam liniju ovde.

To može biti korisno

Ovo je A.

I sada će ovo biti... Pokušavam da ga učinim

relativno.... ovo je negativno A.

To je -A.

Dakle u trenutku t=0, gde je ?

Pa, u A.

Dakle, tu je grafik, jel tako?

Zapravo, hajde da uradimo nešto zanimljivo.

Ajde da definišemo period.

Period ćemo označiti sa velikim T.

Definišimo period kao vreme, koje ke potrebno masi

da ode iz ovog položaja

i onda ubrzava, ubrzava, ubrzava...

ubrzava.

Ide zaista brzo u ovoj tački, sva kinetička energija.

I onda počne da usporava, usporava, usporava...

usporava.

I onda učini taj proces ponovo do početka.

Recimo da je T vreme koji je potrebno

da se desi ceo taj proces.

Dakle, u trenutku 0 danas, i takođe u trenutku T..

ovo je trenutakT.. Takođe će biti u A, jel tako ?

Samo pokušavam da nacrtam neke tačke koje su mi poznate

sa ove funkcije i samo da vidim da li mogu da steknem neku intuciju

o tome kakva bi ova funckija bila analitički.

Dakle, potrebno je T sekundi da ode do tamo i nazad, onda je

potrebno T/2 sekundi da ode tamo, jel tako ?

Isto vreme je potrebno da ode do tamo kao

i da se vrati nazad.

Dakle u trenutku T/2, koji će biti x položaj

Pa u trenutku T/2, telo će biti ovde.

Sabiće oprugu potpuno.

Pa u trenutku T/2, biće ovde.

I onda u tačkama između će biti na

x = 0, jel tako ?

Biće tu, i tu.

Nadam se da to ima smisla.

Tako da sada znamo ove tačke.

Hajde da razmislimo malo o tome kako funkcija zapravo izgleda

Da li će ti biti prava linija na dole, pa prava

linija na gore, pa onda na dole, pa onda

prava linija na gore.

To bi značilo... Razmisli o tome... Ako imamo pravu

liniju na dole, da to celo vreme, je konstantna

brzina promene x vrednosti.

ili drugačiji način posmatranja toga, je

da bi onda imali konstantnu brzinu, jel tako?

Pa, imamo li konstantnu brzinu svo vreme?

Pa, ne.

Znamo da u ovoj tački ovde

brzina veoma velika, jel tako ?

Imamo veoma veliku brzinu.

Znamo da u ovoj tački imamo jako malu brzinu

Dakle, ubrzavamo svo ovo vreme

I zapravo, što više razmišljaš o tome, usporavaš

sve manje i manje.

Ali ubrzavaš svo vreme.

I onda ubrzavaš i usporavaš

svo vreme.

Dakle brzina promene x nije konstantna, dakle

nećeš imati cik-cak oblik, jel tako ?