Título: Introdução ao Movimento Harmônico Simples (M.H.S.)

Intuition behind the motion of a mass on a spring (some calculus near the end).

Vamos ver se conseguimos usar aquilo que sabemos à respeito de molas para

ter uma pequena intuição de como

a mola se move com o tempo.

Com sorte aprenderemos um pouco

sobre o Movimento Harmônico.

Nós iremos até entrar um pouco no mundo

das equações diferenciais.

E não fique assustado quando chegarmos lá.

Ou então apenas feche os olhos quando chegarmos lá.

Enfim, eu desenhei uma mola, como eu tenho feito

nos meus outros vídeos.

O "0", esse ponto na abscissa x, é onde a mola

se encontra em seu estado natural.

E nesse exemplo nós temos o bloco de massa "m"

conectado à mola.

Eu estiquei a mola.

Eu essencialmente a puxei.

Para que o bloco esteja agora no ponto "A".

Então, o que irá acontecer nesse modelo?

Como sabemos, a força elástica da

mola é igual a menos alguma

constante vezes a posição x.

Com a posição x começando em A.

Então, inicialmente a mola irá

para trás, certo?

A mola irá voltar para a esquerda.

Irá ganhar mais e mais e mais e mais velocidade.

E nós sabemos que neste ponto, o bloco possui

muita energia potencial

Neste ponto, quando o bloco estiver no seu estado

natural, ele terá muita velocidade e muita energia

cinética, e muito pouca energia potencial.

Mas o bloco continuará se movendo e irá

comprimir a mola ao máximo até que toda

a energia cinética se torne energia potencial de novo.

Então o processo irá recomeçar de novo.

Veremos se conseguimos uma intuição de como o "x"

ficará em função do tempo.

Nossa meta é descobrir x(t), x em função do tempo.

Essa será nossa meta neste vídeo e

provavelmente no próximos

Vamos tentar ter uma intuição do que está acontecendo aqui.

Deixe-me transformar o x em função do tempo em um gráfico.

Para que o tempo seja a variável independente.

Começarei igualando o tempo a 0.

Essa será a abscissa do tempo.

Deixe-me desenhar a abscissa x.

Isso deve ser um pouco estranho para você, eu estar desenhando a

abscissa x na vertical, mas é por que x é a

variável dependente nessa situação

Essa é a abscissa x, muito diferente.

Ou nós poderíamos apenas dizer x de t, para que
você saiba que x está em função

do tempo, x de t.

E nesse modelo que eu desenhei aqui, este é o local onde

o tempo se iguala a 0, certo?

Então aqui é o 0.

Deixe-me trocar a cor.

Quando o tempo for igual a 0, qual é a posição x
do bloco?

Vejamos, a posição x é A, certo?

Então se eu desenhar isto, isto será A.

Bom, vou desenhar a linha aqui.

Pode acabar se tornando útil.

Isto é A

E isso será... vou tentar faze-las relativamente

parecidas... isso é A negativo.

Isso é menos A.

Quando t se iguala a 0, onde é isso?

Bom, é em A

Então é aqui onde fica, certo?

Vamos fazer algo interessante.

Vamos definir o Período

Escrevemos o período com um T maiúsculo.

Dizemos que o período é quanto tempo o bloco leva
para ir

desta posição.

O bloco vai acelerar, acelerar, acelerar,

acelerar.

Estará muito rápido neste ponto, com toda sua energia cinética.

Então começa a brecar, brecar, brecar,

brecar.

Então realiza isso tudo de novo para o outro lado.

Vamos dizer que T é o tempo que o bloco leva para
realizar

esse processo, ok?

No tempo 0, nós sabemos que no tempo T--

esse é o tempo T-- também estará em A, correto?

Só estou colocando no gráfico alguns pontos que eu
sei dessa

função e vendo se consigo ter alguma intuição de como

essa função será.

Se leva T segundos para o bloco ir e voltar, levará

T sobre 2 segundos para chegar aqui, ok?

O mesmo tempo que levou para chegar aqui
é também

o mesmo tempo que levará para voltar.

Em T sobre 2 qual será a posição x?

Bom, em T sobre 2, o bloco estará aqui.

Ele terá comprimido ao máximo a mola.

Então em T sobre 2 estará aqui.

E no meio de T/2 e T, estará o ponto onde x

se iguala a 0, ok?

Será aqui e aqui.

Espero que isso faça sentido.

Agora que sabemos esses pontos.

Vanos pensar em como a função deve ser.

Será apenas uma linha reta para baixo e então

uma linha reta para cima, e para baixo e

para cima

Isso implicaria-- pense sobre isso-- se tivermos uma
linha

para baixo toda hora, isso significa que teríamos
um

troca constante do valor de x.

Pensando de outra maneira, nós teríamos

uma velocidade constante, certo?

Nós temos uma velocidade constante durante esse processo?

... Não.

Nós sabemos que neste ponto o bloco está a uma

alta velocidade certo?

Temos uma velocidade muito alta.

Sabemos também que neste ponto o bloco tem
uma velocidade baixa

O bloco está acelerando constantemente.

E se pensarmos melhor, o bloco está

desacelerando.

Mas está acelerando constantemente.

Então está acelerando e desacelerando o

tempo todo.

Isso nos diz que o valor de x não é constante
então não teremos

um padrão em zig-zag, certo?

Esse padrão continua, então teremos pontos
aqui e aqui.

Então o que temos?

Quando começa o bloco está bem devagar.

A mudança do valor de x é lenta.

Então ele começa a acelerar.

Então, quando chega neste ponto, bem aqui, começa a

desacelerar.

Neste ponto a velocidade será exatamente 0.

A mudança de valor então será 0.

Então começa a acelerar de novo.

A velocidade mais e mais alta.

Estará realmente rápido nesse ponto.

Então começa a desacelerar a partir daqui.

Então neste ponto, a que este ponto corresponde?

O bloco voltou para A.

Neste ponto a velocidade é 0 novamente.

Então a mudança de x é 0.

Então começa a acelerar de novo.

Sua velocidade aumenta, aumenta e aumenta

Esse é o ponto onde a energia cinética atinge seu ápice.

Então a velocidade começa a cair de novo.

Perceba que aqui sua velocidade é 0.

Isso significa que não há energia cinética

nesses pontos.

E o ciclo continua.

E vai e vai e vai e vai e vai e vai.

Com o que se aprece agora?

Eu não provei a você isso, mas de todas as

funções que tenho em meu repertório, essa parece muito

com uma terrível função trigonométrica.

E se eu escolhesse uma, escolheria a cosseno.

Por que?

Porque quando o cosseno é 0-- Vou escrever aqui--

cosseno de 0 é igual a 1, certo?

então quando t se iguala a 0, essa função é igual a A.

Então essa função irá parecer com algo como A
vezes cosseno

de-- eu vou usar a variável omega t-- irá parecer

com alguma coisa assim.

E aprenderemos que parece exatamente

com isso.

Mas eu quero provar para você, então não

acredite apenas na minha palavra.

Vamos descobrir como podemos descobrir o que
é w.

É provavelmente em função da massa do
bloco e

provavelmente em função da constante k

da mola, mas não tenho certeza.

Veremos o que conseguimos descobrir.

Agora vou usar um pouco de cálculo.

Na realidade, uma boa quantidade de cálculo

Nós vamos até ver equações diferenciais.

Essa é provavelmente a 1ª equação diferencial que

você vê na sua vida, é uma ocasião especial.

Mas… vamos em frente.

Feche os olhos se não quer ficar confuso, ou vá

assistir os vídeos de cálculo para saber o que é
uma

derivada.

Vamos escrever essa, aparentemente simples, equação
ou vamos

reescrevê-la da maneira que sabemos.

Qual a definição de força?

Força é igual a massa vezes a aceleração, certo?

Podemos reescrever a lei de Hooke como-- deixe me trocar a cor--

massa vezes a aceleração é igual a menos a constante da
mola

vezes a posição, correto?

Eu vou escrever a posição em função de t,

para você lembrar.

Nós estamos tão acostumados com x sendo uma variável independente

que se eu não colocar em função de t, pode se tornar confuso.

Você diria, nossa, eu pensava que x era uma variável independente.

Não.

Porque nessa função que queremos descobrir, nós queremos

saber como é o x em função do tempo.

Essa é também uma boa revisão de

equações paramétricas.

É aqui que começamos com o cálculo

O que é aceleração?

Se eu tenho...

Se eu uso a posição x, a posição é igual a x em

função de t, certo?

Eu defino um tempo, e a função me dá o valor de x.

Essa é a posição.

Qual é a minha velocidade?

Bom, minha velocidade é uma derivada disso, certo?

A velocidade, em qualquer ponto, será a

derivada dessa função.

A variabilidade da função em respeito a t.

Então vou usar a variabilidade

em função de t, x em função de t.

Vou escrever isso como dx sobre dt.

E qual é minha aceleração?

Bom, aceleração é a variabilidade

da velocidade, certo?

Então seria a derivada disso.

Ou de uma outra forma, pegando a segunda

derivada da posição, certo?

Nessa situação, a aceleração é igual a, nós

podemos escrever como-- só estou mostrando a você as diferentes

anotações possíveis-- x''em função de t, segunda derivada de x em

função de t.

Ou-- isso são apenas anotações-- d ao quadrado vezes x sobre

dt ao quadrado.

Então essa é a segunda derivada.

Parece que meu tempo está acabando.

Nos vemos em meu próximo vídeo.

Se lembre de tudo o que eu anotei.

Tchau!