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일단 우리가 용수철에 대해 알고 있는 사실을 조금
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떠올려보면서 시간에 대한 용수철의 움직임을 분석할
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아이디어를 조금 얻어 봅시다
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그리고 다행히 우리는
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조화진동자에 대해 조금 배울 것입니다
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그리고 실제로 우리는 이번에 미분방정식의
세계에 조금이지만
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입문할 것입니다
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미분방정식과 마주했을때 도망치지 마십시오
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아니면 방정식을 풀때 눈을 감고 계십시오
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어쨋든 저는 저번 강의처럼 스프링을
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그렸습니다
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그리고 이 지점을 x축의 기준점인 0으로 잡습니다
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바로 용수철의 자연길이일때의 위치입니다
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이 예제에서는 용수철에 달린
물체의 질량을 m이라
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하겠습니다
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그리고 제가 이 용수철을 늘리기 시작합니다
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저는 이 용수철을 당깁니다
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그렇게 당겨서 물체의 위치가 A까지 오도록 합니다
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그럼 어떤일이 벌어질까요?
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여러분이 모두 알다시피 힘 즉 용수철의
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복원력은 마이너스 변위 곱하기
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어떤 상수와 같습니다
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x좌표는 A입니다
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용수철을 당기면 용수철은 물체를 이쪽 방향으로
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당길 것 입니다
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용수철은 물체를 이쪽으로 당깁니다
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그리고 물체는 당겨지는 과정에서 점점 빨라질 것입니다
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그리고 우리가 배웠들이 이 지점에서 용수철은
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큰 퍼텐셜에너지를 가지고 있습니다
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이 지점에서 용수철로부터 온동과 반대방향의
복원력을 받기 시작하면
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매우 큰 속력과 운동에너지를 가지겠지만
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퍼텐셜에너지의 양은 매우 작을 것입니다
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하지만 물체의 관성은 물체가 계속
같은 방향으로 운동하게 할 것입니다
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용수철이 물체의 모든 운동에너지를 퍼텐셜에너지로
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바꿀때까지는 그렇습니다
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그리고 이후에는 같은 과정이 반복됩니다
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그럼 x좌표를 시간에 대한 함수로 나타내면 어떤 형태일지
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직관적으로 이해하기 위해 조금 생각해봅시다
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우리의 최종목표는 t에 대한 x 즉 x의 시간에
대한 함수를 알아내는 것입니다
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그리고 이 함수를 알아내는 것이
이 강의의 최종목표이기도
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하고 다음 몇 강의도 그럴 가능성이 높습니다
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그럼 이 지점에서 어떤일이 일어나는지에 대한
그림을 한번 그려 봅시다
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일단 x를 시간에 대해 한번 그래프에 나타내 보겠습니다
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시간이 독립변수이고
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시간은 0 에서부터 시작하겠습니다
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이것이 시간축입니다
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x축을 한번 그려보겠습니다
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이 형태의 그래프는 여러분에게 익숙하지 않을
수 있는데요 왜냐하면
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제가 이 그래프에서 x축이 세로축이기 때문입니다
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하지만 이 상황에서는 x가 종속변수이므로 어쩔 수 없습니다
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그럼 이것이 x축입니다 조금 익숙하지
않으실 수도 있지만요
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또는 우리는 t 에 대한 x 라 할 수도 있습니다
그리고 여러분이 알듯이 x는
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시간의 함수입니다 t에 대한 x
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그리고 이 상태에서 저는 이곳에 그렸습니다
그리고 이 시간에서
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x좌표는 0입니다
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그러면 여기는 0 입니다
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색을 조금 바꾸도록 하겠습니다
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그럼 시간이 0일떄 이 물체의 x좌표는 얼마일까요?
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x좌표는 A입니다
그렇죠?
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이것을 그린다면 이것의 위치는 A입니다
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일단 여기 선을 하나 그리도록 하겠습니다
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상당히 유용할 것 같거든요
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여기가 A입니다
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그리고 이것은
한번 이것을
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상대적으로 만들어보도록 하죠
이것은 음의 A이고
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이것은 마이너스 A입니다
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시간이 0 일때 물체는 어디있습니까?
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이것은 A에 있습니다
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그럼 이것이 그래프가 있는 위치입니다
그렇죠?
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사실 조금 더 흥미로운 것을 해보죠
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이 시점의 상황에 대해 알아봅시다
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그럼 주기를 T라고 하겠습니다
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그리고 주기를 질량 m의 물체가 자신의
위치에서 출발한뒤 다시 한번 자신의 위치로
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돌아올때까지의 시간으로 정의하겠습니다
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물체는 점점 가속될 것입니다
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계속요
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그리고 이점에서는 아주 빨라질 것이고
모든 에너지는 운동에너지로 전환될 것입니다
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그리고 물체는 서서히
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느려집니다
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그리고 이 과정 전체가 다시 반복됩니다
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이 모든 과정이 진행되는 시간을 T
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라고 합시다
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그럼 시간이 0일때 그리고 우리는 시간이 T일때
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이것이 T입니다 이것은 또한 A입니다
그렇죠?
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저는 이 물체의 위치를 일부 그래프에 찍어보고자 합니다
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그리고 이 물체의 위치를 나타내는 함수를 조금
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직관적으로 이해해서 구체적으로
어떤 함수인지 알아보고자 합니다
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그럼 이 물체가 여기서 여기까지 이동하는데
T/2 초가
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걸립니다
그렇죠?
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이곳에서 이곳까지 가는데 걸리는 시간도
동일하고
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다시 돌아오는데 걸리는 시간도 동일합니다
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즉 T/2 초에서 x좌표는 얼마일까요?
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T/2 초에서 블럭은 바로 여기 있을 것입니다
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용수철은 이때 여기까지 압축됬을 것입니다
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T/2 에서 물체는 여기 있었을 것입니다
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그리고 이 사이의 점에 위치한다면 x좌표는
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0일 것입니다
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이것은 여기와 여기에 있을 것입니다
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다행히도 이것은 이치에 맞습니다
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이제 우리는 이 물체가 지나는 지점들을 압니다
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그럼 함수가 실제로 어떤 형태를 띄는지 알아봅시다
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함수가 단지 아래쪽을 향하는 직선 다음에
위쪽을 향하는
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직선이 이어지고 다시 위쪽을
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향하는 직선을 이어붙인 형태일까요?
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그것은 이치에 맞지 않을 것입니다
생각해봅시다 만약 아래쪽을 향하는 직선이라면
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그것은 x좌표의 변화가 그래프가 아래쪽을
향하는 동안 계속
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일정하다는 의미입니다
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조금 다른 방법으로 생각해보면
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물체는 일정한 속도을 가질 것입니다
그렇죠?
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그럼 과연 물체는 계속 일정한 속도를 가질까요?
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그렇지 않습니다
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우리는 이 점에서 물체의 속력이 아주 크다는 사실을
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알고 있습니다
그렇죠?
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물체는 매우 큰 속력을 가집니다
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그리고 우리는 이점에서 물체의 속력이 매우 작다는
사실을 압니다
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그럼 이 물체는 주기 내내 가속하고 있습니다
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그리고 사실 조금 더 생각해보면 물체는
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속력이 감소하게 가속합니다
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하지만 어쨋든 물체는 주기 내내 가속합니다
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구체적으로는 가속한다음 감속하는
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과정이 계속 이어집니다
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그러므로 x좌표의 변화량은 일정하지 않습니다
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즉 지그재그 형태의 각진 그래프는 나오지 않습니다
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그리고 물체는 계속 여기를 향하고
결국 여기에 도달할 것입니다
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그럼 무엇이 일어나고 있을까요?
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물체가 처음 가속하면 아주 느립니다
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x의 변화량은 아주 작습니다
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그리고 서서히 가속합니다
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그리고 이 지점에 도달한 뒤부터는 서서히
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감속합니다
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이 지점에 도달할때 속력은 정확하게 0이 됩니다
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즉 x좌표의 변화량 또는 기울기가 0이 됩니다
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그리고 물체는 다시 뒤쪽으로 가속합니다
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그리고 속력은 다시 점차적으로 빨라집니다
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이 지점에서는 매우 빠를 것입니다
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그리고 이 지점에서부터 느려집니다
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이 지점은 그래프의 어떤 점과 대응할까요?
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물체는 다시 A에 돌아왔습니다
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이 지점에서 물체의 속력은 다시 0입니다
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그러므로 x톼표의 변화량은 0입니다
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그리고 물체는 다시 가속하기 시작합니다
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그래프의 기울기는 계속 증가합니다
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이 지점에서 물체는 가장 큰 운동에너지를 가집니다
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그리고 물체의 속력은 감소하기 시작합니다
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그리고 아셔야 할 것은 이곳에서
그래프의 기울기는 0이라는 것입니다
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이것은 이 지점에서 물체는 운동에너지를
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가지지 않는다는 것입니다
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그리고 물체는 다시 이동합니다
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계속 이동합니다
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그럼 그래프는 결국 어떤 형태일까요?
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사실 아직 정확한 증명은 하지 않았습니다만
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형태를 보면 이 함수는 삼각함수와
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대단히 비슷하게 생겼다는 것을 알 수 있습니다
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그리고 삼각함수중에 한가지를 고른다면
Cos함수를 고르겠습니다
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어째서일까요?
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왜냐하면 Cos함수는 x가 0일때
여기 적도록 하죠
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Cos(0) = 1입니다
그렇죠?
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t가 0일떄 이 함수의 값은 A입니다
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그러면 이 함수는 마치 A Cos 과 같은 형태이고
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그냥 변수 오메가와 t를 쓰겠습니다
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그리고 아마도 함수는 이런 형태일 것입니다
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그리고 이 함수가 실제로 그렇다는 것을
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증명할 것입니다
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이제 증명을 시작할 것이니 겁먹지
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마십시오
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그럼 한번 어떻게 오메가를 구할 수 있을지 생각해봅시다
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오메가는 아마도 물체의 질량과
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용수철의 탄성계수의
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함수일 것입니다
하지만 확실하지는 않습니다
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그럼 무엇을 알 수 있는지 보도록 하겠습니다
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이제부터 저는 약간의 미분적분학을 사용하도록 하겠습니다
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사실은 상당한 미적분학입니다
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그리고 미분방정식도 조금 쓸 것입니다
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아마도 이것은 여러분이 보는 첫 번째
미분방정식일 것입니다
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즉 이것은 여러분의 인생에 있어 중대한 기회입니다
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하지만 일단은 그냥 풀어보죠
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혼란되기 싫으시다면 눈을 감으십시오
아니면
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미분이 무엇인지 알때까지 미분적분학에
대한 강의를
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듣고 오시는 것이 좋습니다
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자 그럼 일단 이 간단한 식을 적어봅시다
또는 우리가 아는
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방식으로 식을 재구성해 봅시다
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힘의 정의는 무엇일까요?
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힘은 질량 곱하기 가속도입니다
그렇죠?
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그럼 우리는 훅의 법칙을
일단 색을 조금 바꾸겠습니다
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질량 곱하기 가속도는 마이너스 용수철 상수
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곱하기 변위입니다
그렇죠?
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그리고 저는 변위를 시간의 함수로 나타내겠습니다
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여러분이 기억하기 쉽도록요
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우리는 x 즉 변위가 독립변수라는 것에
너무나도 익숙해서 제가
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x를 t의 함수로 쓰지 않으면 굉장히 혼란스러울 것입니다
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여러분은 x가 독립변수라고 생각하셨을 것입니다
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아닙니다
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우리가 알려고 하는 이 함수에 대해서 알고자 하는 것은
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시간에 대해서 어떤일이 일어나는가를 알고 싶은 것입니다
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그러니 사실 매게변수 방정식에 대한 좋은
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복습이 될 것입니다
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이제부터 미분적분학에 본격적으로 들어갑니다
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가속도란 무얼일까요?
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만약 물체의 현 위치를 x라고 한다면 물체의 위치는
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x의 t에 대한 함수입니다
그렇죠?
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약간의 시간을 흘리고, 그 이후 x좌표가
어떻게 변하는지 알아봅시다
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이것이 물체의 위치입니다
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물체의 속력은 어떨까요?
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물체의 속력은 이것의 미분값입니다
그렇죠?
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임의의 위치에서 물체의 속력은 이 함수의
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미분값이 될 것입니다
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바로 이 함수의 t에 대한 변화율입니다
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그러므로 저는 t에 대한 x의
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계산합니다
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그리고 저는 이것을 dx, dt로 적을 것입니다
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그럼 가속도는 어떻게 될까요?
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가속도는 속도의 변화율입니다
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그렇죠?
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그러므로 이 값의 미분값이 될 것입니다
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또 다른 식으로 말하자면
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위치함수의 이계도함수를 취하는
것과 같다고 할 수 있습니다
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즉 이 상황에서 가속도는
이렇게도 쓸 수 있는데
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저는 그냥 여러분에게 여러가지 표기를
보여드리는 것입니다
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t에 대한 x 프라임 프라임
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t에 대한 x의 이계도함수
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이것들은 그냥 표기법일 뿐입니다
dt제곱 분의
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d제곱 x
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이것이 이계미분입니다
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이런 시간이 다되었군요
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다음 비디오에서 뵙겠습니다