Introduction to Harmonic Motion

Vaatame kas me saame kasutada oma teadmisi vedrudest,

et paremini mõista kuidas

vedru aja jooksul liigub.

Loodetavasti õpime midagi

harmoonilisest võnkumisest.

Tegelikult puudutame veidi

diferentsiaalvõrrandeid ka.

Ära ehmu, kui me sinna jõuame.

Või lihtsalt sule silmad, kui see juhtub.

Ma olen joonistanud vedru, nii nagu

eelmistes videotes.

ja 0, selles punktis, mis asub x-teljel,

on vedru puhkeasend.

Selles näites on mul mass

kinnitatud vedru külge.

Ma olen vedrut venitanud.

Mass on nüüd punktis A.

Mis juhtub sellega?

Verdu taastav jõud

on võrdne miinus

konstant korrutada x koordinadiga

X koordinaat on punktis A.

Seega vedru tõmbub

tagasi selles suunas.

Vedru tõmbub tagasi selles suunas.

See hakkab liikuma kiiremini ja kiiremini.

Oleme juba õppinud, et sellel on suur

potensiaalne energia.

Kui see jõuab tagasi puhkeasendisse,

siis on sellel suur kiirus ja suur

kineetiline energia, aga väga väiks potensiaalne energia.

aga selle impulss paneb keha edasi liikuma ja

see surub vedrut, kuni kõik

kineetiline energia muundub potensiaalseks energiaks.

Siis algab see protsess uuesti.

Vaatame kas me saame aru milline on x

aja funktsioonina.

Meie eesmärk on välja selgitada x-i aja funktsioon.

See on selle video eesmärk,

arvatavasti ka järgmiste videote eesmärk.

Proovime mõista seda,
mis juhtub siin.

Ma proovin teha graafiku.

Aeg on sõltumatu muutuja.

Alustan siis kui aeg on 0.

See on ajatelg.

Ma joonistan x-telje.

See võib olla ebatavaline, et ma joonistan

x-telje vertikaalselt, aga see on selle pärast,
et x on

sõltuv muutuja selles olukorras.

See on ebatavaliselt x-telg.

Või võiksime öelda x(t). sest x

on ajafunktsioon

Selles olukorrras, mille ma olen siia joonistanud,
on

aeg võrdne nulliga

See on 0.

Las ma vahetan värve.

Kui aeg on võrdne nulliga, siis, mis
on massi x-positsioon?

X-i asukoht on A.

See on A.

Ma teen joone siia.

Sellest võib kasu olla.

See on A.

Ja sellest saab

miinus A.

See on -A.

Kus on mass, kui aeg on võrdne 0.

See on punktis A.

Graafikul on see siin.

Tegelikut teeme midagi huvitavat.

Määrame perioodi.

Perioodi ma märgin suure T-ga.

Periood on aeg, mille jooksul mass

liigub sellest positsioonist...

see hakkab kiirendama, kiirendama,
kiirendama

ja kiirendama.

See liigub selles punktis väga kiiresti.

Ja siis hakkab see aeglustama, aeglustama,
aeglustama.

Ja, siis teeb see terve protsessi uuesti algpunkti.

Ütleme, et T on ajahulk, mille jooksul

see läbib terve protsessi.

Ajahetkel 0, ja samuti teame, et ajal T,

on see puntis A.

Ma lihtsalt lisan funktsioonist punkte graafikule,

et paremini mõista, mis

funktsioon analüütiliselt on.

Kui edasi ja tagasi liikumiseks kulub T sekundit, siis

siia jõudmiseks kulub sellel T/2 sekundit.

See aeg, mis kulus siia jõudmiseks

on sama aeg, mis kulub tagasi jõudmiseks.

Mis on x asukoht ajal T/2?

Ajal T/2 on see siin.

Siin on see täielikult kokku surutud.

Ajal T/2 on see siin

Nende punktide vahel on x

võrdne nulliga.

See oleks siin ja siin.

Loodetavasti on see loogiline.

Nii, et meil on need punktid teada.

Mõtleme, milline näeb tegelik funktsioon välja.

kas see oleks lihtsalt sirge
joon alla ja, siis sirge

joon ülesse ning sirge joon alla

ja sirge joon ülesse.

See tähendaks, et, kui sul on kogu aeg

sirge joon alla, siis see tähendab, et
sul muutuks

x-i väärtus konstantselt.

või teisiti mõeldes oleks see, et sellel

oleks konstantne kiirus.

Kas mel on kogu aeg konstantne kiirus?

Ei.

Me teame et selles punktis on sellel

väga suur kiirus.

Sellel on väga suur kiirus.

Me teame et selles punktis on sellel
väga väike kiirus.

Sellel on kogu aeg kiirendus.

Tegelikult, mida rohkem mõelda selle peale,

siis see tegelikult aeglustub

Aga sellel on kiirendus

See kiirendab ja seejärel aeglustub

kogu selle aja jooksul.

X tegelikult ei muutu konstantselt ja seega

ei ole sellel graafikul sik-sak muster.

Mis juhtub?

Kui see stardib, siis see
liigub väga aeglaselt.

X-i väärtuse muutumine on väga aeglane.

ja siis see hakkab kiirendama.

Ja kui see jõuab sellesse punkti,

siis see hakkab aeglustuma

Selles punktis on kiirus täpselt 0.

X-i muutumise kiirus on 0.

Siis hakkab mass uuesti kiirendama.

selle kiirus suureneb ja suureneb.

Selles punktis on massi kiirus väga suur.

Ja selles punktis hakkab mass aeglustuma.

Millele vastab see punkt?

See on tagasi puntis A.

selles punktis on massi kiirus jälle 0.

X-i muutumise kiirus on 0.

Nüüd hakkab see jälle kiirendama.

Selles punktis on kineetiline energia
kõige suurem.

Siis selle kiirus hakkab vähenema.

Nendes punktides on X-i kõrgus 0.

See tähendab, et nendes punktides

pole sellel kineetilist energiat.

Ja see liigub edasi.

Milline see välja näeb?

Ma ei ole seda veel tõestanud, aga

minu arvates näeb see välja

nagu mingi trigonomeetriline funktsioon.

Kui ma peaksin valima, siis see oleks
koosiinusfunktsioon.

Miks?

Sest kui koosiinus on 0,

siis see on võrdne ühega.

Kui t on 0, siis see funktsioon on võrdne A-ga.

See funktsioon on tõenäoliselt midagi sellist:

Acos(ωt)

see näeb välja nagu see funktsioon.

kohe saame teada et see näeb välja

täpselt nagu see.

Aga ma tahan seda teile tõestada.

Vaatame kuidas me välja mõtleme, mis on ω.

See on tõenäoliselt keha massi

ja vedrukonstandiga funktsioon,

aga ma pole kindel.

Vaatame mis me välja mõtleme.

Nüüd ma alustan natuke kõrgema matematikaga.

Tegelikult päris palju kõrgemat matematikat.

ja me isegi vaatame diferentsiaalvõttandeid.

See võib olla esimene diferentsiaalvõrrand, mis sa näed

enda elus.

Liigume edasi.

pane silmad kinni, kui sa ei taha segaduses olla.

vaata kõrgema matemaatika videosid, siis
tead vähemalt,

mis on derivaat.

Kirjutame selle näiliselt lihtsa valemi,

või kirjutame selle nii nagu me aru saame.

mis on jõu definitsioon?:

F=ma.

Nii saame kirjutada hooke'i seaduse nii,

et mass korda kiirendus on võrdne
miinus vedrukonstant

korda asukoht.

Kirjutame asukoha t funktsioonina,

lihtsalt et sa mäletaks.

Oleme nii harjunud et x on sõltumatu muutuja ja,

kui ma poleks kirjutanud t funktsiooni,
siis oleks see segane.

Muidu sa oleks arvanud,
et x oleks sõltumatu muutuja,

Ei.

Sest selles funktsioonis tahame teada,

mis juhtub ajaga.

See on tegelikult hea eelvaade

parameetriliste võrrandite kohta.

Siin me vaatama kõrgemat matemaatikat.

Mis on kiirendus?

Kui mu asukoht on x

ajafunktsioonina.

Kui ma tegelen sellega, siis see ütleb mulle,
mis mu x väärtus on.

See on mu asukoht.

Mis on mu kiirus?

Mu kiirus on selle tuletis.

Mu kiirus mis tahes ajahetkel on

selle funktsiooni tuletis.

Selle funktsiooni muutumise kiirus t suhtes.

Võtan muutumise kiiruse

t suhtes x(t).

Ja saaks kirjutada selle dx jagatud dt.

Mis on kiirendus?

Kiirendus on kiiruse muutumise

kiirus.

Võtan sellest tuletise.

Teine viis selle tegemiseks oleks võtta

teine tuletis funktsiooni asukohast.

Selles olukorras on kiirendus võrdne...

me saaks ka kirjutada - ma lihtsalt näitan teile erinevaid
märkimise viise-

x''(t), x-i teine tuletis

t suhtes.

või d ruut x jagatud d ruut t.

See on teine tuletis.

Mul hakkab aeg otsa saama.

Näeme järgmises videos.

Jäta meelde mis ma just kirjutasin.