Въведение в хармонично движение

Изграждане на интуиция за движението на маса на пружина (с малко висша математика към края).

Да видим дали можем да използваме това,
което досега знаем за пружините,

за да добием представа как една пружина
се движи с течение на времето.

Да се надяваме, че ще научим малко повече
и за хармоничните движения.

Всъщност дори ще навлезем и в света
на диференциалните уравнения.

Не се обезсърчавай, като стигнем дотам.

Просто затвори очи, когато се случи.

И така, начертал съм пружина,
подобно на последните няколко видеа.

Нулата – тази точка на абсцисата –
се нарича равновесно положение

и представя състоянието
на пружината в покой.

В този пример имаме маса m,
прикрепена към пружината.

Разтягаме пружината.
Издърпали сме я.

Сега масата е в точка А.

И какво ще се случи сега?

Kакто знaем,
връщащата сила на пружината

е равна на минус някаква константа
(коефициентът на еластичност), по х позицията –

х позицията, започваща от А.

Така първоначално пружината
ще се движи назад насам.

Пружината се връща назад така,

става все по-бърза и по-бърза и по-бърза.

А знаем, че в тази точка тя има
голяма потенциална енергия.

В тази точка, в която пружината се връща
обратно към равновесното си положение,

тя ще има висока скорост
и голяма кинетична енергия,

но много малка потенциална енергия.

Но поради инерцията
ще продължи да се движи.

Пружината ще продължи да се движи,
чак докато

цялата тази кинетична енергия
се превърне обратно в потенциална енергия.

След това процесът ще започне отначало.

Така че нека видим
дали можем добием представа

за това как ще изглежда х
като функция на времето.

Нашата цел е да намерим x(t) –
x като функция на времето.

Това ще е нашата цел сега и може би
в следващите няколко видеа.

Нека разберем какво се случва.

Нека се опитам да представя графично
х като функция на времето.

Времето е независимата променлива.

Ще започнем при t = 0.

По тази ос е времето.

Необичайното тук е,
че оста x е вертикалната,

но това е защото x в случая
е зависимата променлива.

Това е х оста, доста необичайно.

Така е, защото представяме х
като функция на времето.

И това състояние,
което съм представил тук –

това е, когато времето
е равно на 0, нали така?

Това е при t = 0.

При t = 0 колко е х?

Ами х е при точка А.

Това е А.

Всъщност нека начертая права там,

това може да е полезно.

Това е A,

а тук ще бъде -А.

Това е -А.

При t = 0 къде ще бъде х позицията?

Ще бъде при А.

Всъщност нека направим нещо интересно,

нека дефинираме периода – с главно T.

Да кажем, че периодът е
колко време отнема на тази маса

да тръгне от тази позиция –

тя ще ускорява, и ускорява,
ще стане много бърза в тази точка.

Всичко това е кинетична енергия,

после ще започне да намалява

и целият процес ще се повтори обратно.

Да кажем, че Т е времето,
необходимо за целия този процес.

Така при t = 0, а също и при t = Т,

Тук е Т.

Опитвам се да отбележа точките,
които знам от тази функция,

и да предположа как тази функция
би изглеждала аналитично.

Ако са необходими T секунди масата да достигне
от точка А до -А и да се върне обратно,

ще отнеме T/2 секунди,
за да стигне до -А, нали така.

Същият интервал от време, който
изминава, за да стигнем дотук,

е необходим и за да се върнем обратно
в точка А.

Така при Т/2

каква ще бъде x позицията ?

При T/2 блокчето ще e в -А.

Пружината ще се е свила чак дотук.

Така, при T/2, ще бъде тук.

А в точките помежду им
ще бъде при х = 0, нали така?

Ще бъде ето тук и тук.

Дано е станало ясно.

Сега знаем кои са тези точки.

Но нека помислим как
би изглеждала функцията.

Ще бъде ли права надолу,
последвана от права нагоре,

и отново права надолу,
следвана от права нагоре.

Това ще важи –
ако имаме права надолу,

това означава, че ще имаме
постоянна промяна

в стойността на х.

Или казано по друг начин,
това означава,

че имаме постоянна скорост.

Имахме ли постоянна скорост
през това цялото време?

Не.

Знаем, че в тази точка точно тук имаме

много висока скорост, нали?

Имаме много висока скорост.

Знаем, че в тази точка имаме
много ниска скорост.

Тоест ускоряваме през цялото това време.

Всъщност, ако помислим малко,

ускоряваме с намаляващо ускорение.

Но ускоряваме през цялото време.

След това отново увеличаваме скоростта

и намаляваме скоростта тук
през цялото време.

Тоест промяната в х не е постоянна

и няма да имаме зигзагообразен модел.

Ще продължи дотук,
после ще мине през тази точка.

Какво се случва?

В началото скоростта е много ниска.

Промяната в x е много бавна.

След което започваме да ускоряваме.

И когато стигнем до тази точка,

започваме да намаляваме скоростта.

Докато в тази точка скоростта е точно 0.

Наклонът на кривата ще е 0.

След което започваме да ускоряваме отново.

Скоростта ни става все по-висока.

Ще е много висока в тази точка.

След което започва да намалява.

На какво отгаваря тази точка?

Обратно сме при А.

В тази точка скоростта ни
отново ще бъде 0.

Тоест степента на промяна в x
също ще бъде 0.

Сега отново ще започнем да ускоряваме.

Наклонът се увеличава, увеличава...

Това е точката с най-висока
кинетична енергия.

След което скоростта започва да спада.

И забележи, в тези точки наклонът е 0.

Което означава, че няма
кинетична енергия в тези точки.

И просто продължава

отново и отново.

Как изглежда това?

Не съм ти го доказал, но
от всички функции, които аз знам,

тази графика прилича ужасно много
на тригонометрична функция.

И ако трябваше да избера една,
щеше да е косинус.

Но защо?

Защото при косинус от 0 –
ще го запиша тук отдолу.

cos0 = 1, нали?

Тоест когато t = 0,
тази функция приема стойност A.

Тоест тази функция е нещо като

А по косинус, и просто ще използвам

променливата омега t.

Вероятно е нещо такова.

И след секунди ще научим,
че изглежда точно така.

Но искам да ти го докажа,
така че не ми вярвай на сляпо.

Да видим как можем да намерим
какво е омега.

Вероятно е функция на масата
на този обект,

както и вероятно на пружинната константа,

но не съм сигурен.

Да видим какво можем да открием.

Сега ще се впусна малко в анализ на функции.

Всъщност доста анализ ще има.

Дори ще стигнем до диференциални уравнения.

Това може би е първото
диференциално уравнение,

което виждаш в живота си,
така че е важен момент.

Но нека преминем напред.

Затвори очи, ако не искаш да се объркаш,

или гледай видеото за математически анализ,

поне за да разбереш какво е производна.

Нека запишем това, на пръв
поглед лесно, уравнение

или да го преобразуваме по начин,
който ни е известен.

Какво е определението за сила?

Силата е масата по ускорението, нали?

Можем да преобразуваме закона на Хук като –
нека сменя цветовете.

Масата по ускорението е равно на

минус пружинната константа
по x позицията(-kx), нали?

Всъщност ще запиша позицията
като фуннкция на t, просто за да го запомниш.

Толкова сме свикнали x да е
независимата променлива,

че ако не бях записал това x(t),
щеше да стане объркващо.

Ще си помислиш,
че x е независима променлива.

Не.

Защото в тази функция,
която искаме да намерим,

искаме да знаем какво се случва
като функция на времето.

Така че това всъщност
може би е и добър преглед

на параметричните уравнения.

Това е мястото, където стигаме до анализа.

Какво е ускорение?

Ако нарека моята позиция x,

тя ще е x като функция на t, нали?

Въвеждам някакво време
и това ми казва какво е моето х.

Това е моята позиция.

Каква е скоростта ми?

Скоростта ми е производната на това, нали?

Скоростта ми в която и да е точка

ще е производната на тази функция.

Промяната в тази функция по отношение на t.

Взимаме промяната по отношение на t.

Мога да запиша това като dx върху dt.

И тогава какво е ускорението?

Ускорението е просто промяната в скоростта.

Тоест ще е производната на това.

Или друг начин да го кажем е, че

все едно взимаме втората производна
от функцията за позицията.

В този случай ускорението се равнява на,

можем да го запишем като –
просто ти показвам различните записи –

x'' от t, втората производна на x,
по отношение на t,

или просто d^2x върху dt^2.

Това е втората производна.

Изглежда, че излизам извън времето.

Ще се видим в следващото видео.

Запомни какво написах току-що.