YouTube

Got a YouTube account?

New: enable viewer-created translations and captions on your YouTube channel!

Bulgarian subtitles

← Въведение в хармонично движение

Изграждане на интуиция за движението на маса на пружина (с малко висша математика към края).

Get Embed Code
10 Languages

Showing Revision 28 created 02/18/2019 by Nikoleta Nikolaeva.

  1. Нека видим дали можем да използваме това,
    което знаем сега за пружините,

  2. за да добием малко интуиция за това
    как една пружина се движи във времето.
  3. Да се надяваме, че ще научим малко повече
    и за хармонични движения.
  4. Всъщност дори ще навлезем леко и
    в света на диференциалните уравнения.
  5. Не се обезсърчавай, като стигнем дотам.
  6. Просто затвори очи, когато се случи.
  7. И така, начертал съм пружина,
    подобно на последните няколко видеа.
  8. Нулата – тази точка на абсцисата –
    се нарича равновесно положение
  9. и представя състоянието
    на пружината в покой.
  10. В този пример имаме маса m,
    прикрепена към пружината.
  11. Разтягаме пружината.
    Издърпали сме я.
  12. Сега масата е в точка А.
  13. И какво ще се случи сега?
  14. Kакто знaем,
    връщащата сила на пружината
  15. е равна на минус някаква константа,
    по х позицията –
  16. х позицията, започваща от А.
  17. Така първоначално пружината
    ще се дръпне назад насам.
  18. Пружината се връща назад така,
  19. става все по-бърза и по-бърза и по-бърза.
  20. А ние знаем, че в тази точка има
    много потенциална енергия.
  21. В тази точка, в която пружината се връща
    обратно към равновесното си положение,
  22. тя ще има висока скорост
    и много кинетична енергия,
  23. но много малко потенциална енергия.
  24. Но тогава импулсът ще я накара
    да продължи да се движи.
  25. Той ще притиска пружината, чак докато
  26. цялата тази кинетична енергия
    се превърне обратно в потенциална енергия.
  27. След това процесът ще започне отначало.
  28. Така че нека видим дали
    можем добием интуиция
  29. за това как ще изглежда х
    като функция на времето.
  30. Нашата цел е да намерим x(t) –
    x като функция на времето.
  31. Това ще е нашата цел за това
    и може би за следващите няколко видеа.
  32. Нека разберем какво се случва.
  33. Нека се опитам да представя графично
    х като функция на времето.
  34. Времето е независимата променлива.
  35. Ще започнем при t = 0.
  36. По тази ос е времето.
  37. Необичайното тук е,
    че оста x е вертикалната,
  38. но това е защото x в случая
    е зависимата променлива.
  39. Това е х оста, доста необичайно.
  40. Или може да кажем 'x от t',
  41. представяме х като функция на времето.
  42. И това състояние,
    което съм представил тук –
  43. това е, когато времето
    е равно на 0, нали така?
  44. Това е при t = 0.
  45. При t = 0 колко е х?
  46. Ами х е при точка А.
  47. Това е А.
  48. Всъщност нека начертая права там,
  49. това може да е полезно.
  50. Това е A,
  51. а тук ще бъде -А.
  52. Това е -А.
  53. При t = 0 къде ще бъде х позицията?
  54. Ще бъде при А.
  55. Всъщност нека направим нещо интересно,
  56. нека дефинираме периода – с главно T.
  57. Да кажем, че периодът е
    колко време отнема на тази маса
  58. да тръгне от тази позиция –
  59. тя ще ускорява, и ускорява,
    ще стане много бърза в тази точка.
  60. Всичко това е кинетична енергия,
  61. после ще започне да намалява
  62. и целият процес ще се повтори обратно.
  63. Да кажем, че Т е времето,
    необходимо за целия този процес.
  64. Така при t = 0, а също и при време Т,
  65. това е време Т, пак ще е при А.
  66. Опитвам се да отбележа точките,
    които знам от тази функция,
  67. и да предположа как тази функция
    би изглеждала аналитично.
  68. Така, ако отнема T секунди да достигне
    от точка А до -А и да се върне обратно,
  69. ще отнеме T/2 секунди,
    за да стигне до -А, нали така.
  70. Същото количество време, което отнема,
    за да стигнем дотук,
  71. отнема и за да се върнем обратно в точка А.
  72. Така при Т/2
  73. каква ще бъде x позицията ?
  74. При T/2 блокчето ще e в -А.
  75. Пружината ще се е свила чак дотук.
  76. Така, при T/2, ще бъде тук.
  77. А в точките помежду им
    ще бъде при х = 0, нали така?
  78. Ще бъде ето тук и тук.
  79. Дано е станало ясно.
  80. Сега знаем кои са тези точки.
  81. Но нека помислим как
    би изглеждала функцията.
  82. Ще бъде ли права линия надолу,
    последвана от права линия нагоре,
  83. и отново права линия надолу,
    следвана от права линия нагоре.
  84. Това ще важи – ако имаме права линия надолу,
  85. това означава, че ще имаме постоянна промяна
  86. в х стойността.
  87. Или казано по друг начин,
    това означава,
  88. че имаме постоянна скорост.
  89. Имахме ли постоянна скорост
    през това цялото време?
  90. Не.
  91. Знаем, че в тази точка точно тук имаме
  92. много висока скорост, нали?
  93. Имаме много висока скорост.
  94. Знаем, че в тази точка имаме
    много ниска скорост.
  95. Тоест ускоряваме през цялото това време.
  96. Всъщност, ако помислим малко,
  97. ускоряваме с намаляващо ускорение.
  98. Но ускоряваме през цялото време.
  99. След това отново увеличаваме скоростта
  100. и намаляваме скоростта тук през цялото време.

  101. Тоест промяната в х не е постоянна
  102. и няма да имаме зигзагообразен модел.
  103. Ще продължи дотук,
    после ще мине през тази точка.
  104. Какво се случва?
  105. В началото скоростта е много ниска.
  106. Промяната в x е много бавна.
  107. След което започваме да ускоряваме.
  108. И когато стигнем до тази точка,
  109. започваме да намаляваме скоростта.
  110. Докато в тази точка скоростта ни е точно 0.
  111. Коефициентът на промяната,
    или наклонът, ще е 0.
  112. След което започваме да ускоряваме отново.
  113. Скоростта ни става все по-висока и по-висока.
  114. Ще е много висока в тази точка.
  115. След което започва да намалява.
  116. На какво отгаваря тази точка?
  117. Обратно сме при А.
  118. В тази точка скоростта ни отново ще бъде 0.
  119. Тоест степента на промяна в x също ще бъде 0.
  120. Сега отново ще започнем да ускоряваме.
  121. Наклонът се увеличава, увеличава...
  122. Това е точката с най-висока кинетична енергия.
  123. След което скоростта започва да спада.
  124. И забележи, в тези точки наклонът е 0.
  125. Което означава, че няма
    кинетична енергия в тези точки.
  126. И просто продължава
  127. отново и отново.
  128. Как изглежда това?
  129. Не съм ти го доказал, но
    от всички функции, които аз знам,
  130. тази графика прилича ужасно много
    на тригонометрична функция.
  131. И ако трябваше да избера една,
    щеше да е косинус.
  132. Но защо?
  133. Защото при косинус от 0 – ще го запиша тук отдолу.
  134. cos0 = 1, нали?
  135. Тоест когато t = 0,
    тази функция приема стойност A.
  136. Тоест тази функция е нещо като
  137. А по косинус, и просто ще използвам
  138. променливата омега t.
  139. Вероятно е нещо такова.
  140. И след секунди ще научим,
    че изглежда точно така.
  141. Но искам да ти го докажа,
    така че не ми вярвай на сляпо.
  142. Да видим как можем да намерим какво е w.
  143. Вероятно е функция на масата на този обект,
  144. както и вероятно на пружинната константа,
  145. но не съм сигурен.
  146. Да видим какво можем да открием.
  147. Сега ще се впусна малко в анализ на функции.
  148. Всъщност доста анализ ще има.
  149. Дори ще стигнем до диференциални уравнения.
  150. Това може би е първото
    диференциално уравнение,
  151. което виждаш в живота си,
    така че е важен момент.
  152. Но нека преминем напред.
  153. Затвори очи, ако не искаш да се объркаш,
  154. или гледай видеото за математически анализ,
  155. поне за да разбереш какво е производна.
  156. Нека запишем това, на пръв
    поглед лесно, уравнение
  157. или да го преобразуваме по начин,
    който ни е известен.
  158. Какво е определението за сила?
  159. Силата е масата по ускорението, нали?
  160. Можем да преобразуваме закона на Хук като –
    нека сменя цветовете.
  161. Масата по ускорението е равно на
  162. минус пружинната константа
    по x позицията(-kx), нали?
  163. Всъщност ще запиша позицията
    като фуннкция на t, просто за да го запомниш.
  164. Толкова сме свикнали x да е
    независимата променлива,
  165. че ако не бях записал това x(t),
    щеше да стане объркващо.
  166. Ще си помислиш,
    че x е независима променлива.
  167. Не.
  168. Защото в тази функция,
    която искаме да намерим,
  169. искаме да знаем какво се случва
    като функция на времето.
  170. Така че това всъщност
    може би е и добър преглед
  171. на параметричните уравнения.
  172. Това е мястото, където стигаме до анализа.
  173. Какво е ускорение?
  174. Ако нарека моята позиция x,
  175. тя ще е x като функция на t, нали?
  176. Въвеждам някакво време
    и това ми казва какво е моето х.
  177. Това е моята позиция.
  178. Каква е скоростта ми?
  179. Скоростта ми е производната на това, нали?
  180. Скоростта ми в която и да е точка
  181. ще е производната на тази функция.
  182. Промяната в тази функция по отношение на t.
  183. Взимаме промяната по отношение на t.
  184. Мога да запиша това като dx върху dt.
  185. И тогава какво е ускорението?
  186. Ускорението е просто промяната в скоростта.
  187. Тоест ще е производната на това.
  188. Или друг начин да го кажем е, че
  189. все едно взимаме втората производна
    от функцията за позицията.
  190. В този случай ускорението се равнява на,
  191. можем да го запишем като –
    просто ти показвам различните записи –
  192. x'' от t, втората производна на x,
    по отношение на t,
  193. или просто d^2x върху dt^2.
  194. Това е втората производна.
  195. Изглежда, че излизам извън времето.
  196. Ще се видим в следващото видео.
  197. Запомни какво написах току-що.