-
V tomto videu se chci zabývat
derivacemi exponenciálních funkcí.
-
Už jsme se setkali s derivacemi
podle x z (e na x), což je (e na x),
-
to je docela zajímavá věc.
-
Jedna z mnoha věcí,
která činí e neobvyklým.
-
Když zde máte exponenciální
funkci o základu e,
-
její derivace, sklon v jakémkoli bodě,
je roven hodnotě aktuální funkce.
-
Pojďme teď prozkoumat
funkce o jiném základu.
-
Můžeme nějak přijít na to,
co je derivací podle x,
-
pokud máme (a na x),
kde 'a' může být jakékoli číslo?
-
Lze to nějak vyřešit?
-
A možná s využitím znalosti,
že derivace (e na x) je (e na x)?
-
Můžeme nějak použít trochu
algebry a vlastností exponentu
-
a přepsat to tak,
že 'e' bude základ?
-
Můžeme uvažovat,
že 'a' rovná se 'e'…
-
Napíšu to takto.
-
'a' se rovná 'e' na
přirozený logaritmus 'a'.
-
Pokud vám to není jasné,
chci, abyste o tom přemýšleli.
-
Čemu je roven přirozený
logaritmus z 'a'?
-
Přirozeným logaritmem 'a' je mocnina,
kterou umocníte 'e', abyste dostali 'a'.
-
Takže pokud umocníte e
exponentem, který potřebujete,
-
abyste po umocnění dostali 'a',
-
potom dostanete hodnotu 'a'.
-
Tak o tom popřemýšlejte.
-
Nepřijměte to jako slepou pravdu.
-
Mělo by vám to dávat smysl.
-
Vychází to z toho,
co je logaritmus.
-
Takže můžeme nahradit 'a'
tímto celým výrazem.
-
Pokud 'a' je shodné
s 'e' na přirozený logaritmus,
-
potom to bude rovno
derivaci podle x…
-
Derivaci e na ln(a) a potom to
umocníme na x-tou mocninu.
-
Teď s užitím vlastnosti exponentu
to bude rovno derivaci podle x…
-
Tady to zvýrazním.
-
Pokud něco umocním
a ještě znovu to umocním,
-
je to stejné jako umocnit
původní základ na součin exponentů.
-
To je základní
vlastnost exponentů.
-
Tedy to bude stejné jako 'e' na přirozený
logaritmus 'a' krát 'x'.
-
A teď to můžeme použít pravidlo
o složené funkci a vyčíslit derivaci.
-
Takže teď uděláme to,
-
že první vezmeme
derivaci vnější funkce.
-
'e' na přirozený logaritmus
'a' krát 'x' podle vnitřní funkce,
-
tedy podle přirozeného
logaritmu 'a' krát x.
-
Bude se to rovnat 'e' na
přirozený logaritmus 'a' krát 'x'.
-
A potom vezmeme derivaci
vnitřní funkce podle x.
-
Přirozený logaritmus 'a'…
-
Nemusí to být hned
patrné, ale to je číslo.
-
Bude to vynásobené derivací.
-
Kdyby to byla derivace
(3x), byly by to 3.
-
Když to je derivace
přirozeného logaritmu 'a' krát 'x',
-
bude to přirozený
logaritmus 'a'.
-
A to nám dá přirozený logaritmus 'a'
krát 'e' na přirozený logaritmus 'a'.
-
A zapíšu to takto:
-
přirozený logaritmus 'a' na 'x'.
-
Už jsme to viděli.
-
Toto zde vpravo je jen 'a'.
-
Vše se zjednoduší na přirozený
logaritmus 'a' krát (a na x),
-
což je pěkný výsledek.
-
Takže derivace
e na x je e na x.
-
Pokud derivujete (a na x),
-
bude to přirozený logaritmus
'a' krát (a na x).
-
Takže můžeme
použít výsledek,
-
abychom dostali derivaci
výrazů o jiném základu než 'e'.
-
Takže když chceme najít derivaci
podle x výrazu 8 krát (3 na x),
-
kolik to bude?
-
Jednoduše: 8 krát…
-
A teď derivace tady toho bude…
-
Na základě toho,
co už jsem říkal,
-
to bude přirozený logaritmus
našeho základu,
-
přirozený logaritmus 3 krát (3 na x).
-
Takže je to rovno 8 krát přirozený
logaritmus 3 krát (3 na x).
