Adding/Subtracting negative numbers

રૂણ પૂર્ણાંકો ની વત્તા અને બાદ ની ગણતરી ના વિડીઓમાં તમારું સ્વાગત છે

તો શરૂ કરીએ

પહેલાં તો એ કે રૂણ પૂર્ણાંક એટલે શું?

મને અહિયાં એક સંખ્યા રેખા દોરવા દો

આ રેખા જેવું નથી પણ

મને લાગે છે કે તમે સમજશો

આપણે ધન પૂર્ણાંકો જાણીએ છીએ, તો આ શૂન્ય છે

અને આ એક, આ બે, આ ત્રણ, આ ચાર, અને તેજ રીતે આગળ જઈ શકીએ

અને જો હું પૂછું ૨ વત્તા ૨, તો તમે ૨ પર શરૂ કરો

અને ૨ વત્તા કર્યા પછી તમને મળે ૪

આ આપણા માટે સ્વાભાવિક છે

પણ જો તમે સંખ્યા રેખા પર આ દોરો

તો તમે કરશો બે વત્તા બે એટલે ચાર

અને જો હું તમને પૂછું ૨ બાદ ૧,

અથવા ૩ બાદ ૨ ?

જો તમે ૩ પર શરૂ કરો અને ૨ બાદ કરો,

તો તમે ૧ પર પહોંચો

તો ૨ વત્તા ૨ બરાબર ૪ અને ૩ બાદ ૨ બરાબર ૧

અને આ તમને એક મજાક લાગશે

જો હું કહું કે ૧ બાદ ૩ એ શું?

હેં

તો એય સરખુંજ છે

તમે ૧ પર શરૂ કરો અને આપડે જઈશું એક--

અને હવે આપણે શૂન્યની નીચે જઈશું -- શૂન્યની નીચે શું છે?

તો અહિયાં થી થાય છે રૂણ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓની શરૂઆત

રૂણ પૂર્ણાંક એક, રૂણ પૂર્ણાંક ૨, રૂણ પૂર્ણાંક ત્રણ, અને આગળ પણ એજ રીતે

તો, જો હું એક પર શરૂ કરું અહિયાં, અને ૧ બાદ ૩,

તો હું જઈશ એક, બે, ત્રણ, અને હું પહોચીશ રૂણ પૂર્ણાંક બે પર

તો ૧ બાદ ૩ બરાબર રૂણ પૂર્ણાંક ૨

આ તમારી રોજબરોજની જિંદગીમાં થાય તેવુંજ છે

જો હું તમને કહું કે ભાઈ આજે ખુબ ઠંડી છે, એક ડીગ્રી છે,

પણ આવતી કાલે ત્રણ ડીગ્રી ઠંડી વધશે,

તો તમને કદાચ ખ્યાલ હશે,

કે ત્યારે આપડે રૂણ પૂર્ણાંક બે ડીગ્રીના તાપમાન પર હોઈશું

તો એજ છે રૂણ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ

અને યાદ રાખો કે જયારે રૂણ પૂર્ણાંક સંખ્યા મોટી હોય,

જેમકે રૂણ પૂર્ણાંક પચાસ, તો તે રૂણ પૂર્ણાંક કરતાં વધુ ઠંડી હોય છે, ખરું ને?

તો રૂણ પૂર્ણાંક પચાસ એ રૂણ પૂર્ણાંક વીસ કરતાં ઓછી સંખ્યા છે

કેમકે તે નકારાત્મક વીસ થી ક્યાંય ડાબી બાજુએ છે

તો ધીમે ધીમે તમને આની ટેવ પડી જશે

ક્યારેક તમે શરૂઆત કરો તો તમને થશે કે

ઓહ, પચાસ તો વીસ કરતાં મોટી સંખ્યા કહેવાય,

પણ અહિયાં તે રૂણ પૂર્ણાંક પચાસ છે, ધન પૂર્ણાંક પચાસ નહિ

તો ચાલો થોડાંક દાખલા કરીએ,

અને હું કાયમ સંખ્યા રેખાનો ઉપયોગ કરીશ કેમકે તે ખુબ કામની છે

તો હવે એક દાખલો કરીએ પાંચ ઓછા બાર

મને લાગે છે કે તમને હવે ખ્યાલ આવતો હશે કે જવાબ શું હશે

પણ હું અહિયાં એક લીટી દોરીશ, પાંચ ઓછા બાર

હું અહિયાં દોરીશ ઓછા ૧૦, ઓછા ૯, ઓછા ૮ --

અહિયાં જગ્યા ઓછી પડશે -- ઓછા ૭, ઓછા ૬, ઓછા ૫ --

મેં આને પહેલાંજ દોર્યું હોત તો ચાલત -- ઓછા ૪, ઓછા ૩, ઓછા ૨,

ઓછા ૧, શૂન્ય, એક, બે, ત્રણ, ચાર, અને અહીં પાંચ

હું આ નિશાનીને આગળ લઇ જઈશ. ઠીક છે.

પાંચ ઓછા બાર

તો આપણે પાંચ પર શરૂ કરીશું -- આને માટે હું અલગ રંગ વાપરીશ --

તો આપણે પાંચ પર શરૂ કરીને ડાબી બાજુએ બાર પગલાં જઈશું

કેમકે આપણે બાર બાદ કરવા છે

તો આપણે જઈએ એક, બે, ત્રણ, ચાર, પાંચ, છ, સાત, આઠ, નવ, દસ, અગિયાર, બાર.

રૂણ પૂર્ણાંક સાત.

રસપ્રદ છે ને.

કેમકે બાર ઓછા પાંચ એ

ધન પૂર્ણાંક સાત બરાબર થાય

તો, હું કહીશ કે તમે આ તરફ જરાક ધ્યાન આપો કે આવું કેમ.

બાર અને પાંચ વચ્ચેનો તફાવત સાત કેમ

અને આ તફાવત -- બેય રીતે થઇ શકે

અહિયાં આપણે એ પણ કહીએ છીએ

કે પાંચ અને બાર વચ્ચેનો તફાવત એ રૂણ પૂર્ણાંક સાત છે,

પણ આ સંખ્યાઓ એક બીજાથી એટલા દૂર છે,

પણ અહિયાં આપડે નીચલી સંખ્યાથી શરૂઆત કરી.

મને લાગે છે કે આ છેલ્લું જે મેં કહ્યું તેથી તમે મૂંઝવાઈ ગયા હશો

પણ આપણે આગળ વધીશું

આપણે જોયું તેમ પાંચ ઓછા બાર બરાબર ઓછા સાત

ચાલો બીજો દાખલો કરીએ

રૂણ પૂર્ણાંક ત્રણ વત્તા પાંચ બરાબર?

ચાલો આ સંખ્યારેખાનો ફરી ઉપ્યોગ કરીએ

રૂણ પૂર્ણાંક ત્રણ વત્તા પાંચ કરીએ

તો આપણે પાંચ પગલાં જમણી બાજુએ જઈશું

એક, બે, ત્રણ, ચાર, પાંચ.

આ બે આવ્યો.

જવાબ છે બે.

તો રૂણ પૂર્ણાંક ત્રણ વત્તા પાંચ બરાબર બે.

આ રસપ્રદ છે કેમકે પાંચ ઓછા ત્રણ બરાબર પણ બે હોય છે

તો તમે જોયું તેમ પાંચ ઓછા ત્રણ પણ સરખુંજ છે

પાંચ ઓછા ત્રણ લખવાની આ ફક્ત એક બીજી રીત છે

અથવા રૂણ પૂર્ણાંક ત્રણ વત્તા પાંચ.

સર્વસામાન્ય રીતે નકારાત્મક સંખ્યાઓની આસાન ગણતરી

એ સામાન્ય વત્તા અને બાદ ગણીએ તેવીજ છે

પણ હવે જયારે આપડે બાદ કરીએ તો આપડે શૂન્યની નીચે ડાબી બાજુએ જઈ શકીએ છીએ

ચાલો હજી એક દાખલો કરીએ

તો હવે આનો જવાબ શું આવશે

સમજો કે, બે ઓછા ઓછા ૩

જો તમે વિચારશો કે આ કઈ રીતે ગણીશું

તો તમને ખ્યાલ આવશે

પણ અહીં જોવાલાયક છે કે રૂણ પૂર્ણાંક સંખ્યા

તે રૂણ પૂર્ણાંક સંજ્ઞા ખરેખર તો નાબૂદ થઇ જાય.

તો આ બે વત્તા વત્તા ત્રણ જેવું થયું

અને તેનો જવાબ પાંચ છે.

બીજી રીતે આ તમે કરી શકો છો -- ચાલો હજી એક દાખલો કરીએ --

રૂણ પૂર્ણાંક સાત ઓછા ઓછા બે એટલે?

તો તેનો જવાબ રૂણ પૂર્ણાંક સાત વત્તા બે જેટલોજ હોય

અને યાદ રાખો, કે આપણે નકારાત્મક સાત થી શરૂ કરીશું

અને બે પગલાં જમણી બાજુએ જઈશું

તો જો આપણે જમણી બાજુએ પહેલું પગલું લઈએ તો રૂણ પૂર્ણાંક છ આવે

અને પછી આપણે જમણી બાજુએ બીજું પગલું લઈએ તો રૂણ પૂર્ણાંક પાંચ આવે.

તો ખ્યાલ આવે છે કે રૂણ પૂર્ણાંક સાત વત્તા બે,

એ તો બે ઓછા સાત જેટલુંજ છે

જો બે ડીગ્રી છે અને સાત ડીગ્રી ઠંડી વધે તો તે હશે, ઓછા પાંચ.

ચાલો આવા હજી થોડાંક દાખલા કરીએ

મારા ખ્યાલથી જેટલા દાખલા કરતા જશો તેટલો અભ્યાસ થશે,

અને ભાગલા દ્વારા વધુ સરળતાથી સમજાશે

મારા કરતાંય સરળ

તો ચાલો હવે ઘણાં બધાં દાખલા કરીએ

તો જો હું કહું કે નકારાત્મક સાત ઓછા ત્રણ.

તો આપણે નકારાત્મક સાત ની ડાબી બાજુએ ત્રણ પગલાં જઈશું

તો આપણને મળશે રૂણ પૂર્ણાંક સાત કરતાં ત્રણ ઓછા

અને તે છે નકારાત્મક દસ, ખરું ને?

હવે સમજાય છે કે જો આપડી પાસે સકારાત્મક સાત વત્તા ત્રણ હોત,

આપડે અહિયાં શૂન્યની જમણી બાજુના સાત પર છીએ,

અને આપડે સાત થી હજી ત્રણ પગલાં જમણી બાજુએ જઈશું,

અને આપણને મળશે સકારાત્મક દસ.

તો શૂન્ય થી સાત પગલાં ડાબે અને ત્યાંથી ત્રણ પગલાં વધુ ડાબે

આપણને લાવશે નકારાત્મક દસ પર.

હજી થોડા દાખલા કરીએ

મને ખ્યાલ છે કે કદાચ હું તમને ગૂંચવી રહ્યો છું,

પણ અભ્યાસ એજ આપણને મદદરૂપ થશે.

તો સમજો કે ત્રણ ઓછા ઓછા ત્રણ,

તો આમાં નકારાત્મક સંજ્ઞા નાબૂદ થશે

અને તેનો જવાબ હશે છ.

ત્રણ ઓછા ત્રણ કેટલા?

તો, ત્રણ ઓછા ત્રણ, એ તો આસાન છે.

એ છે શૂન્ય.

ઓછા ત્રણ ઓછા ત્રણ એટલે?

તો અહીંયા આપણને ઓછા ત્રણ કરતા ત્રણ હજી ઓછા મળશે

અને તે છે ઓછા છ.

ઓછા ત્રણ ઓછા ઓછા ત્રણ એટલે?

સરસ.

તો, ઓછી સંજ્ઞા નાબૂદ થાય અને તમને મળશે ઓછા ત્રણ વત્તા ત્રણ

તો, જો આપડે શૂન્ય થી ત્રણ પગલાં ડાબે જઈએ અને પછી ત્રણ જમણી બાજુએ આવીએ,

તો આપડે ફરી એક વાર શૂન્ય પર આવીએ

હવે સમજાય છે, ખરું ને?

હું આને ફરી એક વાર કરીશ

ઓછા ત્રણ ઓછા ઓછા ત્રણ.

કોઈપણ સંખ્યાને ખુદથી બાદ કરતા શૂન્ય આવે, ખરું ને?

એટલેજ તે શૂન્ય બરાબર હોય.

અને એટલેજ એ અનિવાર્ય છે કે એવા બે નકારાત્મક સંજ્ઞાઓ નાબૂદ કરીએ

અને તે કંઇક આવુંજ છે.

હજી થોડા દાખલા કરીએ

બાર ઓછા તેર કરીએ

એ તો આસાન છે.

તો, બાર ઓછા બાર એટલે શૂન્ય, અને બાર ઓછા તેર એટલે નકારાત્મક એક,

કેમકે આપડે શૂન્યથી હજી એક પગલું ડાબી બાજુએ જઈશું.

આઠ ઓછા પાંચ કરીએ.

તો, આ એક સાધારણ દાખલો થયો, જવાબ છે ત્રણ.

પાંચ ઓછા આઠ એટલે?

તો અહીં આપડે છેક શૂન્ય સુધી જઈશું

અને ત્યાર પછી શૂન્યની હજી ડાબી બાજુએ ત્રણ પગલાં, એટલે કે ઓછા ત્રણ.

હું અહિયાં માપપટ્ટી પર દોરીશ

જો આ શૂન્ય છે, આ છે પાંચ, અને હવે આપડે ડાબી બાજુએ આઠ પગલાં જવાનું છે,

તો અંતે આપડે પહોંચીએ નકારાત્મક ત્રણ પર.

તમે આ બધાં માટે આવું કરી શકો છો.

ખરેખર તો તે એક સારી કસરત હશે.

મારા ખ્યાલથી આ તમને એક સારી પ્રસ્તાવના આપશે

અને હું તમને આ ભાગલા કરવાની સલાહ આપીશ,

કેમકે ભાગલામાં ખાસ તો સૂચનો પણ છે

અને રેખાંકનો પણ સરસ છે

અને એ તો મેં અહીંયા જે પણ દોર્યું છે તેનાં કરતાં તો ઘણું સારું છે.

તો આને અજમાવી જુઓ ત્યાર સુધીમાં હું હજી થોડાંક ભાગલા તૈયાર કરીશ

અને તે તમને આટલી હદે નહિ ગૂંચવે.

તમે સેમિનારમાં પણ જોડાઈ શકો છો

જે નકારાત્મક સંખ્યાઓના વત્તા અને બાદ ની ગણતરી સંબંધી છે

ચાલો ત્યારે મઝા કરો!

આવજો.