Power series representation using integration

Даден ни е един безкраен ред
и първо искам да ти препоръчам

да спреш видеото на пауза
и да опиташ да го представиш

като безкраен геометричен ред,

и ако успееш да го представиш
като безкраен геометричен ред,

да видиш каква е сумата
в някакъв интервал на сходимост.

Намери в какъв интервал за х
този безкраен геометричен ред е сходящ,

и колко е тази сума.

Предполагам, че опита,

а сега да го направим заедно.

Най-напред искам да изнесем
пред скоби общ множител.

Това може да опрости членовете,
да се опитаме да го направим.

Да изнесем пред скоби 3х^2, на което
изглежда всички членове се делят.

Мога да преработя това
като 3х^2 по

1 – х^3 + х^6 – х^9,

и започва да се проявява
закономерност.

Ще затворя скобите със
същия цвят, с това розово.

Да видим.

Изглежда, че имаме х^3,
повдигнато на някакви степени...

ще го запиша така.

Това е равно на 3х^2 по,

можем да вземем този
първия член,

или мога да кажа
нулевия член.

Това е х^3 на нулева степен,

после минус, това е
х^3 на първа степен,

и после по х^3 на втора степен,

и виждаш какво се случва.

Това е х^3 на трета степен,

и можем да продължим така.

Но сега трябва да видим
какво се случва със знаците.

Този ще бъде отрицателен.

Това е положително,
което е равно на

–1 на нулева степен.

Това е отрицателно, което е
–1 на първа степен,

всъщност ще го запиша
по този начин.

Можем да го представим
като 3х^2 по,

а първия член можем да
представим като –1,

или можем да го запишем
като (–х^3) на нулева степен.

После имаме плюс, можем
да кажем (–х^3) на първа степен.

–1 на първа степен
е равно на –1.

х^3 на първа степен
е равно на х^3,

плюс –х^3 на втора степен,

плюс –х^3 на трета степен.

Това е този член ето тук.

–1 на трета степен
е равно на –1,

и, разбира се, х^3 на трета
е равно на х^9,

и продължаваме.

Така е много по-ясно
колко е частното.

Частното е –х^3.

Какъв ще бъде интервалът
на сходимост?

Ще имаме сходимост,
ако частното,

ако абсолютната стойност
на частното е по-малка от 1.

Ще имаме сходимост,

ако абсолютната стойност
на частното,

което е –х^3 е по-малко от 1.

Друг начин да кажем
същото нещо е,

че абсолютната стойност
на нещо отрицателно ще бъде

равна на абсолютната стойност
на същото нещо със знак плюс,

едно и също е да кажем,
че абсолютната стойност

на х^3 е по-малко от 1,

или да кажем, че х^3
е по-малко от 1,

и по-голямо от –1.

Тук става така,

че ако вземем корен трети
от двете страни на това,

или от всички страни
на неравенството,

и получаваме, че х е между
–1 и 1.

Това е нашият интервал
на сходимост.

Ако ограничим х в този интервал,

колко ще бъде сумата?

За този безкраен геометричен
ред частното,

абсолютната стойност на частното
е по-малко от 1,

и сумата ще бъде равна на
първия член,

ако мога да кажа така,

или това, по което
умножаваме цялото нещо,

но ако го изнесем пред скоби,

тогава това е първият член.

Това ще бъде 3х^2,

цялото това върху
1 минус частното,

значи 1 минус –х^3,

това е равно на 1 + х^3.

Всичко, което направихме досега,

е че показахме, че това...
всъщност ще го запиша така:

това е равно на това

в нашия интервал на сходимост.

Ще копирам и поставя,
ще го напиша ето така –

в интервала на сходимост.

Ако х е между –1 и 1,

тези двете са еднакви.

Сега ще използваме
математическия анализ,

защото това изглежда
интересно.

Може би си спомняш,

това прилича на производната
на нещо познато.

1 + х^3, производна на
какво е това?

Това е 3х^2.

Изглежда, че това е
производната от

натурален логаритъм
от 1 + х^3,

или от абсолютната стойност
на (1 + х^3).

Ако не ми вярваш, хайде
да намерим примитивната функция

на това ето тук.

Всъщност, просто
за забавление,

да намерим примитивните
функции и на двете страни на това,

и като го направим, ще
покажем принципно

представяне на геометричен ред,

или каква е примитивната
функция на това нещо.

Насърчаваме те да спреш
видеото отново

и да опиташ да намериш
примитивната функция

на двете страни на това
уравнение.

Да намерим примитивната
функция на лявата страна,

да намерим и примитивната
функция на дясната страна.

Отляво, вече споменах,
че това прилича на

някакъв израз и неговата
производна.

Това ни подсеща да
използваме полагане.

Ако кажем, че u е равно
на 1 + х^3,

ще го запиша,

u = 1 + х^3,

тогава колко ще бъде du?

du ще бъде равно на
3х^2, dx.

Забележи, имаме u и после du.

du е това ето тук.

Този израз може
да се преработи като...

ще го направя ето тук,

това може да се преработи като
интеграл от du/u,

всъщност ще го напиша така,

1 върху u du,

което е равно, разбира се,
на натурален логаритъм

от абсолютната стойност на u,

плюс някаква константа.

Знаем, че u е равно на 1 + х^3,

така че това е равно на
натурален логаритъм

от абсолютната стойност
на 1 + x^3, плюс константата с.

Сега ще ограничим
дефиниционното множество за х

между –1 и 1.

За това дефиниционно множество
това тук винаги ще бъде положително,

така че можем,

не е необходимо да слагам
знак за абсолютна стойност,

това ще е равно на натурален
логаритъм...

ще го запиша,

натурален логаритъм от
1 + х^3 + с.

Това е лявата страна,

а отдясно всъщност е
много по-очевидно.

Това е един лесен полином.

Вероятно се досещаш, че
ще има някаква константа тук,

така че нека да я направим
по-различна.

Ще я наречем с1,

и после отдясно какво
получаваме?

Примитивната функция на
това ще бъде, да видим,

примитивната функция на
х^2 е х^3/3.

За първия член
примитивната функция

ще бъде просто x^3.

Производната на x^3 е
3х^2.

Сега този член ето тук,

–3x^5,

примитивната функция на х^5

е х^6 върху 6,

но после тук имаме 3.

3 върху 6 е равно на 2
(в знаменателя),

така че става –х^6 върху 2.

Всъщност ще използвам
различен цвят,

за да можем да ги следим.

Това тук е отрицателно,

а примитивната функция
е (–x^6)/2.

После, да видим...
свършват ми цветовете.

Примитивната функция
на х^8

е х^9 върху 9, значи става
плюс х^9,

и тук имаме тази тройка.

3 върху 9 е равно на 3
(в знаменателя).

И мисля, че виждаш
закономерността.

Да направим още едно,
просто за забавление.

х^12 върху 12,
имаме това 3 тук,

значи –х^12 върху 4,

и можем да продължим,

и накрая ще имаме
някаква константа.

Всъщност ще поставя
константата отпред.

Ще копирам и поставя,

за да имам някакво място.

Ще пиша ето тук.

Ще сложа някаква
друга константа, с2,

която не е същата,
плюс всичко това.

Сега ще опростим това, можем
да извадим с1 от двете страни,

или по-точно от с2,

и после ще получа натурален
логаритъм от

1 + х^3.

Доста елегантно е това,
което направихме току-що,

с малко интегриране,

е равно на с2 – с1.

Това е константа минус
друга константа,

така че ще получим отново
някаква произволна константа,

плюс всичко това тук.

Даже можем да намерим
колко е константата,

като заместим различни
стойности на х,

които принадлежат на ограниченото
дефиниционно множество.

х = 0 е между –1 и 1,

затова хайде да видим какво
става, когато х е равно на 0,

за да намерим стойността
на константата с.

Когато х = 0,

получаваме натурален логаритъм
от 1 е равно на с плюс,

всички тези членове
ще станат нули,

нула на трета степен минус нула
на шеста и така нататък,

плюс нула и плюс нула,
или по друг начин,

натурален логаритъм
от едно, разбира се

степента е 1, това е нула,

значи с трябва да е нула.

С е равно на 0.

Това ето тук е равно на нула.

Това, което направихме
току-що с малко интегриране,

започва със...

Нека да видим какво
се случва.

Започнахме с произволен
безкраен ред

и показахме, че той може
да се представи като геометричен ред.

Дефинирахме интервал на сходимост,

в който може да е сходящ,

когато абсолютната стойност
на частното е по-малко от 1,

и после използвахме това,
изразихме неговата сума,

след което намерихме примитивните
функции на двете му страни,

за да го развием като
натурален логаритъм

от 1 + х^3, което

поне за мен, това е
много елегантно.

Натурален логаритъм от
1 + х^3

е х^3 минус (х^6)/2,

плюс (х^9)/3 и така нататък.

Всъщност, за да му
дадем завършен вид,

да го запишем със
знака за сума сигма.

Можем да напишем, че
натурален логаритъм от (1 + x^3)

в това ограничено
дефиниционно множество,

в което абсолютната стойност
на х е по-малко от 1,

е равно на сумата от,
да кажем,

че това е за n е от 1 до безкрайност,

сумата от (х^3)^n,

така че на първа степен,
на втора степен, на трета степен,

върху n.

Това е х^3 върху 1,

х^3 на квадрат върху 2,

и трябва да добавим, да видим,

това първото е...

трябва да се погрижим
за знака,

затова ще сложа тук –1.

Да видим.

–1 на първа степен
е отрицателно,

но тук е положително,

значи –1 на степен (n + 1).

Така ли е? Мисля, че да.

Когато n е равно на 1, това
става просто 1.

Това е х^3 върху 1.

Когато n е равно на 2,

това става отрицателно,
както трябва да бъде,

после това става х^6 върху 2

и така нататък.

Готови сме.

Намирам това за
много удовлетворяващо.