Διαίρεση με τη μέθοδο μερικών υπολοίπων

Μια εναλλακτική στην παραδοσιακή μακρά διαίρεση.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε

Πόσες φορές χωρά το 16 στο 1.388.

Και το πρώτο πράγμα που θέλω να κάνω είναι να σκεφτούμε πώς μπορούμε να λύσουμε

κανονικά ένα πρόβλημα όπως αυτό, και στη συνέχεια θέλω να σας δείξω μια άλλη μέθοδο που μας επιτρέπει μια λίγο καλύτερη προσέγγιση.

Κανονικά θα λέγαμε: το 16 δεν χωρά μία φορά στο 1,

γι' αυτό θα δούμε και τον επόμενο αριθμό: πόσες φορές χωρά στο 13;

Ούτε όμως στο 13 χωρά, οπότε προχωράμε μέχρι το 138.

Στη συνέχεια, θα λέγαμε: ωραία, πόσες φορές χωρά το 13 στο 138;

Θα μπορούσαμε να δοκιμάσουμε το 9 πρώτα, και θα γράψω τώρα τους λογαριασμούς μου στα δεξιά...

Θα λέγαμε λοιπόν μετά 16 x 9... 6 x 9 = 54 ... 1 x 9 =9 ...

9 + 5 = 14 ... Έτσι το αποτέλεσμα είναι 144, που είναι μεγαλύτερο από το 138.

Άρα χωρά 8 φορές, το 16 x 8 θα είναι λιγότερο από 138 ...

έτσι θα βάλουμε ένα 8 εδώ. Και παρατηρήστε ότι έπρεπε να κάνουμε αυτή τη δοκιμή ...

για να σιγουρευτούμε ότι έχουμε το σωστό αριθμό, το 8 που έγραψα εκεί.

Και μετά λέμε 8 x 6 = 48 ... 8 x 1 = 8, συν 4 μας κάνει 12.

Άρα, 8 x 12 = 128, και όταν το αφαιρέσω από το 138...

θα μου δώσει 8 - 8 = 0 ... 3 - 2 = 1 ... το ένα 1 ακυρώνει το άλλο...

Έτσι, το υπόλοιπο είναι 10, αλλά έχω κι αυτό το 8, που το κατεβάζω τώρα...

και πλέον έχουμε 108. Και τώρα επαναλαμβάνω αυτό που έκανα και πριν.

Ας ξεφορτωθώ αυτό για να μην μπερδευτούμε. Λέμε λοιπόν:

Πόσες φορές χωρά το 16 στο 108; Πρέπει να το δούμε κατά προσέγγιση. Λοιπόν, είναι σίγουρο ότι δεν χωρά 8 φορές...

επειδή 16 x 8 μας κάνει 128. Αυτή τη φορά, χωρά 7 φορές. Ας κάνουμε το λογαριασμό:

7 x 16 ... 6 x 7 = 42, 1 x 7 = 7, συν 4 μας κάνει 11, που όλο μαζί μας δίνει 112...

που κι αυτό είναι πολύ μεγάλο. Πρέπει να είναι 6 φορές, αλλά προσέξτε ότι θα πρέπει να κάνω αυτούς τους υπολογισμούς...

για να καταλάβω ότι δεν ήταν 7 φορές, ότι δηλαδή το 6 είναι ο μεγαλύτερος αριθμός

που χωρά στο 108 χωρίς να το ξεπερνά. Επομένως: 6 x 6 = 36, μεταφέρω το 3...

6 x 1 = 6, συν 3 μας κάνει 9 και αφαιρούμε ξανά:

8 - 6 = 2, και μετά αφαιρούμε 9 από το 10, που μας κάνει 1, ή θα μπορούσαμε να δανειστούμε το 1...

να κάνουμε αυτό 10 και ύστερα αυτό φεύγει, 10 - 9 = 1, και μετά έχουμε 12. Και για να μην πάμε

σε δεκαδικούς, ουσιαστικά τελειώσαμε, γιατί το 16 δε χωράει στο 12,

έτσι το 16 χωράει στο 1388 86 φορές και αφήνει υπόλοιπο 12. Και αυτός είναι ένας καλός τρόπος για να το κάνουμε.

Και αυτός είναι ο παραδοσιακός τρόπος του να το κάνουμε, αλλά θέλω

να σας παρουσιάσω έναν ακόμα, ίσως πιο ενδιαφέροντα τρόπο για να λύσουμε ένα πρόβλημα μακράς διαίρεσης.

Έτσι ξανά, 1388 δια 16. Αυτό που θα κάνουμε είναι ένας πολύ μπακάλικος τρόπος

για να προσεγγίσουμε ή ουσιαστικά να μαντέψουμε. Και αυτό που θέλουμε να κάνουμε είναι να μαντέψουμε,

θα μαντέψουμε πόσες φορές χωράει το 16 σε αριθμούς χωρίς να υπολογίσουμε πολύ ψηλά,

χωρίς να πάμε πολύ ψηλά. Και τώρα θα μιλήσουμε, δε θα σκεφτούμε απλά για το 1 ή το 13 ή το 139.

Θα σκεφτούμε αυτόν τον ακέραιο αριθμό συνολικά, και πριν το κάνουμε αυτό θα ξεκαθαρίσω

δύο πράγμα, γιατί θα μας βοηθήσει. Θα μας υπενθυμίσω

πόσο κάνει 16 επί 2 και 16 επί 5. Απλά διαλέγω αυτούς τους αριθμούς τυχαία για να τους χρησιμοποιήσουμε

στην προσέγγισή μας. Δε χρειάζεται να χρησιμοποιήσετε το 2 και το 5, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιονδήποτε αριθμό.

Ίσως σας δείξω και άλλα παραδείγματα εδώ. Ετσι, 16 επί 2 κάνει, όπως ξέρουμε, 32.

16 επί 50 είναι 50 + 30 που είναι 80. Ας κρατήσουμε αυτά τα δύο αποτελέσματα στο μυαλό μας ενώ προσπαθούμε

να λύσουμε αυτό εδώ. Έτσι το πρώτο πράγμα να σκεφτούμε είναι η καλύτερη μαντεψιά

για το πόσες φορές χωράει το 16 στο 1388. Ή ένας άλλος τρόπος να το σκεφτούμε, πόσες φορές

χωράει το 16 στο 1000, ας κάνουμε μία πολύ γενική προσέγγιση.

Ξέρουμε ότι δε θα είναι 100, γιατί 100 φορές το 16 κάνει 1600.

Απλά κοτσάρεις αυτά τα 2 μηδενικά στο τέλος. Και λες, πόσες φορές χωράει στο 1000.

Ξέρουμε ότι 16 επί 5 κάνει 80. Ξέρουμε ότι 16 επί 50 θα είναι 800. Ας το χρησιμοποιήσουμε.

Χρησιμοποιώ το 5 αντί του 2, το πολλαπλασιάζω με άλλα 10 για να πάρω 50,

γιατί το 800 είναι πολύ πιο κοντά από το 320 στο 1000 που μας ενδιαφέρει.

Θα μπορούσαμε να πούμε, ωραία, 16 επί 50 μας φτάνει στο 800. Και ξανά, πώς το ξέρω αυτό;

Ε, 16 επί 5, ξέρουμε, είναι 80, έτσι 16 επί 50, έχω πολλαπλασιάσει με 10, είναι 800.

Και ύστερα απλά αφαιρώ. 8 - 0 είναι 8, και ύστερα 13 - 5 είναι 588.

Τώρα αναρωτιόμαστε, πόσες φορές χωράει το 16 στο 588; Πόσο κοντά μπορούμε να φτάσουμε σε αυτό.

Ας υποθέσουμε ότι ξέρουμε απλά αυτά τα πράγματα εδώ, ή μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε 16

επί ένα πολλαπλάσιο του 10. Έτσι το 800 θα είναι πολύ μεγάλο.

Ας πάμε με το 320 εδώ. Ξέρουμε ότι 16 επί 2 κάνει 32

έτσι 16 επί 20 θα είναι 320. Απλά πολλαπλασίασα 2 επί 10 που θα μας δώσει αποτέλεσμα επί 10.

Μπορούμε λοιπόν να αφαιρέσουμε αυτό εδώ. 8 - 0 είναι 8, 8 - 2 είναι 6 και μετά 5 -3 είναι 2.

Τώρα έχω μείνει με 268 και λέμε, πόσες φορές πάει το 16 στο 268.

Για να δούμε, το 800 είναι πολύ μεγάλο, και ακόμα και το 320 είναι τώρα μεγάλο. Θα μπορούσαμε να πούμε, 10 επί 16

κάνει 160. Ας δοκιμάσουμε αυτό. Δε χρειάζεται καν να έχουμε την ακριβή απάντηση.

Δε χρειάζεται να βρούμε το μεγαλύτερο πολλαπλάσιο που είναι λίγο κάτω από το 268. Απλά να σιγουρευτούμε

ότι είμαστε ακόμα μέσα στο 268. Αν πολλαπλασιάσουμε, θα το κάνουμε με καινούργιο χρώμα, 16 επί 10 παίρνουμε 160.

160, και αφαιρούμε ξανά. 8 - 0 είναι 8, 6 - 6 είναι 0 και 2 - 1 είναι 1. Μας μένει το πόσες φορές πάει το 16 στο 108.

Και πάμε πίσω στο... ξέρουμε ότι 16 επί 5 κάνει 80. Ας δοκιμάσουμε λοιπόν το 5.

16 επί 5 είναι 80, αφαιρούμε εδώ, 8 - 0 είναι 8, 10 - 8 είναι 2, έτσι μένουμε με 28.

Τώρα είναι απλό. Πόσες φορές χωράει στο 16 στο 28; Χωράει μόνο μία φορά.

Έτσι όταν αφαιρέσουμε 16 από το 28, 8 - 6 είναι 2 και 2 - 1 είναι 1. Μας μένει υπόλοιπο 12.

Θα μπορούσαμε να πούμε ότι ξέρουμε πόσες φορές πάει το 16 στο 1388;

Πάει 50 φορές συν 20 φορές συν 10 φορές συν 5 φορές συν μία φορα.

Αυτό θα είναι, μπορούμε να τα προσθέσουμε εδώ δεξιά.

Θα είναι 50 + 20 = 70, συν 10 είναι 80, συν 5, 85 συν 1 είναι 86. Οπότε να το.

Χωράει 86 φορές και αφήνει υπόλοιπο 12.

Το ωραίο με αυτή τη μέθοδο είναι ότι σε κάθε βήμα, θα μπορούσα να βάλω 60 εδώ

και να κάνω σωστά τις πράξεις. Ή θα μπορούσα να διαλέξω τα πολλαπλάσιά μου να είναι 16 επί 6 και 16 επί 3

και να έχω διαφορετικά αποτελέσματα εδώ, αλλά και πάλι στο τέλος θα είχα τη σωστή απάντηση.

Έτσι αυτό που κάνει είναι να μας δίνει κάποιες μεθόδους να το σκεφτόμαστε,

κάπως το βρίσκουμε κομμάτι κομμάτι του αριθμού τον οποίο διαιρούμε. Έτσι στην αρχή έχουμε ένα κομμάτι των 800.

Μετά ένα άλλο των 320, και συνεχίζουμε ώσπου να μη μπορούμε να διαιρέσουμε άλλο.

Ελπίζω να το βρήκατε ενδιαφέρον.