Оценка на e^х с помощта на граница на грешката по Лагранж
-
0:00 - 0:02При апроксимация на функцията
е на степен 1,45 -
0:02 - 0:05с помощта на ред на Тейлър
в околността на точката х = 2, -
0:05 - 0:07коя е най-ниската степен
на полинома, -
0:07 - 0:12която гарантира, че грешката
ще бъде по-малка от 0,001? -
0:12 - 0:14Принципно, когато видиш
нещо такова, -
0:14 - 0:16когато апроксимираме функция
-
0:16 - 0:19с ред на Тейлър около
някаква стойност, -
0:19 - 0:21и искаме да знаем колко
члена на полинома са ни нужни, -
0:21 - 0:24каква степен ни трябва,
за да има дадена граница на грешката? -
0:24 - 0:26Това веднага ни подсказва, че
ще използваме -
0:26 - 0:30границата на грешката по Лагранж
или теоремата на Тейлър за остатъка. -
0:30 - 0:32Само да припомня, че
-
0:32 - 0:35това е преговор на
теоремата на Тейлър за остатъка, -
0:35 - 0:38която казва, че абсолютната
стойност на остатъка -
0:38 - 0:40за полином на Тейлър
от n-та степен, -
0:40 - 0:43ще бъде по-малко от
това нещо ето тук. -
0:43 - 0:47n е степента на полинома,
-
0:47 - 0:49която търсим, значи
това е n. -
0:49 - 0:53х е стойността на х,
за която изчисляваме тази грешка, -
0:53 - 0:56в този случай трябва да е
по-малко от 1,45. -
0:56 - 0:58с е точката, около която
е центриран полинома на Тейлър. -
0:58 - 1:00Какво да кажем за нашето М?
-
1:00 - 1:03М е горна граница на
абсолютната стойност -
1:03 - 1:06на (n +1)-вата производна
на функцията ни. -
1:06 - 1:08Това може да изглежда
твърде общо, -
1:08 - 1:10но когато го разгледаме
подробно при този пример, -
1:10 - 1:12ще стане по-конкретно.
-
1:12 - 1:15Конкретно за този пример
искаме да изчислим -
1:15 - 1:17функцията e^x...
-
1:17 - 1:21Мога да напиша f(х)...
ще го напиша ето така. -
1:21 - 1:26f(х) = e^х,
-
1:26 - 1:30и искаме да изчислим
f за 1,45. -
1:30 - 1:32Само да определим
границата тук, -
1:32 - 1:34за да определим колко е М,
само да припомня, -
1:34 - 1:36че първата производна
на това -
1:36 - 1:38ще бъде e^x,
-
1:38 - 1:39втората производна
ще е e^х, -
1:39 - 1:41n-тата производна
ще е е^х. -
1:41 - 1:44(n +1)-вата производна
ще е e^х. -
1:44 - 1:51Значи (n +1)-вата производна
ще бъде -
1:51 - 1:54е^х, което е доста удобно.
-
1:54 - 1:55Този вид задачи са много,
много трудни, -
1:55 - 2:00тъй като е трудно да се
ограничи (n +1)-вата производна. -
2:00 - 2:04Сега знаем, че е^х,
-
2:04 - 2:06можем даже да кажем, че
-
2:06 - 2:08абсолютната стойност на това
ще бъде положителна, -
2:08 - 2:10ще бъде по-малко или
равно на... -
2:10 - 2:15да кажем, че това е
по-малко или равно на e^2, -
2:15 - 2:23когато 0 < х, е по-малко
или равно на 2. -
2:23 - 2:28е^х е ограничена в цялото
това дефиниционно множество. -
2:29 - 2:30Ако х клони към безкрайност,
-
2:30 - 2:31е^х също клони към
безкрайност. -
2:31 - 2:33Но тук има интервал.
-
2:33 - 2:36Съставихме интервал, който
съдържа х, което ни интересува. -
2:36 - 2:39Спомни си, че х, което
ни интересува, е 1,45. -
2:39 - 2:43Този интервал също така съдържа
околността, около която е центирарана функцията. -
2:43 - 2:44Функцията е центрирана
около 2. -
2:44 - 2:46Знаем, че е ограничена
между е^2, -
2:46 - 2:50така че можем да кажем, че
можем да използваме е^2 като М. -
2:50 - 2:53Можем да използваме е^2 като М.
-
2:53 - 2:55Можем да поставим
тази граница. -
2:55 - 2:58Като направим това,
сега можем направо -
2:58 - 2:59да намерим границата на грешката
по Лагранж. -
2:59 - 3:03Можем да кажем, че
остатъкът -
3:03 - 3:05от нашия полином на Тейлър
от n-та степен, -
3:05 - 3:06можем да го решим за n.
-
3:06 - 3:11Искаме да намерим за кое n
получаваме подходяща граница, -
3:11 - 3:13изчислена за 1,45.
-
3:13 - 3:17Когато х = 1,45 това ще бъде
по-малко от или равно на -
3:17 - 3:21абсолютната стойност...
нашето М е на квадрат, -
3:21 - 3:30е^2 върху (n +1) факториел,
по 1,45, -
3:30 - 3:34това е х, което ни интересува,
за което изчисляваме грешката, -
3:34 - 3:35търсим граница на грешката,
-
3:35 - 3:37минус стойността, около
която сме центрирани, -
3:37 - 3:41минус 2^(n + 1).
-
3:41 - 3:44Става 1,45 минус 2,
-
3:44 - 3:46това е минус 0,55.
-
3:46 - 3:48Ще го запиша така.
-
3:48 - 3:53Това е –0,55
-
3:54 - 3:56на степен (n +1).
-
3:56 - 4:00Искаме да намерим
за кое n всичко това тук -
4:00 - 4:04ще бъде по-малко от
или равно на 0,001. -
4:05 - 4:08Да направим малко
алгебрични преобразувания. -
4:08 - 4:11Този член е положителен,
този ще е положителен. -
4:11 - 4:13Това тук, или тази
част от него, -
4:13 - 4:15това не е отделен член,
-
4:15 - 4:17но e^2 ще бъде положително,
-
4:17 - 4:18(n + 1) факториел
е положително, -
4:18 - 4:21–0,55 на някаква степен,
-
4:21 - 4:23това ще си сменя знака от положителен
на отрицателен и обратно. -
4:23 - 4:25Но понеже взимаме
абсолютната стойност, -
4:25 - 4:27можем да го напишем така.
-
4:27 - 4:31Можем да напишем е^2,
-
4:31 - 4:35понеже взимаме абсолютната
стойност на 0,55, -
4:35 - 4:39на степен (n + 1)
върху (n + 1) факториел, -
4:41 - 4:46трябва да е по-малко от 0,001.
-
4:46 - 4:50И тъй като искаме
да намерим n, -
4:50 - 4:53да разделим двете страни
на e^2. -
4:53 - 4:56Можем да напишем, че...
-
4:56 - 5:00да намерим n, когато 0,55
-
5:00 - 5:03на степен (n + 1)
-
5:03 - 5:07върху (n + 1) факториел
-
5:07 - 5:13е по-малко от 0,001,
-
5:13 - 5:17върху е^2.
-
5:17 - 5:20Сега, за да пресметнем това,
трябва да използваме калкулатор. -
5:20 - 5:24От тук нататък ще пробваме
все по-големи и по-големи n, -
5:24 - 5:26докато не намерим стойността
на n, за която това е вярно. -
5:26 - 5:29Искаме да намерим възможно
най-малкото n, -
5:29 - 5:30за което това неравенство
е изпълнено. -
5:30 - 5:35Да си вземем калкулаторите,
за да го сметнем. -
5:35 - 5:37Най-напред искам
да намеря -
5:37 - 5:40колко е 1/1000, делено
на е^2. -
5:40 - 5:43Само да се уверя,
че е нулиран. -
5:43 - 5:45Да вземем е^2,
-
5:45 - 5:47взимам неговата реципрочна
стойност, -
5:47 - 5:49после го умножавам
по 1/1000. -
5:49 - 5:54Значи по 0,001 е равно на...
-
5:55 - 5:58това е около, да кажем,
-
5:58 - 6:01има три нули, значи
това е 10/1000, -
6:01 - 6:02и после 35.
-
6:02 - 6:05Значи три нули, закръгляваме
на 136. -
6:05 - 6:11Това трябва да е по-малко
от 1, 2, 3 нули, -
6:11 - 6:13после да кажем 136.
-
6:13 - 6:17Ако намерим n,
за което е по-малко от това, -
6:17 - 6:19тогава всичко е решено.
-
6:19 - 6:22Да кажем, че 135 искаме
да е по-малко от тази стойност, -
6:22 - 6:25тогава всичко е наред.
-
6:25 - 6:28Това е малко повече от 135,
-
6:28 - 6:31но ако намерим n, за което
това е по-малко от това, -
6:31 - 6:33тогава всичко е наред.
-
6:33 - 6:38Ще напиша това 0,55
на степен (n +1) -
6:38 - 6:41върху (n + 1) факториел.
-
6:42 - 6:43Да проверим някои
стойности на n. -
6:43 - 6:46Ще махна калкулатора.
-
6:46 - 6:48Да видим,
това вярно ли го преписах? -
6:48 - 6:51Да, 0,000135.
-
6:51 - 6:54Ако получим стойност под тази,
тогава сме решили задачата, -
6:54 - 6:57защото това е даже
по-малко от това. -
6:57 - 6:59Добре, да го направим.
-
6:59 - 7:01Да видим, когато това
е равно на ... -
7:01 - 7:04не знам, да кажем за n = 2.
-
7:04 - 7:08Можем да започнем с n = 1,
n = 2, n = 3, -
7:09 - 7:11но да започнем от n = 2
е добре, -
7:11 - 7:13а после можем да проверим
и n = 1. -
7:13 - 7:14Ако n = 2 не става,
-
7:14 - 7:16тогава ще отидем към
n = 3 и n = 4. -
7:16 - 7:19Да започнем всъщност
с n = 3. -
7:19 - 7:23Когато n = 3, това
ще бъде 0,55 на четвърта степен, -
7:23 - 7:24делено на 4!
-
7:24 - 7:26Да го сметнем.
-
7:26 - 7:340,55 на четвърта степен
е равно на това, -
7:34 - 7:37делено на 4 факториел.
-
7:37 - 7:42Четири факториел е 24.
-
7:42 - 7:46Това изобщо не е
достатъчно малко. -
7:46 - 7:48Да проверим с n = 4.
-
7:48 - 7:51Ако n = 4, тогава
това е на пета степен, -
7:51 - 7:53делено на 5 факториел.
-
7:53 - 8:00Значи 0,55 на пета степен
е равно на това, -
8:00 - 8:05и после делено на 5!,
което е 120. -
8:05 - 8:08Делено на 120 е
равно на това. -
8:09 - 8:12Почти се получи
с n = 4. -
8:12 - 8:15Вероятно с n = 5
ще се получи идеално. -
8:15 - 8:18Значи за n = 5,
само да изчистя това. -
8:18 - 8:21При n = 5 повдигаме
на шеста степен -
8:21 - 8:23и делим на 6!
-
8:24 - 8:28Само да припомня, че
6! е равно на 720. -
8:28 - 8:30Всъщност можех да го направя
наум, но няма значение. -
8:30 - 8:31Да видим.
-
8:31 - 8:360,55 на степен...
спомни си, че n е 5, -
8:36 - 8:40значи повдигаме
на шеста степен. -
8:40 - 8:45После делим на 720,
и е равно на... -
8:46 - 8:49това число със сигурност
е по-малко от това тук. -
8:50 - 8:53Получаваме четири нули след запетаята
преди тази тройка, -
8:53 - 8:55тук имаме само три нули.
-
8:55 - 8:59Когато n е равно на 5,
това е достатъчно малко, -
8:59 - 9:02остатъкът е достатъчно малък,
-
9:02 - 9:05това е под тази стойност тук.
-
9:05 - 9:08И така, коя е най-ниската
степен на полинома, -
9:08 - 9:12за която грешката е по-малка
от 1/1000? -
9:12 - 9:16Отговорът е за n = 5
-
9:16 - 9:19грешката определено
е по-малка от това.
- Title:
- Оценка на e^х с помощта на граница на грешката по Лагранж
- Description:
-
Границата на грешката по Лагранж (наричана също теорема на Тейлър) може да ни помогне да определим степента на полинома на Тейлър / Маклорен, което да използваме за намиране на приближението на функция към дадена граница на грешката. Виж как се прави при апроксимация на e^х за x = 1,45.
Упражнявай се на този урок самостоятелно: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-taylor-series/e/taylor-polynomial-approximation?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC
Гледай следващия урок: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-taylor-series/v/visualizing-taylor-series-for-ex?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign = APCalculusBC
Пропусна предишния урок? https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-taylor-series/v/lagrange-error-bound-for-sine-function?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC
Кан Академия е организация с нестопанска цел и с мисията да предоставя свободно образователни материали на световно ниво за всеки и навсякъде. Предлагаме тестове, въпроси, видео уроци и статии върху голям набор от академични дисциплини, включително математика, биология, химия, физика, история, икономика, финанси, граматика, предучилищно образование и други. Ние предоставяме на учителите инструменти и данни, така че да могат да помогнат на учениците си да развият уменията, навиците и нагласите за успех в училище и извън него. Кан Академия е преведена на дузина езици и 100 милиона души по целия свят използват платформата на Кан Академия всяка година. За повече информация, посети bg.khanacademy.org, присъедини се към нас във Фейсбук, или ни следвай в Twitter на @khanacademy. И запомни, можеш да научиш всичко.
Безплатно. За всички. Завинаги.
#YouCanLearnAnythingАбонирай се за канала на Кан Академия Математически анализ: https://www.youtube.com/channel/UC5A2DBjjUVNz8axD-90jdfQ?sub_confirmation=1
Абонирай се за Кан Академия България: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademybulgarian
Абонирай се за Кан Академия: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy - Video Language:
- English
- Team:
- Khan Academy
- Duration:
- 09:20