เดต์คาส์กับระบบพิกัดคาร์ทีเชียน

การเชื่อมโยงพีชคณิตกับเรขาคณิต อะไรทำให้สมการเชิงเส้นเป็นเชิงส้น

ภาพนี่ตรงนี้คือภาพของเรอเน่ เดต์คาส์

เหมือนเดิม ปราชญ์ผู้ปราดเปรื่องคนหนึ่ง

ทั้งในคณิตศาสตร์และปรัชญา

และผมว่าคุณคงเห็นเทรนด์บ้างแล้ว

ว่านักปรัชญาผู้ยิ่งใหญ่มักเป็นนักคณิตศาสตร์ด้วย

และในทางกลับกันด้วย

เขาเป็นคนเรียกว่าร่วมสมัยกับกาลิเลโอก็ได้

เขาอายุน้อยกว่า 32 ปี

แม้ว่าจะตายหลังจากกาลิเลโอตายได้ไม่นาน

ชายคนนี้ตายตั้งแต่อายุยังน้อย,

กาลิเลโอไปดีตอนอายุ 70

แต่เดต์คาส์ตายเมื่อ, แค่ตอนอายุ 54 ปีเอง

และเขาอาจเป็นที่รู้จักในโลกสมัยนี้

จากคำพูดนี่ตรงนี้

คำกล่าวปรัชญาอย่างยิ่ง

"ฉันคิดฉันจึงดำรงอยู่"

แต่ผมยังอย่างใส่ให้ดู

และมันไม่เกี่ยวกับพีชคณิตเลย

แต่ผมคิดว่ามันเป็นคำพูดที่เนี๊ยบมาก

บางทีคำกล่าวที่ดังน้อยที่สุดของเขา

คืออันนี่ตรงนี้

ผมชอบมันเพราะมันใช้ได้จริงมาก

และมันทำให้คุณรู้ว่ามันสมองยิ่งใหญ่เหล่านี้

เสาหลักของปรัชญาและคณิตศาสตร์เหล่านี้

ที่สุดแล้ว

พวกเขาก็ยังคงเป็นมนุษย์ธรรมดา

เขาบอกว่า "คุณแค่สู้ต่อไป

คุณแค่สู้ต่อไป

ฉันพลาดทุกอย่างที่เป็นไปได้

แต่ฉันก็ยังสู้ต่อไป"

ซึ่งผมว่าเป็นคำแนะนำให้กับชีวิตที่ดีมากๆ

ทีนี้ เขาทำสิ่งต่างๆ มากมาย

ทั้งในปรัชญาและคณิตศาสตร์

แต่สาเหตุที่ผมพูดถึงเขา

ในขณะที่เรากำลังสร้างพื้นฐานเรื่องพีชคณิต

คือว่าเขาคือบุคคุล

ที่สร้างความสัมพันธ์ระหว่าง

พีชคณิตกับเรขาคณิตได้มากที่สุด

ดูด้านซ้ายตรงนี้

คุณมีโลกของพีชคณิต

เราพูดถึงไปหน่อยแล้ว

คุณมีสมการที่ยุ่งกับสัญลักษณ์

และสัญลักษณ์เหล่านี้

ไว้ใช้เก็บค่า

คุณอาจมีอะไรอย่างเช่น

y = 2x - 1

ซึ่งบอกความสัมพันธ์

ว่า x คืออะไร

และ y คืออะไร

และเราสามารถสร้างตารางขึ้นตรงนี้

แล้วเลือกค่า x

แล้วดูว่าค่า y จะเป็นอะไร

ผมสามารถเลือกค่า x อย่างสุ่มมา

แล้วหาว่า y เป็นเท่าไหร่

แต่ผมจะเลือกค่าที่ค่อนข้างตรงไปตรงมา

การคิดเลขจะได้ไม่ยุ่งมาก

ตัวอย่างเช่น

ถ้า x เป็น -2

แล้ว y จเเป็น 2 x -2 -1

2 x -2 -1

ซึ่งก็คือ -4 -1

ได้ -5

ถ้า x เป็ฯ -1

แล้ว y จะเป็น 2 x -1 -1

ซึ่งเท่ากับ

นี่คือ -2 -1 ได้ -3

ถ้า x = 0

แล้ว y จะเป็น 2 x 0 - 1

2 x 0 ได้ 0 -1 ก็แค่ -1

ผมจะทำเพิ่มอีก

ถ้า x เป็น 1

ผมจะเลือกค่าอะไรก็ได้ตรงนี้

ผมบอกได้ว่าเกิดอะไรขึ้น

เมื่อ x เป็นลบสแควร์รูทของ 2

หรือเกิดอะไรขึ้นหาก x เป็น -5 ส่วน 2

หรือบวก 6 ส่วน 7

แต่ผมเลือกแค่เลขเหล่านี้

เพราะมันคิดเลขง่ายกว่ามาก

ตอนผมหาว่า y จะเป็นเท่าไหร่

แต่เมื่อ x เป็น 1

y จะเป็น 2(1) - 1

2 x 1 ได้ 2 - 1 เป็น 1

ผมจะทำอีกตัวนึง

ด้วยสีที่ผมยังไม่ได้ใช้

ลองดู สีม่วงนี่

ถ้า x เป็น 2

แล้ว y จะเป็น

2(2) -1 (ทีนี้ x เป็น 2)

นั่นก็คือ 4 -1, เท่ากับ 3

ใช้ได้

ผมแค่สุ่มดูความสัมพันธ์นี้

แต่ผมบอกว่าโอเค เจ้านี่บรรยายความสัมพันธ์โดยทั่วไป

ระหว่างตัวแปร y กับตัวแประ x

แล้วผมได้ทำให้มันชัดเจนขึ้นหน่อย

ผมบอกว่าโอเค

ถ้า x เป็นหนึ่งในค่าเหล่านี้

สำหรับค่า x แต่ละค่า

ค่า y ที่เข้าคู่กันเป็นเท่าไหร่?

สิ่งที่เดต์คาส์สังเกตคือ

ว่าคุณสามารถมองเจ้านี่ป็นภาพได้

สิ่งที่คุณภาพได้คือจุดแต่ละจุด

แต่มันยังช่วงให้คุณเห็น

ความสัมพันธ์นี้เป็นภาพได้ด้วย

สิ่งที่เขาทำจริงๆ คือ

เขาเชื่อมโยงโลกของพีชคณิตที่เต็มไปด้วยสัญลักษณ์นามธรรม

เข้ากับเรขาคณิตที่เน้น

เรื่องรูปร่าง ขนาด และมุม

แล้วตรงนี้ คุณมีโลกของเรขาคณิต

และแน่นอนว่ามีผู้คนในประวัติศาสตร์

บางทีหลายคนที่ประวัติศาสตร์ได้หลงลืมไป

ที่อาจทำเรื่องนี้ด้วย

แต่ก่อนยุคเดต์คาส์ เป็นแบบนี้

เรขาคณิตคือเรขาคณิตแบบยูคลิด

นั่นคือเรขาคณิตแท้ๆ

แบบที่คุณเรียนในวิชาเรขาคณิต

ตอนอยู่เกรด 8 9 หรือ 10

ในหลักสูตรไฮสคูลดั้งเดิม

และนั่นคือเรขาคณิตที่ศึกษา

ความสัมพันธ์ระหว่างสามเหลี่ยม และมุมของมัน

ความสัมพันธ์ระหว่างวงกลม

คุณมีรัศมีแล้วก็สามเหลี่ยม

อยู่ในวงกลม อะไรพวกนั้น

และเราจะลงลึกเรื่องนั้ัน

ในชุดวิดีโอเรื่องเรขาคณิต

แต่เดต์คาส์บอกว่า เอาล่ะ ผมว่าผมสามารถแสดงเจ้านี่เป็นภาพได้

แบบเดียวกับที่ยูคลิดศึกษาสามเหลี่ยมกับวงกลมเหล่านี้

เขาบอกว่า 'ทำไมฉันจะทำไม่ได้ล่ะ?'

หากเรามองกระดาษแผ่นนึง

หากเราคิดถึงระนาบ 2 มิติ

คุณอาจมองกระดาษแผ่นนึง

วาดเป็นส่วนนึงของระนาบ 2 มิติ

เราเรียกมันว่า 2 มิติ

เพราะมันมีทิศ 2 ทิศที่คุณไปได้

มีทิศขึ้นลง

นับเป็นหนึ่งทิศ

ขอผมเขียนลงไปนะ ผมใช้สีฟ้าแล้วกัน

เพราะเราพยายามมองภาพสิ่งต่างๆ

งั้นผมจะใช้สีให้ภาพสวยแล้วกัน

คุณก็มีทิศขึ้นลง

แล้วก็มีทิศซ้ายขวา

นั่นคือสาเหตุที่เขาเรียกว่าระนาบ 2 มิติ

หากเรายุ่งกับ 3 มิติ

คุณก็จะมีมิติเข้าออกอีกอันนึง

และการทำ 2 มิติบนหน้าจอมันง่าย

เพราะหน้าจอเป็น 2 มิติ

แล้วเขาบอกว่า "เอาล่ะ, คุณก็รู้,

มันตัวแปรอยู่สองตัว แล้วก็มีความสัมพันธ์นี้อยู่"

ทำไมฉันไม่ลองเขียนตัวแปรตัวแต่ละตัว

แทนลงในแต่ละมิติตรงนี้ล่ะ?"

โดยวิธีที่ตกลงกันทั่วไปนั้น เราให้ตัวแปร y

ซึ่งก็คือตัวแปรตาม

ตามที่เราทำมา

มันขึ้นอยู่กับว่า x คืออะไร

ลองใส่มันตามแกนดิ่ง

และใส่ตัวแปรอิสระ

อันที่เราเลือกค่าขึ้นมาอย่างสุ่ม

เพื่อดูว่า y จะเป็นอะไร

ลองใส่มันลงในแกนนอน

นั่นคือสิ่งที่เดต์คาส์

ผู้ตั้งวิธีการนี้ขึ้นมาใช้ x กับ y ตามนั้น

เราจะเห็นต่อไปว่า z ในพีชคณิต, เป็น

ตัวแปรไม่ทราบค่าอีกตัวที่คุณจัดการ

แต่เขาบอกว่า 'ถ้าเราคิดแบบนี้

ถ้าเราใส่ตัวเลขในแต่ละมิตินี้ล่ะก็'

งั้นสมมุติว่าในทิศ x

สมมุติว่าตรงนี้คือ -3

ให้นี่เป็น -2

นี่คือ -1

นี่คือ 0

ผมแค่ใส่ตัวเลขให้ทิศ x

คือทิศซ้ายขวา

ทีนี้นี่คือบวก 1

นี่คือบวก 2

และนี่คือบวก 3

เราก็ทำแบบเดียวกันทิศ y ได้

ลองดู เราก็ไป, นี่

ได้เป็น -5, -4, -3

ที่จริงผมทำให้เนี๊ยบกว่านี้หน่อย

ขอผมลบเจ้านี่หน่อยนะ

ขอผมลบอันนี้แล้วก็ขยายอันนี้ลงมาหน่อย

ผมจะได้ลงไปถึง -5 ได้

โดยไม่ทำให้มันเลอะเทอะมาก

ลองลงไปถึงตรงนี้

เราก็ใส่ตัวเลขลงไป

นี่คือ 1, นี่คือ 2, นี่คือ 2,

แล้วนี่ก็เป็น -1

-2 และนี่เป็นแค่วิธีตกลงร่วมกัน

เราตั้งค่าอีกแบบก็ได้

เราอาจเลือก x ไว้ตรงนี้

และ y ตรงนี้

แล้วให้ทางนี้เป็นทิศบวก

ให้ทิศนี้เป็นทิศลบ

แต่นี่เป็นข้อตกลลงที่คนใช้

เริ่มจากเดต์คาส์

-2, -3, -4 และ -5

แล้วเขาบอกว่า "ทีนี้อะไรก็ตามฉันก็โยงได้

ฉันสามารถโยงตัวเลขแต่ละคู่พวกนี้เข้ากับ

จุดในสองมิติได้"

ผมสามารถเอาค่าพิกัด x, ผมสามารถหาค่า x

นี่ตรงนี้และบอกว่า 'โอเค นั่นคือ -2

นั่นก็อยู่ตรงนี้ ในแนวซ้ายขวา

ฉันจะไปทางซ้ายเพราะมันเป็นลบ'

แล้วมันคู่กับลบ -5 ในแนวดิ่ง

ผมก็บอกว่าค่า y เป็น -5

แล้วหากผมไปทางซ้าย 2 และลงไป 5

ผมจะได้จุดนี่ตรงนี้

แล้วเขาบอกว่า 'ค่าสองค่านี้ -2 กับ -5

ฉันสามารถแทนมันได้ด้วยจุด

ในระนาบนี่ตรงนี้ ในระนาบสองมิติ

หรือฉันบอกว่า. จุดนั่นมีพิกัด

ซึ่งบอกว่าฉันว่าฉันจะหาจุด (-2,-5) ได้จากไหน'

ระบบพิกัดพวกนี้เรียกว่า "พิกัดคาร์ทีเชียน"

ตั้งตามเชื่อเรอน่ เดต์คาส์

เพราะเขาเป็นคนที่คิดมันขึ้นมา

เขาโยงความสัมพันธ์เหล่านี้

เข้ากับจุดในระนาบพิกัด

แล้วเขาก็บอกว่า 'เอาล่ะ โอเค ลองทำอีกสักอันW

มันมีคู่อื่นอีก

เมื่อ x เท่ากับ -1, y = -3

งั้น x คือ -1, y คือ -3

นั่นก็คือจุดนั่นตรงนั้น

วิธีการไล่ก็เหมือนเดิม

'ตอนคุณเขียนพิกัด,

คุณมีพิกัด x ก่อน, แล้วค่อยพิกัด y'

นั่นคือสิ่งที่คนส่วนใหญ่เลือกใช้

-1, -3 นั่นก็คือจุดนั่นตรงนั้น

แล้วคุณมีจุดเมื่อ x เป็น 0, y เป็น -1

เมื่อ x เป็น 0 อยู่ตรงนี้,

หมายความว่าผมไม่ได้ไปซ้ายหรือขวา

y เป็น -1, ซึ่งหมายถึงผมลงไป 1

นั่นก็คือจุดนั่นตรงนั้น (0,-1)

ตรงนั้น

แล้วผมก็ทำต่อไป

เมื่อ x เป็น 1, y เป็น 1

เมื่อ x เป็น 2, y เป็น 3

ขอผมใช้สีม่วงเหมือนเดิมนะ

เมื่อ x เป็น 2, y เป็น 3

2,3 แล้วเจ้านี่ตรงนี้สีส้มคือ 1,1

และนี่ก็เจ๋งอยู่แล้ว

ผมสุ่มค่า x ที่เป็นไปได้ขึ้นมา

แต่สิ่งที่เขาค้นพบ

คือว่าคุณไม่ได้สุ่มค่า x ขึ้นมาอย่างเดียว

แต่ถ้าคุณสุ่มค่า x ขึ้นมาอีก

ถ้าคุณเลือกค่า x ทั้งหมดระหว่างนั้น

คุณก็จะพลอดเส้นตรงขึ้นมา

นั่นคือหากคุณคิดค่า x ที่เป็นไปได้ทุกค่า

คุณก็จะได้เส้นตรง

นั่นก็ดูใช่นะ.. ตรงนี้

และความสัมพันธ์... ความสัมพันธ์ใดๆ, หากคุณเลือกค่า x ใดๆ

และหาค่า y มันก็จะแทนจุดหนึ่งจุดบนเส้นตรงนี้

หรือวิธีขึ้นอีกอย่างคือว่า

จุดใดๆ ใดเส้นตรงนี้แทน

คำตอบของสมการนี้ตรงนี้

งั้นถ้าคุณมีจุดนี่ตรงนี้

ซึ่งดูเหมือนว่าคือ x เท่ากับ 1 ครึ่ง

y เป็น 2 ขอผมเขียนลงไปนะ

1.5, 2

นั่นเป็นคำตอบหนึ่งของสมการนี้

เมื่อ x เป็น 1.5, 2 x 1.5 ได้ 3 -1 เป็น 2

นั่นก็คือตรงนั้น

ทันใดนั้นเขาก็สามารถเชื่อมโยง

รอยต่อหรือความสัมพันธ์ระหว่างเรขาคณิตกับพีชคณิตได้

ตอนนี้เราสามารถเห็นภาพคู่ x กับ y ทั้งหมด

ที่เป็นไปตามสมการนี่ตรงนี้

และเขาเป็นผู้สร้างสะพานเชื่อมโยงนี้ขึ้นมา

นั่นคือสาเหตุที่ระบบพิกัด

ที่เราใช้ระบุจุดเหล่านี้เรียกว่า 'พิกัดคาร์ทีเชียน'

และอย่างที่เราจะเห็นต่อไป สมการแบบแรก

เราจะศึกษาสมกาารในรูปนี่ตรงนี้

และในหลักสูตรพีชคณิตดั้งเดิม

มันเรียกว่าสมการเชิงเส้น...

สมการเชิงเส้น

แล้วคุณอาจบอกว่า คุณก็รู้ นี่เป็นสมการ

ฉันเห็นว่านี่เท่ากับนั่น

แล้วมันมีเส้นตรงไหน?

อะไรทำให้มันเป็นเส้น?

การจะเห็นว่าเป็นเชิงเส้น,

ผมต้องกระโดดมาที่สิ่งที่เรอเน่ เดต์คาส์ทำ

เพราะหากคุณพลอตสมการนี้,

โดยใช้พิกัดคาร์ทีเชียน

บนระนาบยูคลิด คุณจะได้เส้นตรง

ในอนาคตคุณจะเห็นว่า

มีสมการแบบอื่นๆ ที่คุณไม่ได้เส้นตรงอีกด้วย

คุณจะได้เส้นโค้ง, บางครั้งก็ดูเพี้ยนๆ ประหลาดๆ ด้วย