Return to Video

דקארט וקואורדינטות קרטזיות

  • 0:01 - 0:04
    זה כאן, זו תמונה של רנה דקארט.
  • 0:04 - 0:06
    שוב פעם אחד המוחות הגדולים
  • 0:06 - 0:08
    גם במתמטיקה וגם בפילוסופיה
  • 0:08 - 0:10
    ואני חושב שאתם תראו שיש פה קצת טרנד
  • 0:10 - 0:13
    שהפילוסופים הגדולים היו גם מתמטקאים גדולים
  • 0:13 - 0:15
    ולהפך
  • 0:15 - 0:17
    הוא היה קצת בן זמנו של גלילאו
  • 0:17 - 0:19
    הוא היה צעיר ממנו ב 32 שנים
  • 0:19 - 0:22
    למרות שהוא נפטר זמן קצר אחרי שגלילאו נפטר
  • 0:22 - 0:23
    האיש הזה נפטר בגיל הרבה יותר צעיר
  • 0:23 - 0:25
    גלילאו היה בשנות ה 70 לחייו
  • 0:25 - 0:28
    דקארט נפטר במה, הוא היה רק בן 54.
  • 0:28 - 0:31
    והוא גם כנראה הכי מוכר בתרבות המודרנית
  • 0:31 - 0:33
    בשל הציטוט שמופיע כאן
  • 0:33 - 0:34
    ציטוט מאוד פילוסופי
  • 0:34 - 0:36
    "אני חושב משמע אני קיים"
  • 0:36 - 0:37
    אבל גם רציתי להוסיף
  • 0:37 - 0:39
    וזה לא כ"כ קשור לאלגברה
  • 0:39 - 0:41
    אבל אני פשוט חשבתי שזה ציטוט ממש מעולה
  • 0:41 - 0:43
    כנראה הציטוט הכי פחות מפורסם שלו
  • 0:43 - 0:44
    זה ממש כאן
  • 0:44 - 0:47
    ואני אוהב אותו רק כי הוא מאוד מעשי
  • 0:47 - 0:49
    והוא גורם לך להבין שהמוחות הגדולים האלה
  • 0:49 - 0:51
    עמודי התווך של הפילוסופיה ושל מתמטיקה
  • 0:51 - 0:52
    שבסופו של דבר
  • 0:52 - 0:54
    הם היו רק בני אדם
  • 0:54 - 0:56
    והוא אמר, "אתה פשוט ממשיך לנסות"
  • 0:56 - 0:58
    אתה פשוט ממשיך לנסות
  • 0:58 - 1:00
    אני עשיתי כל טעות שיכולה להעשות
  • 1:00 - 1:02
    אבל פשוט המשכתי לנסות."
  • 1:02 - 1:05
    שאני חושב שזה עצה מאוד טובה לחיים.
  • 1:05 - 1:08
    עכשיו, הוא עשה הרבה דברים
  • 1:08 - 1:09
    בפילוסופיה ובמתמטיקה
  • 1:09 - 1:11
    אבל הסיבה שאני כולל כאן
  • 1:11 - 1:13
    כשאנחנו בונים את יסודות האלגברה
  • 1:13 - 1:16
    היא שהוא האדם
  • 1:16 - 1:19
    שהכי אחראי לקשר חזק מאוד
  • 1:19 - 1:21
    בין האלגברה לגאומטריה
  • 1:21 - 1:23
    אז בצד שמאל כאן
  • 1:23 - 1:25
    יש לך את העולם של האלגברה
  • 1:25 - 1:26
    דברנו עליו קצת
  • 1:26 - 1:28
    יש לך משוואת שמתעסקות עם סמלים
  • 1:28 - 1:30
    והסמלים האלה הם בעצם
  • 1:30 - 1:32
    הם יכולים לקבל ערכים
  • 1:32 - 1:33
    אז יכול להיות לך משהו כמו
  • 1:33 - 1:38
    y = 2x - 1
  • 1:38 - 1:39
    זה נותן לנו מערכת יחסים
  • 1:39 - 1:41
    בין מה ש-x שווה
  • 1:41 - 1:42
    לבין מה ש-y שווה
  • 1:42 - 1:44
    ואפשר אפילו לעשות כאן טבלה
  • 1:44 - 1:47
    ולבחור ערכים ל-x
  • 1:47 - 1:48
    ולראות מה הערכים של Y יהיו
  • 1:48 - 1:52
    ואני יכול לבחור פשוט ערכים אקראיים ל X
  • 1:52 - 1:53
    ואז לחשב למה שווה Y
  • 1:53 - 1:55
    אבל אני אבחר ערכים יחסית פשוטים
  • 1:55 - 1:58
    וככה שהמתמטיקה לא נהיית יותר מדי מסובכת
  • 1:58 - 1:59
    אז לדוגמא
  • 1:59 - 2:01
    אם X שווה 2-
  • 2:01 - 2:04
    אז Y יהיה: 2X
    1- 2-
  • 2:04 - 2:07
    2 X -2 -1
  • 2:07 - 2:10
    שזה 4- 1-
  • 2:10 - 2:12
    שזה 5-
  • 2:12 - 2:15
    אם X שווה 1-
  • 2:15 - 2:20
    אז Y יהיה 2X-1 -1
  • 2:20 - 2:22
    שזה שווה ל
  • 2:22 - 2:25
    זה 2- 1- שזה 3-.
  • 2:25 - 2:29
    אם X=0
  • 2:29 - 2:33
    אז Y יהיה
    2 x 0 -1
  • 2:33 - 2:36
    2 X 0 זה
    -1 שזה
  • 2:36 - 2:37
    אני אעשה עוד כמה
  • 2:37 - 2:38
    אם X שווה 1
  • 2:38 - 2:39
    ויכולתי לבחור כל ערך כאן
  • 2:39 - 2:40
    יכולתי להגיד מה קורה
  • 2:40 - 2:42
    אם x הוא השורש השלילי של 2
  • 2:42 - 2:45
    או מה קורה אם x שווה 5- חצאים
  • 2:45 - 2:48
    או שש שביעיות (6/7)
  • 2:48 - 2:49
    אבל אני רק בוחר את המספרים האלה
  • 2:49 - 2:51
    כי זה עושה את המתמטיקה הרבה יותר קלה
  • 2:51 - 2:53
    כשאני מנסה לחשב מה Y הולך להיות
  • 2:53 - 2:54
    אבל כש X שווה 1
  • 2:54 - 2:57
    Y יהיה
    2(1) -1
  • 2:57 - 3:00
    2*1 זה 2 -1 זה 1
  • 3:00 - 3:03
    ואני אעשה עוד אחד
  • 3:03 - 3:05
    בצבע שעוד לא השתמשתי בו
  • 3:05 - 3:07
    בו נראה את הסגול הזה
  • 3:07 - 3:08
    אם x זה 2
  • 3:08 - 3:09
    אז y יהיה
  • 3:09 - 3:14
    2(2) -1 (עכשיו ש-x הוא 2)
  • 3:14 - 3:17
    ככה שזה : 4-1
    זה שווה 3
  • 3:17 - 3:18
    אז בצדק,
  • 3:18 - 3:20
    אני בערך דגמתי את היחסים האלה
  • 3:20 - 3:23
    אבל אמרתי בסדר, זה מתאר את היחסים הכלליים
  • 3:23 - 3:25
    בין משתנה Y
    לבין משתנה x
  • 3:25 - 3:27
    ואז הפכתי את זה ליותר מוחשי
  • 3:27 - 3:28
    אמרתי, בסדר אז
  • 3:28 - 3:30
    אם X הוא אחד מהמשתנים האלה
  • 3:30 - 3:31
    לכל אחד מהערכים האלה של X
  • 3:31 - 3:34
    מה יהיה הערך המקביל של Y
  • 3:34 - 3:36
    ומה שדקארט הבין זה
  • 3:36 - 3:37
    שאפשר להמחיש את זה באופן חזותי
  • 3:37 - 3:40
    מה שאפשר לראות זה נקודות יחידות
  • 3:40 - 3:43
    אבל זה יכול גם לעזור לך באופן כללי
  • 3:43 - 3:46
    לראות את כל כל היחסים
  • 3:46 - 3:47
    אז מה שהוא בעצם עשה
  • 3:47 - 3:52
    הוא גישר את העולמות של האלגברה שהיא די מופשטת
  • 3:52 - 3:55
    ושל הגאומטריה שהיא נוגעת
  • 3:55 - 3:58
    לצורות וגדלים וזוויות
  • 3:58 - 4:03
    אז כאן יש לך את העולם של גאומטריה
  • 4:03 - 4:05
    וכמובן שהיו אנשים בהיסטוריה
  • 4:05 - 4:07
    אולי הרבה אנשים שההיסטוריה אולי שכחה
  • 4:07 - 4:09
    שיכול להיות שהתעסקו עם זה
  • 4:09 - 4:12
    אבל לפני דקארט זה נחשב באופן כללי
  • 4:12 - 4:15
    שגאומטריה הייתה הגאומטריה האוקלידית
  • 4:15 - 4:16
    וזה בעצם הגאומטריה
  • 4:16 - 4:18
    שלמדת בשיעור גאומטריה
  • 4:18 - 4:20
    בכיתה ח' או ט' או י'
  • 4:20 - 4:23
    בתכנית לימודים המסורתית של התיכון
  • 4:23 - 4:24
    וזאת הגאומרטיה של לימוד
  • 4:24 - 4:29
    היחסים בין משולשים והזוויות שלהם
  • 4:29 - 4:31
    והיחסים בין עיגולים
  • 4:31 - 4:34
    ויש לכם רדיוסים ואז יש לכם משולשים
  • 4:34 - 4:36
    מצויירים בעיגולים וכל השאר
  • 4:36 - 4:37
    ונכנס לקצת עומק
  • 4:37 - 4:40
    ברשימת הנושאים של הגאומטריה.
  • 4:40 - 4:43
    אבל דקארט אומר 'אני חושב שאני יכול לייצג את זה בצורה באופן חזותי
  • 4:43 - 4:47
    באותה צורה שאוקלידיס למד את המשולשים האלה והעיגולים האלה'
  • 4:47 - 4:48
    והוא אומר ' למה לא?'
  • 4:48 - 4:51
    אם אנחנו רואים חתיכת נייר
  • 4:51 - 4:52
    אם אנחנו חושבים על מישור דו-מימדי
  • 4:52 - 4:54
    אתה יכול לראות חתיכת נייר
  • 4:54 - 4:56
    כחלק ממישור דו-מימדי.
  • 4:56 - 4:58
    אנחנו קוראים לזה דו-מימדי
  • 4:58 - 5:00
    כי יש שני כיוונים שאפשר ללכת בהם
  • 5:00 - 5:01
    יש את הכיוון למעלה-למטה
  • 5:01 - 5:03
    זה כיוון אחד
  • 5:03 - 5:05
    אז תנו לי לצייר את זה, אני אעשה את זה בכחול
  • 5:05 - 5:07
    כי אנחנו מנסים להמחיש דברים בצורה חזותית
  • 5:07 - 5:08
    אז אני אעשה את זה בצבע של הגאומטריה.
  • 5:08 - 5:12
    אז יש לכם את הכיוון מעלה-מטה
  • 5:12 - 5:14
    ויש לכם את כיוון השמאל-ימין
  • 5:14 - 5:17
    זאת הסיבה שקוראים לזה מישור דו-מימדי.
  • 5:17 - 5:18
    אם אנחנו מתעסקים עם תלת-מימדי
  • 5:18 - 5:21
    יש לכם את כיוון הפנימה- החוצה.
  • 5:21 - 5:23
    וזה מאוד פשוט לעשות שני מימדים על המסך
  • 5:23 - 5:25
    כי המסך הוא דו-מימדי.
  • 5:25 - 5:27
    והוא אומר 'טוב, אתם יודעים
  • 5:27 - 5:30
    יש כאן שני משתנים ויש ביניהם יחסים.
  • 5:30 - 5:33
    אבל למה שאני לא אשייך כל אחד מהמשתנים האלה
  • 5:33 - 5:35
    אם אחד מהמימדים האלה כאן?'
  • 5:35 - 5:38
    ועפ"י מוסכמה הוא נעשה את משתנה Y
  • 5:38 - 5:39
    שהוא בעצם המשתנה התלוי,
  • 5:39 - 5:40
    כמו שעשינו את זה,
  • 5:40 - 5:42
    הוא תלוי במה ש X שווה.
  • 5:42 - 5:44
    אז בוא נשים אותו על הציר האנכי
  • 5:44 - 5:45
    ובוא נשים את המשתנה הבלתי תלוי שלנו,
  • 5:45 - 5:47
    זה שבחרתי לו ערכים באופן אקראי
  • 5:47 - 5:48
    לראות מה יהיה Y
  • 5:48 - 5:51
    בוא נשים את זה על הציר האופקי.
  • 5:51 - 5:53
    וזה למעשה היה דקארט
  • 5:53 - 5:56
    שהגה את קונבנציה של שימוש ב Xים וYים
  • 5:56 - 5:59
    ונראה אח"כ Zים באלגברה, באופן כ"כ נרחב
  • 5:59 - 6:02
    כמשתנים לא ידועים או המשתנים שאנחנו מתמרנים.
  • 6:02 - 6:04
    אבל הוא אומר 'טוב, אם אנחנו חושבים על זה בצורה כזאת
  • 6:04 - 6:07
    אם אנחנו ממספרים את המימדים האלה
  • 6:07 - 6:10
    אז בוא נאמר שבכיוון X
  • 6:10 - 6:16
    בוא נעשה את זה פה 3-
  • 6:16 - 6:18
    בוא נעשה את זה 2-
  • 6:18 - 6:19
    זה 1-
  • 6:19 - 6:21
    זה 0
  • 6:21 - 6:24
    אני רק ממספר את ציר הX
  • 6:24 - 6:25
    כיוון השמאל-ימין
  • 6:25 - 6:27
    עכשיו זה 1 חיובי
  • 6:27 - 6:28
    זה 2 חיובי
  • 6:28 - 6:30
    וזה 3 חיובי
  • 6:30 - 6:32
    ואנחנו יכולים לעשות את דבר בכיוון Y
  • 6:32 - 6:34
    אז בוא נראה, זה יכול ללכת
  • 6:34 - 6:40
    נגיד שזה 5-, 4-, 3-
  • 6:40 - 6:42
    למעשה בוא אניאעשה את זה קצת יותר מסודר מזה
  • 6:42 - 6:45
    תנו לי לנקות את זה טיפה.
  • 6:45 - 6:48
    אני אמחק את זה ואאריך את זה למטה קצת
  • 6:48 - 6:50
    אז אני יכול לרדת עד ל5-
  • 6:50 - 6:52
    בלי שזה יראה מבולגן
  • 6:52 - 6:53
    אז בוא נרד עד למטה כאן
  • 6:53 - 6:55
    ואז אנחנו יכולים למספר את זה
  • 6:55 - 6:58
    זה 1, זה 2, זה 3,
  • 6:58 - 7:01
    ואז זה יכול להיות 1-
  • 7:01 - 7:03
    2- וכל אלה זה רק מוסכמות
  • 7:03 - 7:04
    זה יכול היה להיות מתויג בדרך אחרת
  • 7:04 - 7:06
    יכולנו להחליט לשים את X שם
  • 7:06 - 7:07
    ואת Y שם
  • 7:07 - 7:08
    ולהפוך את זה לכיוון החיובי,
  • 7:08 - 7:09
    להפוך את זה לכיוון השלילי.
  • 7:09 - 7:11
    אבל זו רק מוסכמה שאנשים אימצו
  • 7:11 - 7:13
    החל מדקארט.
  • 7:13 - 7:18
    2-, 3-, 4- ו 5-
  • 7:18 - 7:20
    והוא אומר 'טוב כל דבר אני יכול לשייך
  • 7:20 - 7:23
    אני יכול לשייך כל אחד מזוגות הערכים האלה עם
  • 7:23 - 7:25
    נקודה בשני מימדים.
  • 7:25 - 7:28
    אני יכול לקחת את ה-X של נקודת הציון, אני יכול לקחת את הערך של X
  • 7:28 - 7:30
    ממש כאן ואני אומר ' אוקיי, זה 2
  • 7:30 - 7:34
    זה יהיה ממש שם לאורך כיוון השמאל-ימין
  • 7:34 - 7:36
    אני הולך לשמאל כי זה שלילי.'
  • 7:36 - 7:39
    וזה משוייך עם 5- בכיוון האנכי.
  • 7:39 - 7:42
    אז אני אומר שהערך של Y הוא 5-
  • 7:42 - 7:46
    ואז אם אני הולך 2 שמאלה ו 5 למטה.
  • 7:46 - 7:49
    קבלתי את הנקודה הזאת ממש שם.
  • 7:49 - 7:54
    אז הוא אומר ' שני הערכים האלה 2- ו 5-
  • 7:54 - 7:56
    אני יכול לשייך לנקודה הזאת
  • 7:56 - 7:59
    במישור הזה כאן, המישור הדו-מימדי.
  • 7:59 - 8:03
    אז אני אומר: לנקודה הזאת יש את הקורדינטות (נק' ציון),
  • 8:03 - 8:06
    אומרת לי איפה אני מוצא את הנקודה הזו (5-,2-)
  • 8:06 - 8:09
    והקואורדינטות האלה נקראות 'קואורדינטות קרטזיות'
  • 8:09 - 8:12
    נקראות על שם רנה דקארט
  • 8:12 - 8:14
    הי הוא היה האיש שהגה אותןץ
  • 8:14 - 8:15
    הוא משייך פתאום את כל היחסים האלה
  • 8:15 - 8:18
    עם נקודות על מישור של קואורדינטות.
  • 8:18 - 8:20
    ואז הוא אומר 'טוב בסדר, בוא נעשה עוד אחת'
  • 8:20 - 8:22
    יש עוד איזה יחס,
  • 8:22 - 8:27
    כשX שווה ל 1-, Y=-3
  • 8:27 - 8:30
    אז X הוא 1-, Y הוא 3-
  • 8:30 - 8:32
    זאת הנקודה הזאת שם.
  • 8:32 - 8:33
    והקונבנציה (מוסכמה) היא שוב
  • 8:33 - 8:34
    'כשאתה עורך את רשימת הקואורדינטות
  • 8:34 - 8:37
    אתה רושם את הקואורדינטות של X, אח"כ אתה רושם את הקואורדינטות של Y
  • 8:37 - 8:38
    וזה פשוט מה שאנשים החליטו לעשות.
  • 8:38 - 8:42
    1-, 3- זאת תהיה הנקודה הזאת שם
  • 8:42 - 8:46
    ואז יש לך את הנקודה כש X הוא 0, Y הוא 1-
  • 8:46 - 8:48
    כש X הוא 0 פה
  • 8:48 - 8:50
    שזה אומר שאני לא הולך ימינה או שמאלה.
  • 8:50 - 8:53
    Y הוא 1-, שזה אומר שאני הולך 1 למטה.
  • 8:53 - 8:56
    אז זאת הנקודה הזאת שם. (1-,0)
  • 8:56 - 8:57
    ממש שם
  • 8:57 - 8:59
    ואני יכול להמשיך לעשות את זה
  • 8:59 - 9:04
    כש X הוא 1, Y הוא 1
  • 9:04 - 9:10
    כש X הוא 2, Y הוא 3
  • 9:10 - 9:12
    בעצם אני אעשה את זה עם אותו צבע סגול
  • 9:12 - 9:15
    כש X הוא 2, Y הוא 3
  • 9:15 - 9:21
    2,3 ואז זאת כאן בכתום הייתה 1,1
  • 9:21 - 9:22
    וזה מעולה כשלעצמו
  • 9:22 - 9:25
    אני בעצם פשוט דגמתי Xים אפשריים.
  • 9:25 - 9:26
    אבל מה שהבנתי זה
  • 9:26 - 9:28
    לא רק שאתה דוגם את ה Xים האפשריים האלה
  • 9:28 - 9:30
    אבל אם המשכת לעשות עוד דוגמאות של Xים,
  • 9:30 - 9:31
    אם הייתי מנסה לדגום את כל הXים ביניהם,
  • 9:31 - 9:34
    היית למעשה מוצא את עצמך יוצר קו.
  • 9:34 - 9:36
    אז אם היית עושהכל X אפשרי
  • 9:36 - 9:38
    היית בסוף מקבל קו
  • 9:38 - 9:44
    שנראה משהו כזה... כאן.
  • 9:44 - 9:48
    וכל... כל יחסים, אם אתה בוחר כל X
  • 9:48 - 9:51
    ומוצא כל Y זה באמת מייצג נקודה על הקו הזה,
  • 9:51 - 9:52
    או עוד דרך לחשוב על זה
  • 9:52 - 9:54
    כל נקושה על הקו מייצגת
  • 9:54 - 9:57
    פתרון למשוואה הזאת
  • 9:57 - 9:59
    אז אם יש לך את הנקודה הזאת כאן.
  • 9:59 - 10:02
    שנראית כמו X שווה 1 וחצי
  • 10:02 - 10:03
    Y שווה 2, אז תנו לי לכתוב את זה
  • 10:03 - 10:07
    1.5,2
  • 10:07 - 10:09
    זה פתרון למשווה הזאת.
  • 10:09 - 10:14
    כש X הוא 1.5, 2X 1.5 זה 3 -1 זה 2
  • 10:14 - 10:16
    זה שם.
  • 10:16 - 10:17
    אז פתאום הוא יכל לגשר
  • 10:17 - 10:22
    את הפער או היחס הזה בין אלגברה וגאומטריה.
  • 10:22 - 10:27
    אנחנו עכשיו יכולים לתאר בצורה חזותי את כל זוגות ה X וה Y
  • 10:27 - 10:31
    שמספקים את המשוואה הזאת.
  • 10:31 - 10:36
    אז הוא האחראי על יצירת הגשר הזה
  • 10:36 - 10:38
    ולכן הקואורדינטות
  • 10:38 - 10:43
    שאנחנו משתמשים כדי לציין את הנקודות האלה נקראות 'קואורדינטות קרטזיות'
  • 10:43 - 10:45
    וכמו שנראה, הסוג הראשון של המשוואות
  • 10:45 - 10:49
    שנלמד הן משוואות מהסוג הזה כאן
  • 10:49 - 10:50
    ובתכנית הלימודים האלגברית הרגילה
  • 10:50 - 10:53
    הם נקראות משוואות לינאריות...
  • 10:53 - 10:56
    משוואות לינאריות.
  • 10:56 - 10:58
    ואולי אתם אומרים: טוב אנחנו יודעים, זאת משוואה
  • 10:58 - 11:00
    אני רואה שזה שווה לזה
  • 11:00 - 11:01
    אבל מה כ"כ לינארי (קוי, שורתי) בהם?
  • 11:01 - 11:02
    מהגורם להם להראות כמו קו?
  • 11:02 - 11:04
    כדי להבין למה הן לינאריות
  • 11:04 - 11:07
    צריך לעשות את הקפיצה הזאת שעשה רנה דקארט.
  • 11:07 - 11:09
    כי אם אתה רושם את זה
  • 11:09 - 11:11
    בשימוש של קואורדינטות קרטזיות
  • 11:11 - 11:14
    על מישור אוקלידי, אתה תקבל קו.
  • 11:14 - 11:16
    ובעתיד תראו
  • 11:16 - 11:18
    שיש עוד סוגים של משוואות שבהן לא נקבל קו ישר
  • 11:18 - 11:22
    נקבל עקומה, או משהו כזה משוגע או מוזר.
Title:
דקארט וקואורדינטות קרטזיות
Description:

מגשרים את האלגברה והגאומטריה. מה עושה את המשוואות הלינאריות כל כך לינאריות.
more » « less
Video Language:
English
Duration:
11:22

Hebrew subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.