-
Det her er et portræt af René Descartes,
-
en af de store tænkere inden for både matematik og filosofi.
-
De store filosoffer
-
var ofte også store matematikere, og vice versa.
-
Descartes levede nogenlunde samtidig med Galileo.
-
Han var 32 år yngre, men han døde dog kort efter Galileo.
-
Descartes døde i en ret ung alder, kun 54 år gammel, mens Galileo var godt oppe i 70'erne.
-
Descartes er nok mest almen kendt for det citat lige her.
-
Et meget filosofisk citat:
-
"Jeg tænker, altså er jeg."
-
Vi har også valgt et andet citat.
-
Det har faktisk ikke har så meget med algebra at gøre,
-
men det er et virkeligt godt citat.
-
Det er et mindre berømt citat, måske det mindst kendte.
-
Det står herovre.
-
Det er anvendeligt
-
og får os til at indse, at de her store tænkere,
-
de her grundlæggere af filosofi og matematik,
-
når alt kommer til alt, så var de bare mennesker.
-
Det han sagde var: "Man bliver ved med at skubbe på.
-
Man bliver ved med at skubbe på.
-
Jeg lavede alle de fejl, som kunne laves.
-
Men jeg blev ved med at skubbe på."
-
Det er et rigtig godt råd her i livet.
-
Han lavede mange ting i filosofi og matematik,
-
men grunden til, at vi har taget ham med her,
-
hvor vi lægger fundamentet til algebra,
-
er, at han er det individ,
-
som er hovedansvarlig for den stærke forbindelse mellem algebra og geometri.
-
På venstre side har vi algebraens verden.
-
Det har vi diskuteret en smule tidligere.
-
Vi har ligninger med symboler,
-
og symbolerne kan have forskellige værdier.
-
Vi kan f.eks. have sådan noget som
y er lig med 2x minus 1.
-
Det udtrykker en relation mellem et tal x og et tal y.
-
Vi kan skrive det op i en tabel her,
-
hvor vi vælger værdier af x
-
og udregner, hvad værdierne af y er.
-
Vi kan vælge tilfældige værdier af x
-
og så finde y ud fra dem.
-
Vi vælger nogle ret enkle værdier,
-
så udregningerne ikke bliver for svære.
-
Hvis x er minus 2,
-
så bliver y lig med 2 gange minus 2 minus 1.
-
2 gange minus 2 minus 1.
-
Det er minus 4 minus 1.
-
Det er minus 5.
-
Hvis x er minus 1,
-
er y lig med 2 gange minus 1 minus 1.
-
Det er lig med
-
minus 2 minus 1. Det er minus 3.
-
Hvis x er lig med 0,
-
er y lig med 2 gange 0 minus 1.
-
2 gange 0 er 0, minus 1, det giver minus 1.
-
Vi tager et par stykker mere.
-
Vi kan vælge hvilken som helst værdi.
-
Vi kunne have sagt,
-
at x er minus kvadratrod 2
-
eller, hvad sker der, hvis x er minus 5 halve
-
eller plus 6/7.
-
Vi vælger bare de her tal,
-
fordi det gør udregningerne meget lettere,
-
når vi skal finde ud af, hvad y er.
-
Når x er 1, er y lig med 2 gange 1 minus 1.
-
2 gange 1 er 2, og så minus 1. Det giver 1.
-
Vi tager lige en mere
-
med en farve, som vi ikke har brugt endnu.
-
Lad os skrive det med lilla.
-
Hvis x er 2, så er y lig med
-
2 gange 2 minus 1,
-
så det er 4 minus 1, det er lig med 3.
-
Godt, det er vist nok.
-
Vi har udvalgt nogle eksempler på relationen.
-
Ligningen beskriver en generel relation mellem en variabel y og en variabel x.
-
Vi har bare vist nogle konkrete eksempler på det.
-
Det vi gjorde var at sige,
-
at hvis x er en variabel,
-
hvad er så den tilhørende værdi af y
-
for hver af de her x-værdier?
-
Det som Descartes indså er, at det kan visualiseres.
-
Vi kan vise det som punkter,
-
men det kan også udnyttes til at vise den generelle relation.
-
Han byggede en bro mellem de to verdener:
-
Fra meget abstrakt symbolsk algebra til geometri
-
som handler om former, dimensioner og vinkler.
-
Herovre er geometriens verden.
-
Der er sikkert andre folk gennem historien,
-
som måske også legede med de her ting, men som er blevet glemt,
-
men i tiden før Descartes var den generelle opfattelse,
-
at geometri var det vi kender som euklidisk geometri,
-
og det er basalt set geometrien,
-
som du nok har lært om i 6. eller 7. klasse
-
i det almindelige pensum i folkeskolen.
-
Det er geometri, hvor man beskriver
-
relationerne mellem trekanter og deres vinkler
-
og relationerne mellem cirkler
-
med deres radier, og så har vi trekanter
-
indskrevet i en cirkel og alt det der.
-
Vi vil gå lidt mere i dybden med den slags i videoerne om geometri.
-
Descartes siger nu:
-
"Jeg tror, jeg kan vise det her visuelt på samme måde som Euklid studerede trekanter og cirkler."
-
Lad os prøve det.
-
Hvis vi har et stykke papir,
-
kan vi tænke på det som et todimensionelt plan.
-
Vi kan betragte papiret som et udsnit af et todimensionelt plan.
-
Vi kalder det to dimensioner,
-
fordi der er to retninger, som vi kan bevæge os i.
-
Der er op-nedretningen. Det er én retning.
-
Det tegner vi lige her med blåt,
-
fordi vi prøver at visualisere det her,
-
så vi gør det i farven for geometri.
-
Vi har op-nedretningen, og vi har højre-venstreretningen.
-
Det er derfor, det kaldes et todimensionelt plan.
-
Hvis vi har gang i 3 dimensioner,
-
har vi også en ind-uddimension af papirets plan.
-
Det er meget let at lave 2 dimensioner på skærmen,
-
fordi skærmen er todimensionel.
-
Nu siger Descartes så:
-
"Vi ved, at der 2 variable, og de har den her relation.
-
Hvad nu, hvis jeg betragter den ene af de her variable som en af de her dimensioner herovre?"
-
Lad os altid lave den y-variable,
-
som er den afhængige variabel,
-
der afhænger af, hvad x er.
-
Lad os skrive det på den lodrette akse.
-
Lad os sætte vores uafhængige variabel,
-
den, hvor hvor bare valgte en tilfældig værdi for at se, hvad y blev.
-
Lad os sætte x på den vandrette akse.
-
Det var faktisk Descartes, som fandt på at benytte den enighed om altid at bruge x og y,
-
og som vi skal se senere også z, i algebra som de ukendte variable, vi flytter rundt med.
-
Descartes sagde:
-
"Hvis vi tænker på det på den her måde, så kan jeg inddele og nummere de to dimensioner."
-
Lad os gøre det lige herovre. Minus 3.
-
Her er minus 2.
-
Her er minus 1.
-
Det er 0.
-
Vi nummererer bare x-retningen, venstre-højreretningen.
-
Her er plus 1,
-
plus 2,
-
og her plus 3,
-
og vi kan gøre det samme i y-retningen.
-
Lad os gøre det.
-
Det er minus 5, minus 4, minus 3.
-
Lad os prøve at gøre det lidt pænere.
-
Det blev lidt rodet.
-
Vi sletter lige det her og forlænger den her lidt nedad,
-
så vi kan gå helt ned til minus 5, uden det bliver for rodet.
-
Vi starter helt hernede.
-
Vi nummererer.
-
Her er 1, her er 2, her er 3.
-
Det er minus 1,
-
minus 2. Alt det her er bare konventioner,
-
der kunne gøres på en anden måde.
-
Vi kunne have sat x der og y der
-
og gøre det her til den positive retning
-
og det her den negative retning,
-
men det her er bare den konvention, som alle bruger,
-
og den går helt tilbage til Descartes.
-
Minus 2, minus 3, minus 4, minus 5.
-
Så sagde han:
-
"Jeg kan forbinde hvert af de her talpar med et punkt i 2 dimensioner."
-
Vi kan tage x-koordinaten som x-værdien herovre og sige, at det er minus 2.
-
Det er så lige derovre langs venstre-højreretningen.
-
Det er til venstre, fordi det er negativt.
-
Det er forbundet med minus 5 i den lodrette retning.
-
Det vil sige, at y-værdien er minus 5.
-
Hvis vi går 2 til venstre og 5 ned,
-
kommer vi til det punkt der.
-
Så siger Descartes: "De 2 værdier, minus 2 og minus 5,
-
kan beskrives som det punkt i det todimensionelle plan."
-
Så siger han: "Dét punkt har koordinaterne,
-
som fortæller mig, hvor jeg finder dét punkt: minus 2 komma minus 5."
-
De her koordinater kaldes kartesiske koordinater,
-
og de er opkaldt efter René Descartes,
-
for det var ham, som fandt på det.
-
Han forbinder lige pludselig alle de her relationer
-
med punkter i et koordinatsystem.
-
Lad os tage en mere.
-
Her er en anden relation:
-
Når x er lig med minus 1, er y lig med minus 3.
-
x er minus 1 og y er minus 3.
-
Det er det punkt derovre.
-
Det er den samme konvention igen.
-
Når vi skriver en liste med koordinater,
-
skriver vi x-koordinatet og så y-koordinatet.
-
Det var smart, og alle begyndte at gøre det på den måde.
-
Minus 1 minus 3. Det er så det punkt der.
-
Næste punkt: Når x er 0, er y minus 1.
-
Når x er 0 lige her.
-
Det betyder, at vi hverken går til venstre eller højre.
-
y er minus 1. Det betyder 1 ned. Det er punktet der.
-
Lige der.
-
Vi kan blive ved:
-
Når x er 1, er y 1.
-
Når x er 2, er y 3.
-
Lad os gøre det i den samme lilla farve.
-
Når x er 2, er y 3.
-
2 komma 3 i lilla, og den orange var 1 komma 1,
-
og det er jo meget pænt i sig selv.
-
Vi udvalgte bare nogle x'er,
-
men det som Descartes indså er,
-
at ikke bare vælger man nogle x'er,
-
men hvis man blev ved med at udvælge x'er,
-
altså hvis man prøvede at vælge alle x'er ind i mellem,
-
ville man faktisk ende med at tegne en linje.
-
Hvis man indtegnede alle de mulige punkter,
-
så ville man ende med en linje,
-
og linjen ville se nogenlunde sådan her ud.
-
For en hvilken som helst relation gælder det, at hvis man vælger et x
-
og finder y, er det altid et punkt på den her linje.
-
En anden måde at se på det er,
-
at alle punkter på den her linje er en løsning til den her ligning.
-
Det her punkt er omtrent x lig med 1 en halv, og y er 2.
-
Lad os skrive det.
-
1,5 komma 2.
-
Det er en løsning til den ligning.
-
Når x er 1,5, har vi, at 2 gange 1,5 er 3 minus 1 er 2.
-
Det er lige her.
-
Pludselig kunne Descartes bygge en bro over en kløft
-
eller lave en forbindelse mellem algebra og geometri.
-
Vi kan nu visualisere alle par af x og y,
-
som opfylder ligningen derovre,
-
og derfor har han fået æren for den bro,
-
og det er derfor, at koordinater,
-
som er det, vi kalder de her punkter, bliver kaldt for kartesiske koordinater.
-
Som vi vil se, er den første type af ligninger,
-
som vi skal studere, ligninger af den type, som er der,
-
og de kaldes for lineære ligninger.
-
Lineære ligninger.
-
Man tænker måske, at det her en ligning,
-
og vi kan se, at det der er lig med det i sig selv,
-
men hvad er det egentlig, som er lineært ved dem?
-
Hvad gør, at det bliver til en linje?
-
For at indse det skal vi have den indsigt, som René Descartes fik ved
-
at plotte relationerne i sit kartesiske koordinatsystem i 2 dimensioner, i et euklidisk plan.
-
Man får en ret linje, og, som vi skal se i en senere video,
-
er der andre typer af ligninger, hvor man ikke får en ret linje.
-
Man kan få noget kurvet, eller et eller andet helt vildt!