Circles: Radius, Diameter and Circumference

Çember tartışmasız evrendeki en önemli şekillerden bir tanesidir.

Gezegenlerin yörüngeleri, araba tekerlekleri,

moleküler seviyedi şeyler hep çembere örneklerdir.

.

Çember her yerde karşımıza çıkar.

.

Bu nedenle çemberin özelliklerini anlamaya çalışmak gereklidir.

.

Çember bulunduğunda, ki bulmak için sadece aya bakmak yeterli,

insanların ilk sorduğu şey

"Çemberin özellilkleri ne?" idi.

.

İlk özellik "Çember bir merkezden aynı uzakta olan

tüm noktaların oluşturduğu şekildir" olabilir.

.

Buradaki bütün noktalar merkezden aynı uzaklıkta.

.

İlk sorulacak sorulardan bir tanesi ise

"O uzaklık nedir? O merkezden tüm noktalara eşit olan uzaklık ne kadardır?" olabilir.

.

İşte burada.

Bu mesafeye çemberin yarıçapı diyoruz.

Merkez ile, çember üzerindeki bir noktayı birleştiren doğru parçasına yarıçap denir.

Eğer bu yarıçap 3 cm ise bu yarıçap da 3 cm'dir.

.

Ve bu yarıçap da 3 cm'dir.

Bu hiçbir zaman değişmez.

Çember, merkezden eşit uzaklıkta olan noktaların hepsidir.

.

Ve o uzaklık yarıçaptır.

Daha sonra şunlar sorulabilir:

"Çember ne kadar geniştir?"

"Çemberin en geniş yerinin genişliği nedir?"

Veya "Eğer çemberi en geniş noktasından doğru halinde kesersek oranın uzunluğu ne olur?"

.

Ve sadece orası olmasına gerek yok.

Buradan da en geniş noktayı kesebilirim.

Ama örneğin eğer böyle kesersem

çemberin en uzun yeri olmuş olmaz.

En uzun yerinden kesebileceğim birden fazla yer var.

.

Az önce yarıçapı öğrendik ve gördüğünüz gibi yarıçap

merkezden geçiyor ve devam ediyor.

Yani aslında 2 yarıçaptan söz ediyoruz.

Bir yarıçap burada diğeri de şurada.

.

Bu merkezden geçen en uzun mesafeye çemberin çapı diyoruz.

.

Yani bu çemberin çapı.

Yarıçap ile çok kolay bir bağlantısı var.

Çap yarıçapın iki katı.

Şimdi, bir sonraki merak edelebilecek şey

"Çemberin uzunluğu ne kadar?" olabilir.

Eğer bir mezura ile çemberin etrafını ölçsek uzunluğu ne kadar çıkardı?

.

Buna çemberin çevresi diyoruz.

Çap ve yarıçap arasındaki ilişkiyi biliyoruz.

Peki çevre ile örneğin çap arasındaki ilişki nasıl?

Ve eğer çapı kullanmaya henüz alışık değilseniz yarıçap ile

çevre arasındaki ilişkiyi bulmak çok daha kolaydır.

Yüzyıllar önce insanlar mezuralar ile

çembelerin çevresini ve yarıçapını ölçtüler.

.

Ve diyelim ki mezuraları o kadar iyi değildi.

Diyelim ki çemberin çevresini yaklaşık 3 olarak buldular.

.

Daha sonra çapı ölçtüler.

Ve yaklaşık 1 buldular.

.

Ve şöyle dediler.

Aradaki oran ile ilgileniyoruz.

.

Çevrenin çapa oranı.

Diyelim ki biri bir çember çizdi.

Ve o çok da iyi olmayan mezura ile çemberin etrafını ölçtü.

Ve yaklaşık 3 metre buldu.

.

.

Çapı ölçtüğünde ise yaklaşık 1'e eşit olduğunu gördü.

.

Bu ilginç.

Belki de çevre ile çap arasındaki oran 3'tür.

.

Belki de çevre hep çapın 3 katıdır.

.

Bu sadece bu çember için geçerli.

Ama diyelim ki bir başka çember de şurada ölçtük.

Bunun gibi; daha küçük.

Diyelim ki bunun da etrafını ölçtüler ve yaklaşık 6 cm buldular.

.

.

Ardından çapı ölçtüler.

Yaklaşık 2 cm buldular.

Ve yine çevre ile çap arasındaki oran

yaklaşık 3 çıktı.

Bu çemberin istikrarlı bir özelliğidir.

Belki de her çember için çevre ile çap arasında sabit bir oran vardır.

.

Daha sonra insanlar bunu biraz da detaylı çalıştılar.

Daha iyi mezuralar kullandılar.

Daha iyi mezuralar kullanınca örneğin çapı tam olarak 1 buldular.

.

"Çap kesinlikle 1." dediler.

Ama çevreyi tekrar ölçtüklerinde 3.1'e daha yakın olduğunu anladılar.

.

Ve bun defalarca tekrarladılar.

Aradaki oranın 3.1'e daha yakın olduğunu gördüler.

Daha da iyi ölçümler yapmaya devam ettiler.

Ve daha da hassas ölçümler yaptılar.

Ve hep aynı sayıyı buldular:

3.14159.

Zamanla daha fazla basamak buldular ve basamaklar

hiç tekrarlamadı.

Garip, büyüleyici ve olağanüstü bu sayı devamlı olarak karşılarına çıktı.

.

Çember evren için çok önemli olduğundan

bu sayı da çok önemliydi

ve her çemberde çıkıyordu.

Çevre ile çap arasında işte bu büyüleyici sayı vardı.

Ona bir isim verdiler.

Ona pi dediler, veya Latin veya Yunan harfi olan pi.

İşte böyle. (π)

Bu işaret o tartışmasız evrendeki en etkileyici sayıyı temsil ediyor.

.

İlk olarak çevre ile çap arasındaki oranda karşımıza çıkıyor ama

öğrenmeye devam ettikçe her yerde karşımıza çıkacağını göreceksiniz.

.

Bu sizi evrenin bir düzen içinde olduğunu düşündüren

önemli şeylerden bir tanesi.

Her neyse, bunu temel matematikte nasıl kullanabiliriz?

.

Öğrendiğimiz gibi çevrenin çapa oranı,

oran derken çevrenin çapa bölümü,

bize pi'yi verir.

.

Pi sadece bir sayıdır.

3.14159 olarak yazabilir ve bunu sonsuza dek devam ettirebilirim.

Ama bu yer kaybı olur ve işimizi zorlaştırır.

Bu nedenle insanlar pi'yi bu Yunan sembolunu kullanarak yazıyorlar.

.

Peki bunu nasıl birbirine bağlayabiliriz?

Her iki tarafı da çap ile çarpabiliriz ve

çevre = π x çap yazabiliriz.

.

Veya çap yarıçapın 2 katı olduğundan

çevre = π x 2 x yarıçap olarak yazabiliriz.

.

En çok karşılaşacağınız gösterim şekli;

çevre = 2πr

Bakalım bunu problemlere uygulayabilecek miyiz.

Diyelim ki bir çember var ve yarıçapı 3.

.

Yarıçap 3'e eşit.

3 metreye.

Çemberin çevresi kaçtır?

Çevre = 2πr

Yani Ç = 2 x π x 3

Bu da 6 x π eder.

6π meters.

.

Şimdi bunu çarpabilirim.

Pi sadece bir sayı.

Pi 3.14159 ve devam ediyor.

Yani eğer çarparsam 18 küsür bulacağım.

.

Eğer hesap makineniz varsa yapabilirsiniz ama çoğu zaman

basit olsun diye uzatmıyoruz ve pi ile bırakıyoruz.

.

6 x 3.14159 tam kaç ediyor bilmiyorum.

19'a mı 18' e mi daha yakın oluyor emin değilim.

18 küsür bir şey.

.

Hesap makinem yok şuan.

O sayıyı yazmak yerine sadece 6π yazabilirim.

.

Aslında 19'a yaklaşacağını sanmıyorum.

.

Neyse başka bir soruya geçelim.

Bu çemberin çapı nedir?

Eğer yarıçap 3 ise, çap onun 2 katıdır.

3 x 2 = 6

.

Yani çevre 6π, çap 6 metre ve yarıçap 3 metre.

.

Şimdi başka yoldan gidelim.

Diyelim ki başka bir çemberim var.

Diyelim ki burada başka bir çemberim var.

Çevre 10 metreye eşit.

.

Çap kaçtır?

Çap kaçtır?

Çap pi'ye eşit. Pi x çap = Ç

ve o da 10 metre.

.

Çözmek için önce her iki tarafı pi'ye böleriz.

.

Çap = 10/π olur.

.

Ve bu sadece bir sayı.

Hesap makinesi ile 10'u pi'ye bölebilirsiniz

Ve bu 3 küsür bir şey çıkar.

.

Kafamda yapamıyorum şuan.

Ama bu sadece bir sayı.

Ama basit kalması için bu şekilde bırakıyoruz.

Peki yarıçap ne?

Yarıçap çapın yarısı.

Tüm mesafe 10/π

Bunu yarıya bölersek, yani 1/2 ile çarparsak

1/2 x 10/π olur.

1/2 ile 10'u sadeleştirirsek

5/π çıkar.

.

Cevap 5/π.

.

.

Bence en çok insanları kafasını karıştıran şey pi'nin bir sayı olduğunu anlamak.

.

Pi 3.14159 ve devam ediyor.

Pi hakkında yazılmış binlerce kitap var.

Abartıyor da olabilirim ama bu sayı hakkında binlerce kitap yazılabilir.

.

Ama sadece bir sayı.

Çok özel bir sayı ve eğer sayı olarak yazmak istiyorsanız

çarpıp bulabilirsiniz.

.

Ama çoğunlukla herkes pi haliyle bırakıyor.

.

Bu kadarlık yeter.

Sıradaki videoda çemberin alanını öğreneceğiz.