원: 반지름, 지름과 원주

원에서의 반지름과 지름, 원주 간의 관계를 이해할 수 있습니다

원은 틀림없이 우리 우주에서 가장 기본적인 모양입니다

행성들의 궤도 모양을 봐도,

바퀴들을 봐도,

또 분자단계 같은걸 봐도 말이죠

원은 그냥 계속해서 보이고

다시 보이고 보입니다

그래서 우리에게 원의 몇가지
기본적 특성을 이해하는 것은

아마도 가치 있는 일일 것입니다

그래서 당신은 원을 보려면 달을 쳐다보면 되지만,

사람들이 처음 원을 알아내었을 때 먼저,

원의 성질은 무엇인가?

라고 의문을 가졌겠지요

그래서 그들이 처음으로 대답한 것은,

'원은 중심의 한 점에서부터
같은 거리에 있는 모든 점들이 모인

집합이라는 사실이다' 이었을 것입니다

모든 가장자리에 있는 이 점들은

저기 있는 중심에서부터
모두 같은 거리에 있습니다

그 뒤에 따라올 첫번째 질문은

모든 점들과 그 중심 간의 거리가 무엇이냐?

라는 것이겠죠

우리는 그걸 원의 반지름이라고 합니다

중심에서 가장자리까지의 거리죠

만약 저 반지름이 3cm라면,

이 반지름도 3cm가 될 것입니다.

그리고 이 반지름도 3cm가 될 것이구요.

이건 절대 변하지 않습니다.

원의 정의는 중심점에서부터
같은 거리에 있는 점들이 모인 집합이기 때문입니다.

그리고 바로 그 거리가 반지름입니다.

그리고 그 다음으로 가장 흥미로운 것은,

사람들이 원이 얼마나 뚱뚱한지 물어볼 것이라는 겁니다.

두 점 사이에 거리가 제일 먼 지점에서의
넓이는 얼마나 넓을까?

아니면 그냥 가장 넓은 거리로 원을 자르고 싶다면,

또는 그 제일 먼 지점을 따라 자르면
그 거리는 얼마나 될까?

그리고 꼭 거기가 아니여도, 그냥 저기 있는

가장 넓은 점들의 간격을 쉽게 자를 수 있습니다

하지만 이런 곳은 자르지 않겠죠

왜냐하면 가장 긴 거리가 아니니까요

가장 넓은 간격으로 자를 수 있는 곳은
많고도 많습니다.

우리는 방금 반지름을 알아보았고

가장 넓은 간격은 중심을 지나간다는 걸 알게되었습니다.

그러므로 그 간격은 두개의 반지름이겠지요

저기에 한개의 반지름을 가졌고

이쪽에 또 하나의 반지름이 있습니다

우리는 원에서 이을 수 있는 가장 긴 거리를

지름이라고 부릅니다

그러므로 저건 원의 지름이 되겠네요

원의 지름과 반지름의 관계는 아주 쉽습니다.

지름은 반지름의 2배이니까요
(지름) = 2 x (반지름)

이제, 그 다음으로 여러분이 궁금할 것 중

가장 흥미로운 것은 원의 둘레가 얼마인지 일겁니다

그래서 만약 여러분이 길이를 알아내기 위해

줄자로 저렇게 원 주위를 감았다면, 그 길이는 얼마일까요?

우리는 그 길이를 '원의 원주'라고 부릅니다

지금, 우리는 지름과 반지름 사이의 관계를 알아보았지만

원주가 어떻게 지름과 관계가 있는지는 잘 알지 못합니다

그리고 만약 지름에 그렇게까지 익숙치 않다면,

반지름으로 알아내는 것이 훨씬 쉽습니다

몇 천년 전, 사람들은 끊임없이 줄자로

원주와 반지름의 길이를 측정해 보았습니다

그리고 그들의 측정 과정과 결과가
그닥 좋지 않았다고 가정하죠

그들이 원의 원주를 재고서

그들이 3 정도 되어보인다고 했다고 칩시다

그리고 반지름 또는 지름을 재어보니

지름이 한 1 정도 되어보인다고 했습니다

그래서 그들은 아마

비율에 대해 걱정했을 것입니다

원주와 지름간의 비율을 말이죠

그래서 만약 어떤 사람이 이 원을 가지고 있다고 칩시다

그들이 첫번째로 안 좋은 줄자로

원 둘레를 재고서는,

'둘레 재보니까

약 3미터 정도 되는 것 같은데?' 라고했다고 칩시다

그리고 제가 원의 지름을 쟀을 때

그게 거의 1이었다구요

아마 원주가 지름의

3배일 수도 있겠어요

그러면 아마, 원주는 항상

지름의 3배일 수도요

그 수치는 이 원만 말한거였지만

그들이 여기 다른 원도 쟀다고 합시다

이것처럼요 ㅡ 더 작게 그렸습니다

이 원에서는 그들이 둘레를 쟀고

원주가 약 6센티미터라는 걸 밝혀냈다고 하자구요

그다음에 지름이 거의 2센티미터라는걸

밝혔습니다

그리고 다시 한번, 원주가 지름의

약 3배였습니다

이건 꽤나 깔끔한 원의 성질이군요

아마 원주와 지름의 비율이 어느 원에서나

같도록 고정되어 있을 수도 있겠어요

그래서 그들은 이걸 좀 더 연구했습니다

그래서 그들은 좀 더 나은 수치를 찾아냈습니다

그들이 더 좋은 수치를 찾아냈을때, 그들은,

내 지름이 확실히 1이라고 말했죠

그들은 내 지름이 확실히 1이라고 했지만,

제가 제 원주를 조금 쟀을 때,

저는 그 수치가 3.1에 가깝다는 걸 깨달았습니다

그리고 이쪽에도 같은 것이라고요

그들은 이 비율이 3.1에 좀 더 가깝다는 걸 알았습니다

그들은 계속해서 더 좋게 수치를 알아내고자 했고

그 다음에 그들은 그들이 이 숫자를 얻고 있고,

그들은 점점 더 잘 재고 있다는 걸 알았습니다

결국 그들은 3.14159라는 숫자를 얻었습니다

그리고 그들은 계속해서 수를 더해나가기 시작했지만

결국 그것은 전혀 순환하지 않았습니다

그것은 계속해서 나타나는

이상하면서도 매력적인 형이상학적인 숫자였죠

우리 세계에 있어 이 수는 매우 기초적이었기에,

우리 세계에 있어 원들은 매우 기초적이었기에,

그리고 모든 원들에 있어 나타났기 때문이었습니다

원주와 지름의 비율은

이러한 마법같은 숫자였고, 이름이 붙여졌습니다

그들은 이 숫자를 파이라고 불렀습니다

아니면 π라고 표기할 수도 있지요

ㅠ 는 우주에서 가장 매혹적인

이 숫자를 나타냅니다

그것은 처음에는 원주와 지름의 비율로 나타났지만

수학 여행을 하면서 여러분이 알게 되겠지만,

파이는 어디에서나 나타납니다

그건 우주에 관한 가장 기본적인 것들 중 하나인데

몇가지 질서가 그것에 있다고 생각하게 만듭니다

하지만 어쨋든간에, 어떻게 우리가 이걸

기본적인 수학에서 사용할 수 있을까요?

제가 말해보자면,

원주와 지름의 비율이라 할때

ㅡ여기서 비율은 원주를 지름으로 나눈 걸 얘기합니다 ㅡ

그 수는 파이가 됩니다

파이는 그냥 이 숫자입니다

저는 3.14159 뒤에도 쭉 이어서 쓸 수 있습니다

하지만 그건 공간 낭비인데다가

다루기가 힘들기 때문에,

사람들은 그냥 이 그리스어로 표기합니다

자, 그럼 우리가 이걸 어떻게 관계지을 수 있을까요?

여기에서 양변을 지름으로 곱하면

우리는 원주가

지름 곱하기 파이라는 걸 알 수 있습니다

아니면 지름이 반지름의 두 배이기 때문에,

원주가 파이 곱하기 2 곱하기

반지름이라고 말할 수도 있습니다

아니면 여러분이 가장 많이 보게 될 형식은

지름이 2πr과 같다는 것입니다

그러면 우리가 이걸 문제에 적용할 수 있을지 봅시다

그럼 저에게 원이 있고,

원의 반지름이 3이라고 말했습니다

그럼 반지름은 3입니다

아마 3미터일 수도 있겠죠, 단위를 붙이겠습니다

이 원의 원주는 몇입니까?

원주는 2πr과 같기 때문에,

2π 곱하기 반지름인 3과 같을 것입니다

이것은 6미터 곱하기 π,

내지는 6π미터가 됩니다

6π미터

이제 저는 이걸 곱할 수 있습니다

π는 그저 하나의 수에 불과하다는 걸 기억하세요

π는 3.14159에서 계속 이어집니다

그래서 만약 제가 6를 곱한다면,

아마 18.xxxxxxx가 나올 것입니다

만약 계산기가 있어 계산하고 싶을 수도 있지만,

간단함을 위해서 사람들은 그냥 숫자를

π라고 표기합니다

지금 저는 6 곱하기 3.14159가 무엇인지 모르지만

19와 가까울지 18과 가까울지도 모르지만

아마 18.xxxxxxx

일 것입니다

제 앞에는 지금 계산기가 없습니다

하지만 그 숫자를 적는 것 대신에

여러분은 그냥 6π라고 쓰면 됩니다

사실, 저는 그게 19까지는

안 갈거라고 생각합니다

다른 문제를 하나 더 내보도록 하죠

원의 지름은 무엇입니까?

만약 반지름이 3이라면 지름은 그것의 2배입니다

그러므로 그건 3곱하기2, 내지는 3더하기3이므로,

6미터가 될 것입니다

그러느로 원주는 6π미터, 지름은 6미터,

반지름은 3미터가 됩니다

자 이제 다른 방법으로 가보죠

제게 다른 원이 있다고 합시다

그리고 이 원주는 10미터입니다

그게 이 원의 원주입니다

만약 줄자로 원의 둘레를 쟀는데

어떤 사람이 여러분에게 지름이 무엇이냐고 묻는다면?

우리는 지름 곱하기 π, π 곱하기 지름이

원주라는 걸 알고 있습니다

그건 10미터라는 것두요

그래서 이 문제를 풀기 위해

이 식의 양변을 π로 나누어보죠

지름은 π분의 10미터거나

π미터분의 10일 것입니다

그리고 이건 그냥 숫자에 불과합니다

만약 계산기가 있다면, 10을 3.14159로

나눌 수 있고, 3.xxxxxx미터를

얻을 것입니다

제 머릿속에서는 암산으로 도저히 할 수 없습니다

하지만 이건 그냥 숫자입니다

하지만 간단함을 위해 우리는 그냥 이대로 놔둡니다

자, 그럼 반지름은 무엇일까요?

반지름은 지름의 1/2 입니다

그리고 이 전체 길이는 10 나누기 π미터이구요

만약 반으로 나누면, 반지름을 얻고 싶다면,

우리는 그냥 1/2를 곱하면 됩니다

그러면 1/2곱하기 10나누기 π를 해야 하는데

이것은 1/2곱하기 10과 같거나,

분자와 분모를 2로 나누어 줄 수 있습니다

5를 저기서 얻었으므로

반지름은 5 나누기 π가 될 것입니다

이것에 관해서는 이상할 것이 없습니다

저는 사람들을 가장 헷갈리게하는 것이

π가 그저 수라는 걸 깨닫는 것이라고 생각합니다

π는 그냥 3.14159이고 끊임없이 이어집니다

π에 관해 몇천개의 책이 있지만,

여러분은 이 숫자에 관해 책을 쓸 수 있습니다

하지만 그건 그냥 수입니다

매우 특별한 숫자이고, 만약 여러분이

아직까지 써왔던 수들처럼 쓴다면,

곱해낼 수 있습니다

하지만 거의 대부분의 사람들은

π로 놔두는 것이 좋다는 걸 깨닫게 됩니다

자, 여기서 끝내도록 하죠

다음 영상에서는 원의 넓이를 알아내는 방법을 배울 겁니다