-
Ktoś podbiega do was i krzyczy:
-
„2943! Szybko, czy to jest
podzielne przez 9?
-
To kwestia życia i śmierci!”
-
Możecie odpowiedzieć:
„Nie ma sprawy.”
-
„Aby szybko to ustalić,
wystarczy dodać cyfry
-
i sprawdzić, czy ich suma
jest wielokrotnością…
-
czy jest wielokrotnością 9,
a więc czy jest podzielna przez 9.”
-
Zróbmy to:
2 + 9 + 4 + 3
-
2 plus 9 to 11,
11 plus 4 to 15,
-
15 plus 3 to 18, zaś 18 z pewnością
jest podzielne przez 9,
-
więc i ta liczba jest podzielna przez 9.
-
Jeśli nie jesteście pewni,
czy 18 dzieli się przez 9,
-
zróbcie to samo raz jeszcze.
-
1 plus 8 to 9,
-
a 9 bez żadnych wątpliwości
jest podzielne przez 9.
-
I dzięki wam ten ktoś
może pójść ratować własne
-
lub czyjeś życie z tą informacją.
-
Możecie jednak pomyśleć: „To fajne
i przydatne, ale dlaczego działa?”
-
„Czy działa też dla liczb innych niż 9?”
-
„To chyba nie działa
dla 5, 7, 11, ani dla 17.”
-
„Dlaczego więc działa dla 9?”
-
Otóż działa też dla 3,
ale o tym w innym odcinku.
-
Aby zrozumieć, dlaczego,
przepiszmy 2943.
-
Cyfra 2 w liczbie 2943
jest cyfrą tysięcy,
-
możemy więc ją zapisać jako 2 razy…
-
2 razy tysiąc.
-
9 to cyfra setek,
możemy ją więc zapisać jako
-
9 razy sto.
-
4 jest cyfrą dziesiątek,
oznacza więc to samo, co
-
4 razy dziesięć.
-
I mamy 3 jako cyfrę jedności,
którą można zapisać jako 3 razy 1
-
czyli 3.
-
To dosłownie:
2 tysiące 9-set 4-dzieści 3.
-
2 tysiące 9-set 4-dzieści 3.
-
Teraz zapiszmy ten tysiąc,
to sto i to dziesięć
-
jako 1 plus coś podzielnego przez 9.
-
Tysiąc można zapisać jako 1 + 999.
-
1 + 999.
-
Sto można zapisać jako 1 + 99.
-
1 + 99.
-
Dziesięć można zapisać jako 1 + 9.
-
Zatem 2 · 1000 to jest to samo,
co 2 · (1 + 999).
-
9 · 100 to jest to samo,
co 9 · (1 + 99).
-
4 · 10 to jest to samo, co 4 · (1 + 9).
-
I na końcu dodaję 3.
-
Teraz rozbijmy nawiasy.
-
Można uznać, że to wyrażenie
jest równe 2 · 1, czyli 2,
-
dodać 2 · 999.
-
To wyrażenie jest równe 9 · 1…
-
Stosuję zasadę rozdzielności.
-
Rozdzieliłem to 2 na składniki
sumy w pierwszym nawiasie.
-
Teraz to samo z drugim nawiasem.
-
Piszę: 9, bo 9 · 1…
-
dodać 9 · 99.
-
Dodać 9 · 99.
-
Teraz trzeci nawias.
Zapomniałem wstawić plusa.
-
Rozdzielam 4:
4 · 1, czyli 4…
-
oraz 4 · 9, czyli piszę: 4 · 9.
-
I na końcu mamy dodać 3,
piszę: + 3.
-
Teraz pogrupuję te składniki.
-
Najpierw wszystkie
pomnożone przez dziewiątki.
-
Zaznaczę je na pomarańczowo.
-
To wyrażenie…
-
to wyrażenie…
-
i to wyrażenie tutaj.
-
Mamy zatem 2 · 999,
wziąłem je stąd…
-
dodać 9 · 99…
-
dodać 4 · 9…
-
To są te trzy wyrażenia.
-
…i dalej mamy: dodać 2…
-
dodać 9…
-
dodać 4…
-
i dodać 3.
-
Ciekawe: to przecież
suma naszych cyfr!
-
To samo, co mamy tutaj.
-
Już pewnie widzicie, do czego zmierzam.
-
Czy te pomarańczowe wyrażenia
są podzielne przez 9?
-
Niewątpliwie tak.
-
999 dzieli się przez 9,
-
zatem także wielokrotność tej liczby.
-
To dzieli się przez 9.
-
To też dzieli się przez 9,
-
bo nawet gdyby 99
nie było pomnożone przez 9…
-
Każda wielokrotność 99
będzie podzielna przez 9,
-
bo 99 dzieli się przez 9.
-
To się dzieli, i tak samo jest z tym.
-
Zawsze mnożymy cyfry
przez wielokrotności 9.
-
Cała ta suma
będzie więc niewątpliwie
-
podzielna przez 9.
-
Aby to wszystko…
-
Pamiętajmy, ja tylko
rozpisałem tę liczbę w taki sposób.
-
Aby to wszystko
było podzielne przez 9…
-
Skoro ta część dzieli się przez 9,
-
to aby całość była podzielna przez 9,
ten ogon musi się dzielić przez 9.
-
Aby podzielne było to wszystko,
-
cały ten fragment
musi być podzielny… przez 9.
