YouTube

Got a YouTube account?

New: enable viewer-created translations and captions on your YouTube channel!

Polish subtitles

← The Why of the 9 Divisibility Rule

Why you can test divisibility by 9 by just adding the digits

Get Embed Code
18 Languages

Showing Revision 1 created 06/19/2013 by Lech Mankiewicz.

  1. Ktoś podbiega do was i krzyczy:
  2. „2943! Szybko, czy to jest
    podzielne przez 9?
  3. To kwestia życia i śmierci!”
  4. Możecie odpowiedzieć:
    „Nie ma sprawy.”
  5. „Aby szybko to ustalić,
    wystarczy dodać cyfry
  6. i sprawdzić, czy ich suma
    jest wielokrotnością…
  7. czy jest wielokrotnością 9,
    a więc czy jest podzielna przez 9.”
  8. Zróbmy to:
    2 + 9 + 4 + 3
  9. 2 plus 9 to 11,
    11 plus 4 to 15,
  10. 15 plus 3 to 18, zaś 18 z pewnością
    jest podzielne przez 9,
  11. więc i ta liczba jest podzielna przez 9.
  12. Jeśli nie jesteście pewni,
    czy 18 dzieli się przez 9,
  13. zróbcie to samo raz jeszcze.
  14. 1 plus 8 to 9,
  15. a 9 bez żadnych wątpliwości
    jest podzielne przez 9.
  16. I dzięki wam ten ktoś
    może pójść ratować własne
  17. lub czyjeś życie z tą informacją.
  18. Możecie jednak pomyśleć: „To fajne
    i przydatne, ale dlaczego działa?”
  19. „Czy działa też dla liczb innych niż 9?”
  20. „To chyba nie działa
    dla 5, 7, 11, ani dla 17.”
  21. „Dlaczego więc działa dla 9?”
  22. Otóż działa też dla 3,
    ale o tym w innym odcinku.
  23. Aby zrozumieć, dlaczego,
    przepiszmy 2943.
  24. Cyfra 2 w liczbie 2943
    jest cyfrą tysięcy,
  25. możemy więc ją zapisać jako 2 razy…
  26. 2 razy tysiąc.
  27. 9 to cyfra setek,
    możemy ją więc zapisać jako
  28. 9 razy sto.
  29. 4 jest cyfrą dziesiątek,
    oznacza więc to samo, co
  30. 4 razy dziesięć.
  31. I mamy 3 jako cyfrę jedności,
    którą można zapisać jako 3 razy 1
  32. czyli 3.
  33. To dosłownie:
    2 tysiące 9-set 4-dzieści 3.
  34. 2 tysiące 9-set 4-dzieści 3.
  35. Teraz zapiszmy ten tysiąc,
    to sto i to dziesięć
  36. jako 1 plus coś podzielnego przez 9.
  37. Tysiąc można zapisać jako 1 + 999.
  38. 1 + 999.
  39. Sto można zapisać jako 1 + 99.
  40. 1 + 99.
  41. Dziesięć można zapisać jako 1 + 9.
  42. Zatem 2 · 1000 to jest to samo,
    co 2 · (1 + 999).
  43. 9 · 100 to jest to samo,
    co 9 · (1 + 99).
  44. 4 · 10 to jest to samo, co 4 · (1 + 9).
  45. I na końcu dodaję 3.
  46. Teraz rozbijmy nawiasy.
  47. Można uznać, że to wyrażenie
    jest równe 2 · 1, czyli 2,
  48. dodać 2 · 999.
  49. To wyrażenie jest równe 9 · 1…
  50. Stosuję zasadę rozdzielności.
  51. Rozdzieliłem to 2 na składniki
    sumy w pierwszym nawiasie.
  52. Teraz to samo z drugim nawiasem.
  53. Piszę: 9, bo 9 · 1…
  54. dodać 9 · 99.
  55. Dodać 9 · 99.
  56. Teraz trzeci nawias.
    Zapomniałem wstawić plusa.
  57. Rozdzielam 4:
    4 · 1, czyli 4…
  58. oraz 4 · 9, czyli piszę: 4 · 9.
  59. I na końcu mamy dodać 3,
    piszę: + 3.
  60. Teraz pogrupuję te składniki.
  61. Najpierw wszystkie
    pomnożone przez dziewiątki.
  62. Zaznaczę je na pomarańczowo.
  63. To wyrażenie…
  64. to wyrażenie…
  65. i to wyrażenie tutaj.
  66. Mamy zatem 2 · 999,
    wziąłem je stąd…
  67. dodać 9 · 99…
  68. dodać 4 · 9…
  69. To są te trzy wyrażenia.
  70. …i dalej mamy: dodać 2…
  71. dodać 9…
  72. dodać 4…
  73. i dodać 3.
  74. Ciekawe: to przecież
    suma naszych cyfr!
  75. To samo, co mamy tutaj.
  76. Już pewnie widzicie, do czego zmierzam.
  77. Czy te pomarańczowe wyrażenia
    są podzielne przez 9?
  78. Niewątpliwie tak.
  79. 999 dzieli się przez 9,
  80. zatem także wielokrotność tej liczby.
  81. To dzieli się przez 9.
  82. To też dzieli się przez 9,
  83. bo nawet gdyby 99
    nie było pomnożone przez 9…
  84. Każda wielokrotność 99
    będzie podzielna przez 9,
  85. bo 99 dzieli się przez 9.
  86. To się dzieli, i tak samo jest z tym.
  87. Zawsze mnożymy cyfry
    przez wielokrotności 9.
  88. Cała ta suma
    będzie więc niewątpliwie
  89. podzielna przez 9.
  90. Aby to wszystko…
  91. Pamiętajmy, ja tylko
    rozpisałem tę liczbę w taki sposób.
  92. Aby to wszystko
    było podzielne przez 9…
  93. Skoro ta część dzieli się przez 9,
  94. to aby całość była podzielna przez 9,
    ten ogon musi się dzielić przez 9.
  95. Aby podzielne było to wszystko,
  96. cały ten fragment
    musi być podzielny… przez 9.