-
Na jaké intervaly můžeme omezit
funkci kosinus z (x minus pí čtvrtin),
-
abychom k této funkci mohli
vytvořit funkci inverzní?
-
Máme tu nakreslený graf
funkce kosinus (x minus pí čtvrtin),
-
abychom věděli,
jak vypadá.
-
Nejdříve si řekneme,
jaká musí být funkce,
-
ke které lze udělat
inverzní funkci.
-
Funkce je zobrazení z množiny prvků,
kterou nazýváme definiční obor...
-
...nějak mi dnes nechce fungovat
pero, tak snad to zvládnu i tak...
-
Toto je tedy náš
definiční obor.
-
A tady vedle nakreslím
obor hodnot.
-
Funkce zobrazuje prvky z definičního
oboru na prvky z oboru hodnot.
-
Takto funguje
funkce.
-
Inverzní funkce zobrazuje naopak
z oboru hodnot do definičního oboru.
-
Tedy tento směr označím
jako 'f' na minus 1.
-
To je tedy
směr funkce.
-
A toto je směr
inverzní funkce.
-
K funkci nemůžu
udělat inverzní,
-
pokud zaprvé není prostá, tedy když pro
dva prvky vrací stejnou funkční hodnotu.
-
Oba tyto prvky se zobrazují do
tohoto prvku z oboru hodnot.
-
Je to u obou stejný
směr, je to funkce.
-
V tomto případě je ale nemožné
vytvořit funkci, kterou se vrátíme zpět.
-
Když totiž zadám tento prvek do
funkce inverzní, kam mě to dovede?
-
Dostaneme se do tohoto prvku
definičního oboru, nebo tohoto?
-
Tedy z toho jsme si odvodili, že
potřebujeme zobrazení 1 prvku na 1 prvek.
-
Tedy, že každému prvku v definičním oboru
přísluší pouze 1 prvek z oboru hodnot.
-
Můžeme se na
to podívat i jinak.
-
Můžeme si do grafu nakreslit
vodorovnou přímku
-
a následně sledovat, zda-li se s grafem
protne jednou nebo vícekrát.
-
V našem případě se protne
vícekrát, pojďme si to ukázat.
-
Když tu nakreslím
vodorovnou přímku...
-
...čemu to ale
vlastně vadí?
-
To nám
totiž ukazuje...
-
...teď mě napadá, že bych to mohl udělat
ve výšce, se kterou se bude lépe počítat.
-
Takže ji
nakreslím zde.
-
Proč jsou průsečíky
s vodorovnou čárou problém?
-
Ukazují nám totiž prvky
definičního oboru,
-
které se zobrazují do stejného
prvku z oboru hodnot.
-
Konkrétně se
zobrazují do prvku 0,5.
-
Když si vezmu tuto x-ovou hodnotu a chci
zjistit funkční hodnotu, vyjde mi 0,5.
-
Funkční hodnota tohoto bodu je
také 0,5 a stejně tak i tady je to 0,5.
-
Pokud to
tak máme,
-
že se více prvků z definičního oboru
zobrazí do stejného prvku z oboru hodnot,
-
potom nelze sestrojit
funkci inverzní.
-
Z tohoto důvodu se pokusíme
omezit definiční obor tak,
-
aby se mi na tomto intervalu graf protínal
s vodorovnou přímkou jen jednou.
-
Pojďme se znovu podívat
na graf zadané funkce,
-
a zároveň na
nabízené možnosti.
-
První nám nabízí otevřený interval
od minus 5 pí lomeno 4...
-
...to je vlastně záporné pí a
k tomu ještě čtvrtina pí navrch.
-
Začíná nám tedy zde a pokračuje
dál až do minus pí čtvrtiny.
-
To je tento
definiční obor...
-
...vyznačím to tu
jinou barvou.
-
Je to tedy tento interval, přičemž
krajní body do něj nejsou zahrnuty.
-
Můžu si zde znovu
zakreslit vodorovnou přímku.
-
Zajímá mě jen
tento interval.
-
Hned vidím, že tu jsou dva prvky, které
se zobrazí do stejné funkční hodnoty.
-
Pokud bych měl sestrojit
inverzní funkci k tomuto,
-
jak by
vypadala?
-
Jaká by byla inverzní hodnota
k funkční hodnotě minus 0,6?
-
Byla by to tato hodnota,
nebo snad tato?
-
Nemůžeme určit, proto
první možnost škrtáme.
-
Dále tu máme interval
od minus pí do pí.
-
Vyznačím si to zas pomocí
barvy na mém grafu.
-
Začínám na minus
pí a končím na pí.
-
Začínám tady blízko té předchozí
hranice na minus pí a jdu až do pí.
-
V pí mi končí tento
umělý definiční obor.
-
Stejně jako minule, i na tomto intervalu
můžu načrtnout vodorovnou přímku.
-
A hned
vidím, že...
-
...vlastně bych mohl použít
i tu úplně původní modrou přímku.
-
Všimněte si, že máme hned několik prvků
definičního oboru zobrazujících se do 0,5.
-
K čemu bychom se tedy dostali
inverzí z funkční hodnoty 0,5?
-
To bohužel nedokážeme říct, jelikož
se dostáváme do více prvků.
-
Proto i druhou
možnost škrtáme.
-
Další je interval od
minus pí půl do pí půl.
-
Minus pí polovin je tady...
trochu mi už dochází barvy...
-
Tedy od minus pí
polovin do pí polovin.
-
Tady to
vypadá zajímavě.
-
Pokud si tu zakreslím vodorovnou čáru
tady, tady nebo tady, tak to vychází.
-
Pokud si jí ale zakreslím zde, zase
mi protne graf ve dvou bodech.
-
Zas mám dva prvky definičního oboru, které
se mi zobrazují do této funkční hodnoty.
-
Proto i třetí
možnost škrtám.
-
Už mi zbývá jen jedna možnost
a já doufám, že to bude ta správná.
-
Tou je otevřený interval od
pí polovin do 5 čtvrtin pí.
-
5 čtvrtin pí je jako pí
a ještě čtvrtina k tomu.
-
Vypadá to, že žádná vodorovná
čára neprotne graf dvakrát.
-
Ať už udělám vodorovnou čáru
kdekoliv na tomto intervalu...
-
...vyznačím to tu na celé délce
zadaného definičního oboru
-
a vždy graf protnu
pouze jednou.
-
Pro každou funkční hodnotu dokážu
určit původní prvek z definičního oboru.
-
Tedy poslední možnost prošla
naší zkouškou pomocí vodorovných čar.
-
Tuto tedy
zaškrtávám.