Obtížná úloha k procvičení výpočtu velikosti úhlů v trojúhelníku

Zajímavá úloha, kde se zjišťuje součet vnějších úhlů nepravidelného pětiúhelníku

Tohle vypadá jako zajímavá úloha.

Máme tenhle mnohoúhelník,
bude to pětiúhelník, má pět stran

je nepravidelný,

ne všechny strany se zdají být
stejně dlouhé a pokračují dál

a my máme tyhle konkrétní
vnější úhly toho pětiúhelníku

a otázkou pro nás je,
jaký je součet všech těch úhlů.

A vypadá to trochu záludně,

nemám žádné další informace,

nemáme ani žádné konkrétní úhly,

ani nic, čeho se můžeme chytit.

Takže co můžeme udělat…
pojďme o tom uvažovat postupně

jenom tak podle toho, co víme.

Každý vnější úhel je vedlejším
úhlem příslušného vnitřního úhlu.

Takže jestli je můžeme vyjádřit
jako funkci vnitřních úhlů,

možná můžeme přepsat tuhle
úlohu tak, že bude trochu víc řešitelná.

Takže pojďme vyznačit ty vnitřní úhly.

Tady jsme u úhlu 'e',

takže nazvěme tenhle vnitřní úhel 'f' ,
tenhle vnitřní úhel 'g',

tenhle vnitřní úhel 'h',
tenhle 'i' a tenhle 'j'.

Pak součet těchto vnějších úhlů…

'a' je teď to samé jako 180 minus 'g'.

Protože 'a' a 'g' jsou vedlejší úhly,
takže 'a' je 180 minus 'g'.

A pak tu máme plus 'b',

ale můžeme to přepsat s
použitím tohoto vnitřního úhlu.

Bude to 180 minus 'h',

protože opět tyto dva úhly jsou vedlejší.
Uděláme to jinou barvou.

Takže tohle bude 180 minus 'h'.

Stejně to můžeme udělat pro každý z úhlů…

'c' můžeme napsat jako 180 minus 'i',

takže plus 180 minus 'i'.

a 'd' můžeme napsat jako 180 minus 'j',

plus 180 minus 'j'.

A nakonec 'e'…
dochází mi barvy…

'e' můžeme napsat jako 180 minus 'f',
takže plus 180 minus 'f'.

A tak když sečteme všechna
čísla 180, která tu máme, máme jich pět,

bude to 5 krát 180,

což je 900, a pak máme

minus 'g' minus 'h' minus 'i'
minus 'j' minus 'f'.

Můžeme to také napsat jako minus…
zkusím to napsat stejnou barvou…

'g' plus 'h'

'g' plus 'h'…

Napíšu to stejnou barvou…

to není stejná barva…

'g' plus 'h' plus 'i' plus 'j' plus 'f'.

A důvodem, proč jsem tohle dělal
a proč je to teď zajímavé,

je to, že jsme to vyjádřili
pomocí součtu vnitřních úhlů.

Pak to bude 900 minus všechno tohle ostatní.

Takže 900 minus všechno ostatní,

což je součet všech těch vnitřních úhlů.

Součet všech vnitřních úhlů.

Takže to vypadá, že jsme udělali pokrok.

Tedy pokud dokážeme zjistit
ten součet vnitřních úhlů.

Abychom to dokázali,
ukážu vám malý trik.

Chceme rozdělit tenhle mnohoúhelník na tři
vzájemně se nepřekrývající trojúhleníky.

A to můžeme udělat z kterékoliv strany,

řekněme, že všechny budou
vycházet z téhle strany.

Takže jsem to rozdělil…

udělám to v neutrální barvě,
udělám to bílé…

takže tady je jeden trojúhleník,

a udělám další trojúhleník.

Takže je to tady, rozdělil jsem to na
tři nepřekrývající se trojúhelníky.

A důvod, proč jsem to udělal
a proč je to pro mě cenné,

je to, že my víme,
jaký je součet úhlů v trojúhelníku.

A abychom z toho vytěžili,
musíme vyjádřit tyhle úhly pomocí úhlů,

které můžeme zjistit na základě skutečnosti,

že součet úhlů trojúhelníku je 180.

Takže 'g' je vlastně už jedním úhlem
v tomhle trojúhleníku

'f' je tvořen dvěma úhly trojúhelníků,

uvědomte si, že 'f' je celý tenhle úhel.

Rozdělme si 'f' na další dva úhly

nebo bych měl říct na dvě části.

Napišme, že 'f' se rovná řekněme…

už jsme použili ABCDEFGHIJ,
nemáme tu ještě 'k'…

Takže řekněme,
že 'f' se rovná 'k' plus 'l'.

rovná se to součtu těchhle dvou částí,
těchhle dvou vedlejších úhlů.

'f' se rovná 'k' plus 'l',
takže takhle jsme to rozložili do úhlů

do částí, do úhlů těchhle dvou trojúhleníků.

A pak to takhle můžeme udělat také s 'j',

'j' je zase tenhle celý úhel,

takže můžeme říct, že 'j' je součtem,
řekněme 'm' plus 'n'.

'j' se rovná 'm' plus 'n'.

A pak konečně můžeme rozdělit 'h'.

'h' je tady nahoře, celý tenhle úhel.

Řekněme, že 'h' je stejné jako
'o' plus 'p' plus 'q'.

tohle je 'o', tohle 'p', tohle 'q'.

Opakuji, chtěl jsem rozdělit
tyhle vnitřní úhly,

pokud už nejsou úhlem těch trojúhelníku.

Chci je rozdělit na úhly, které
jsou součástí těchto trojúhelníků.

Takže máme
'h' se rovná 'o' plus 'p' plus 'q'.

A tohle nás zajímá,
protože teď můžeme napsat

součet těchto vnitřních úhlů
jako součet řady úhlů,

které tvoří tyhle trojúhelníky.

A pak použijeme fakt,
že v kterémkoli trojúhelníku

je součet jeho úhlů 180°.
Tak pojďme na to.

Takže tenhle výraz tady bude 'g',

'g' je tady tento úhel,
ničím jsme ho nenahradili,

takže to je 'g'…

Já to napíšu celé…

Takže máme 900 minus…
a místo 'g'…

Vlastně 'g' nenahrazuji,
takže mohu napsat 'g'…

Také můžu místo 'h' napsat,

že 'h' je 'o' plus 'p' plus 'q'.

A pak plus 'i'.

'i' je hned tamhle.

A poté plus 'j'.

Trochu jsem zkazil barvy, fialová bude 'i'

a 'j' je vyjádřeno hned tady,

takže 'j' se rovná 'm' plus 'n',

takže napíšeme 'm' plus 'n' namísto 'j'

a poté máme konečně naše 'f'.

'f', které jak víme se rovná 'k' plus 'l'.

'k' plus 'l'.

Takže opět jsem přepsal tuto část
z hlediska těchto dílčích úhlů.

A teď, se stane něco velice zajímavého,
protože teď víme, kolik ty součty budou,

protože víme,
že 'g' plus 'k' plus 'o' je 180 °.

Jsou to hodnoty úhlů pro první trojúhelník.

Takže, 'g' plus 'o' plus 'k' je 180 °.

Takže 'g'…
udělám to jinou barvou…

Pro tento trojúhleník

víme, že 'g' plus 'o' plus 'k' je 180°

Takže pokud tyto vyškrtneme,

můžeme místo nich napsat 180

a poté také víme…

rozhodně mi došly barvy…

víme, že 'p'…
pro tento prostřední trojúhelník…

víme, že 'p' plus 'l' plus 'm' je 180°.

'p' plus 'l' plus 'm' je 180°.

Takže je vyškrtnete a řeknete…

Víte, že součet se bude rovnat 180°.

A poté konečně,
tohle je cílová rovinka,

víme že 'q' plus 'n' plus 'i' je 180°

v posledním trojúhelníku.

'q' plus 'n' plus 'i' je 180°.

Tyto tři budou také 180°,

takže teď víme, že součet vnitřních úhlů
pro tento nepravidelný pětiúhelník,

což je pravda pro každý pětiúhelník,

je 180 plus 180 plus 180,
což je 540 stupňů

Takže celek má 540°.

A chceme-li dostat součet vnějších úhlů

tak to pouze odečteme z 900.

900 minus 540 je 360.

A jsme hotovi. Toto se rovná 360 stupňům.