An inscribed angle is half of a central angle that subtends the same arc

Showing that an inscribed angle is half of a central angle that subtends the same arc

Привет! В этом видео я хочу рассмотреть

доказательство некоторых важных геометрических формул.

Сегодня мы будем говорить о вписанных углах.

Вписанный угол – это угол,

вершина которого лежит на окружности.

Вот наш вписанный угол.

Я обозначу его буквой ψ. Я буду использовать «пси»

для обозначения вписанных углов в этом видео, договорились?

Ψ, вписанный угол, равен ровно половине

центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Я использую много сложных слов, но я надеюсь,

вы понимаете, о чем я говорю.

Итак, это ψ. Это вписанный угол,

вершина которого лежит на окружности.

Если вы нарисуете два луча, выходящие из этого угла,

или две хорды, образующие этот угол, получится,

что стороны этого угла пересекут круг с другой стороны.

Если вы посмотрите на часть окружности,

которая находится внутри этого угла,

это будет дуга, на которую опирается ψ.

Здесь много заумных слов, но мне кажется,

сама идея довольно простая.

Вот эта дуга.

Давайте я напишу это вот так:

это дуга, на которую опирается ψ, т.е. вписанный угол,

вершина которого лежит на окружности.

Теперь о центральном угле.

Центральный угол – это угол,

вершина которого находится в центре круга.

Скажем, вот эта точка –

я попытаюсь определить ее на глаз – центр круга.

Теперь давайте я нарисую центральный угол,

который опирается на ту же дугу.

Это будет угол, который опирается на ту же дугу. Вот он.

Давайте назовем этот угол «тета». Это угол ψ, а это угол θ.

В этом видео я хочу доказать,

что ψ всегда будет равняться половине θ.

Т.е. допустим, ψ равняется 25°, значит - мы сразу же

можем сказать, что θ равняется 50°.

Или, если я скажу, что θ равен 80°,

тогда сразу же мы можем сказать, что ψ равен 40°.

Давайте докажем это. Я это сотру.

Начнем с вами с особого случая.

Я сейчас нарисую вписанный угол,

но у него одна из хорд, которые образуют его,

будет диаметром круга.

Это будет нестандартный случай.

Здесь будет центр моего круга. Поставим точку.

Снова определю его на глаз.

Теперь я нарисую диаметр.

Вот так выглядит наш диаметр.

Теперь я должен обозначить вписанный угол.

Этот диаметр - одна сторона этого угла,

а другая сторона пусть выглядить вот так.

Давайте я назову этот угол ψ.

Это угол ψ, а этот отрезок – радиус.

Это радиус нашего круга.

Тогда вот этот отрезок тоже будет радиусом нашего круга.

Он идет от центра до окружности.

А окружность, как мы знаем, – это все точки,

удаленные от центра круга на расстояние радиуса.

Значит это тоже радиус.

Треугольник, образовавшийся здесь, –

это равнобедренный треугольник.

Две его стороны равны.

А мы знаем, что, когда у треугольника две стороны равны,

углы у его основания тоже равны.

Т.е. этот угол тоже будет равен ψ.

Возможно, вам не сразу это видно потому,

что этот треугольник наклонен.

Но я думаю, что все увидят,

если я нарисую его вот так.

Если бы я сказал, что это r, и это r,

и что эти две стороны равны, а этот угол – ψ –

давайте я сейчас аккуратней его нарисую –

то вы бы сказали, что второй угол тоже ψ.

Углы у основания равнобедренного треугольника равны.

Значит если это ψ, то и это тоже ψ.

Теперь давайте посмотрим на центральный угол.

Это центральный угол, опирающийся на ту же дугу.

Давайте выделим дугу, на которую они оба опираются.

Это мой центральный угол θ.

Если это угол θ, чему будет равен вот этот угол?

Этот угол смежен с θ, значит он равен 180-θ.

Если сложить эти два угла,

вы получите 180° или развернутый угол,

потому что они смежные.

Мы также знаем, что эти три угла

относятся к одному треугольнику,

значит они в сумме равны 180°.

Т.е мы можем написать: ψ+ψ+ 180-θ=180°.

Теперь мы можем вычесть 180 из обеих сторон

ψ+ψ - это 2ψ-θ=0.

Прибавьте θ с обеих сторон и получите 2ψ=θ.

Умножьте обе стороны на одну вторую

или разделите на 2 и получится, что угол ψ=½θ.

Т.е. мы доказали то, что хотели,

для этого особого случая, где один из лучей

(или прямые, или лучи – как хотите) -

один из лучей, составляющих вписанный угол, является диаметром.

Диаметр составляет часть этого луча.

Это особый случай, где одна сторона является диаметром.

Теперь мы можем это обобщить.

Мы знаем, что, если ψ=50, то θ=100.

Точно так же, чему бы ни равнялся угол θ,

ψ будет равняться его половине, и чему бы ни был равен угол ψ,

θ будет в два раза больше.

Это равенство справедливо во всех случаях.

Давайте я это сотру сейчас.

Еще раз обобщим.

Результат, который мы получили ранее,

применим ко всем вписанным углам.

Допустим, у нас есть такой вписанный угол.

В этом случае центр находится, так сказать, внутри угла.

Это мой вписанный угол, и я хочу найти отношение

между этим вписанным углом и центральным углом,

опирающимся на ту же дугу.

Вот мой центральный угол, опирающийся на ту же дугу.

Вы, возможно, скажете: «Но как же быть?

Ни одна из хорд, образующих этот угол, не лежит на диаметре?»

Да, но мы можем нарисовать диаметр.

Если центр находится между этими двумя хордами,

мы можем нарисовать диаметр вот таким образом.

Обозначим этот угол как ψ1, а этот угол как ψ2,

естественно ψ – это сумма этих двух углов.

А эти углы мы назовем θ1 и θ2.

Мы уже знаем, глядя на тот результат,

к которому мы пришли ранее,

что общая для этих углов сторона является диаметром.

Мы знаем, что ψ1 будет равняться половине θ1,

и мы знаем, что ψ2 будет равняться половине θ2.

Мы также знаем, что сумма ψ1 и ψ2 будет равна

сумме этих двух углов: ½θ1 плюс ½θ2.

Ψ1 плюс ψ2 – это наш изначальный вписанный угол ψ.

А это равно ½, умноженной на сумму θ1 и θ2.

Что такое θ1 плюс θ2?

Это просто θ, которую мы нарисовали вначале.

Теперь мы видим, что ψ равна половине θ.

Т.е. сейчас мы доказали это для более общего случая,

где центр нашего круга находится между двумя лучами,

образующими этот угол, доказали, что это справедливо.

Но мы все еще не имели дело с более сложной,

но при этом более распространенной задачей, где центр круга

не лежит между двумя хордами.

Давайте сейчас это нарисуем. Вот вершина.

Вернее, это центр, а сейчас я нарисую вершину. Я поменяю цвет.

Пусть это будет одна из хорд, составляющих угол,

а это будет вторая хорда, составляющая угол.

Как нам найти отношение -

давайте назовем этот угол ψ1 – отношение между

ψ1 и центральным углом, опирающимся на ту же дугу.

Где эта дуга? Вот эта дуга.

Значит центральный угол, опирающийся на ту же дугу,

будет выглядеть следующим образом.

Давайте назовем его θ1.

Здесь мы можем использовать то,

что только что выучили: ситуацию,

когда одна из сторон угла лежит на диаметре.

Давайте это построим.

Допустим, я нарисую здесь диаметр.

Результат, который мы хотим получить, -

это то, что этот угол равняется половине этого.

Но давайте это докажем.

Попытаюсь нарисовать диаметр поровнее.

Вот наш диаметр.

Давайте назовем этот угол ψ2.

Он опирается на ту же дугу.

Давайте я сейчас более темным цветом обведу.

Давайте назовем центральный угол на той же дуге θ2.

Мы знаем из первой части этого видео, что ψ2=½θ2.

Они оба опираются на одну дугу.

Вот диаметр. Он является одной из хорд,

образующих оба эти угла.

Значит ψ2=½θ2.

Это как раз то, что мы делали в последнем видео.

Это вписанный угол.

Одна из образующих его хорд лежит на диаметре.

Значит, этот угол будет равен половине центрального угла,

который опирается на ту же дугу.

Теперь давайте посмотрим на этот больший угол.

Вот этот большой угол равняется ψ1 плюс ψ2.

Этот угол равен сумме ψ1 и ψ2.

Опять же он опирается на вот эту дугу,

и диаметр будет одной из хорд,

образующих этот огромный угол.

Т.е. это будет половина центрального угла,

опирающегося на ту же дугу.

Мы просто используем то, что мы уже разбирали в этом видео. Ничего нового не находим.

Значит это равняется ½ этого огромного

центрального угла, θ1 плюс θ2.

Пока что мы использовали то,

что уже проходили в этом видео.

Мы уже знаем, то ψ2=½θ2.

Давайте подставим. Это равно этому.

Мы можем сказать, что ψ1 равен – извините – ψ1 плюс -

вместо ψ2 я напишу ½θ2 -

равняется ½θ1+½θ2.

Теперь мы можем вычесть ½θ2 из обеих сторон,

и получим наш результат.

Ψ1=½θ1. Вот и все. Вот наш ответ.

Мы доказали, что вписанный угол

всегда равен половине центрального угла,

опирающегося на ту же дугу, невзирая на то,

внутри ли угла лежит центр круга или снаружи,

и является ли одна из сторон угла диаметром.

Любой угол можно представить как сумму тех углов,

которые мы здесь строили.

Надеюсь, что это будет вам полезно.

И теперь на основании этого результата

мы можем построить другие интересные

геометрические доказательства.