An inscribed angle is half of a central angle that subtends the same arc

제가 이 강의에서 하고자 하는 것은
기하학적으로 굉장히 유용한

결과를 증명하는 것인데,
바로 원주각에 관한 내용입니다

원주각은 각의 꼭지점이 원주 위에

위치한 각을 말합니다

즉, 이런 각이 원주각입니다

이 각을 𝜓라고 두겠습니다
지금부터 이 강의에서 원주각은 𝜓를 이용해서

표시하겠습니다

이 𝜓는, 즉 원주각은 중심각의 크기의

정확히 2분의 1의 크기를 가집니다

이상한 말을 좀 쓰겠지만 여러분들은 다들

알아들을 거라고 생각합니다

그러니까 이것이 𝜓입니다

즉 원주각입니다

그리고 이 각의 꼭지점은 원주 위에 있습니다

그리고 이 각을 연장하는 두 개의 직선을 그린다면

다르게 말하면 이 각을 정의하는 두 직선을 그리면
반대쪽에서

원주와 만납니다

그리고 그 교점 사이에 있는 원주의 일부가 보인다면

그것은 𝜓에 대응하는

원의 호입니다

단어는 다들 복잡한 단어들이지만,
개념은 상당히 간단한

개념입니다

단지 이 부분이 𝜓에 대응하는 호이고

𝜓는 바로 이 원주각입니다
그리고 이 각의 꼭지점은

원주 위에 있습니다

또한, 중심각은 꼭지점이 원의 중심에

위치한 각입니다

그러니까 여기쯤이라고 해봅시다
-- 대충 눈짐작으로 정했습니다--

이제 저 지점이 원의 중심입니다

그럼 이제 아까 원주각과 같은 호에 대응하는
중심각을 그려 보겠습니다

이 각이 같은 호에 대한 중심각입니다

이런 식으로

이 각을 𝛳라고 해 봅시다

그러니까 이 각은 𝜓이고, 여기 이 각은 𝛳입니다

제가 이 강의에서 증명하고 싶은 것은
𝜓가 항상

𝛳의 2분의 1이 된다는 것입니다

즉 예를 들어 제가 여러분들에게
𝜓를 25°라고 한다면

여러분들은 𝛳가 반드시 50°가 되어야 한다는 사실을

바로 알 수 있을 것입니다

아니면 제가 𝛳가 80°라고 말한다고 해도

여러분들은 바로 𝜓가 40°라는 것을 알 것입니다

그럼 이것을 증명해 봅시다

이건 분명히 해두겠습니다

시작하기 좋은 지점이나, 제가 시작하려고 하는 곳은

특별한 경우입니다

제가 지금 원주각을 하나 그릴 것인데
그 중에서도 한 현이

원의 지름으로 정의되는 각을 그릴 것입니다

이것은 일반적인 경우가 아닙니다

아주 특별한 경우입니다

그러니까, 바로 이쯤이 원의 중심이 될 것이고

눈대중으로 찍고 있는 것입니다

여기가 원의 중심인 것 같군요

그리고 이제 지름을 그리겠습니다

이것이 이 원의 지름입니다

이제 원주각을 정의해 보겠습니다

지름이 한쪽 변이고

다른 변은 예를 들어 이렇게 생겼다고 합시다

이 각을 𝜓라고 하겠습니다

이 각이 𝜓이면, 여기 이 길이는 반지름입니다

이 원의 반지름이지요

그러면 이 부분의 길이도 또한 반지름이 될 것입니다

중심에서부터 원주에 이르는 거리이기 때문이죠

원주는 원의 중심에서부터의 거리가
반지름만큼 떨어져 있는

모든 점들의 집합으로 정의됩니다

따라서 이것도 반지름입니다

이제 이 삼각형은 이등변삼각형입니다

같은 길이를 가진 두 변으로 이루어져 있으니까요

저 두 변의 길이는 정확히 같습니다

그리고 우리는 두 변의 길이가 같으면

두 밑각 또한 같다는 사실을 알고 있습니다

그래서 이 각도 𝜓와 같습니다

삼각형이 이렇게 기울어져 있어서

알아채지 못할 수도 있습니다

하지만 저는 여러분들 대부분이 이런 삼각형을 볼 때

제가 이 변도 반지름이고, 저 변도 반지름이라고 말해서

이 두 변이 같다는 것을 알고,
이 각은 𝜓라는 것을 알면

이 각 또한 𝜓라는 것을 알 수 있을 것이라고 생각합니다

이등변삼각형의 두 밑각은 크기가 같습니다

그래서 이 각이 𝜓이면 저 각도 𝜓입니다

이제 중심각을 봅시다

이 각이 같은 호를 공유하는 중심각입니다

두 각이 공유하고 있는 호를 색칠하겠습니다

이것이 두 각이 공유하고 있는 호입니다

그러면 이 각이 중심각이 될 것이고,
𝛳라고 해 봅시다

이 각이 𝛳라면 이 각은 무엇일까요?

여기 있는 이 각 말입니다

이것은 𝛳의 보각입니다

즉 180°에서 𝛳를 뺀 값입니다

두 각을 더해서 180°가 된다면

혹은 두 각이 직선을 만든다면

그 두 각은 보각 관계에 있습니다

또한 우리는 이 세 각이

같은 삼각형 안에 위치한 것을 알 수 있습니다

그래서 이 각들의 합은 180°가 되어야 합니다

그럼 𝜓를 구할 수 있는 것이,
이 𝜓와 이 𝜓를 더하고

180°-𝛳인 이 각을 더하면

이 세 각의 합은 반드시 180°입니다

삼각형의 세 각이기 때문입니다

양 쪽의 180은 소거시킬 수 있습니다

그러면 𝜓+𝜓-𝛳 가 0이 됩니다

양변에 𝛳를 더합시다

2𝜓는 𝛳와 같다는 결과를 얻을 수 있습니다

양변에 2분의 1을 곱하거나 2로 나누어 보세요

그럼 𝜓는 𝛳의 2분의 1이라는 것을 알게 될 것입니다

여기까지 우리는 증명을 쉽게 하기 위해
원주각을 특수한 상황에서 설정하고

그 상황에 대해서 원주각의 성질을 증명했습니다

이 때 이 직선 중 하나가,
이 선을 직선으로 본다면,

원주각을 정의하는 이 직선 중 하나가

지름을 포함하도록 정의했습니다

지름이 이 직선의 일부인 것이죠

따라서 이 경우는 각의 한 변이 지름 위에 있는

특수한 상황입니다

그럼 일반화시킬 수 있겠네요

이제 우리는 이 각이 50°라면

이 각은 100°가 된다는 것은 압니다

𝜓가 무엇이든, 또는 𝛳가 무엇이든
𝜓는 𝛳의 2분의 1이 될 것이고,

뿐만 아니라 𝜓가 무엇이든 간에

𝛳는 𝜓의 2배일 것입니다

그리고 이제 이 성질은 언제나 적용할 수 있습니다

이 개념은 언제든지 적용할 수 있습니다

그리고 방금 얻은 결과를 적용해서
이제는 좀 더 일반화시킬 수도 있습니다

모든 원주각에 적용되지는 않는다고 해도 말입니다

이렇게 생긴 내접각이 있다고 합시다

이 상황에서는 원의 중심이 원주각의

안쪽에 위치해 있습니다

이것이 원주각입니다

그리고 저는 같은 호를 공유하는

이 원주각과 중심각 사이의 관계를

찾으려고 합니다

이 각이 같은 호를 가지는 중심각입니다

그런데, 이 각을 정의하는 꼭지점이나 현 중에는

지름을 포함하는 것이 없습니다

하지만 우리는 지름을 그릴 수는 있습니다

원의 중심이 두 현 사이에 있으면

지름을 그릴 수 있습니다

바로 이렇게 지름을 그릴 수 있습니다

만약 이렇게 지름을 그리고 나서

이 각을 𝜓₁, 이 각을 𝜓₂라고 정의하면

𝜓는 이 두 각을 더한 값과 같습니다

또 이 각을 𝛳₁이라고 하고, 이 각을 𝛳₂라고 합시다

그럼 아까의 결과를 통해 바로 알 수 있는 것이 있습니다

이제는 이 두 각 모두 한쪽 변이 지름이기 때문에

𝜓₁은 𝛳₁의 2분의 1이라는 것을

알 수 있습니다

그리고 𝜓₂는 𝛳₂의 2분의 1이라는 것도 알 수 있습니다

𝜓₂는 𝛳₂의 2분의 1입니다

따라서 𝜓는, 𝜓₁과 𝜓₂를 더한 값이므로

이 두 개의 합과 같을 것입니다

𝛳₁의 2분의 1과 𝛳₂의 2분의 1을 더한 값이죠

𝜓₁ 더하기 𝜓₂, 이것은 우리가 알고자 하는

처음 원주각인 𝜓와 같습니다

이게 𝜓이고

그리고 여기 이건 𝛳₁과 𝛳₂를 더한 값의

2분의 1과 같습니다

그럼 𝛳₁ 더하기 𝛳₂는 무엇인가요?

이것도 처음에 설정한 원래 𝛳값과

같을 것입니다

그러면 이제 𝜓가 𝛳의 2분의 1이라는 것을 알 수 있습니다

이제 우리는 원의 중심이 원주각을 정의하는

두 직선 사이에 있는 상황을 가정하여
좀 더 일반적인 경우에 대하여

증명을 마쳤습니다

아직 우리는 좀 더 어려운 경우나

더 일반적인 상황은 다루지 않았습니다
예를 들어 이것이 원의 중심이고

이 중심이 원주각의 두 현 사이에 위치하지 않는

상황을 생각해 보세요

이 상황을 그려보겠습니다

그럼 이것이 꼭지점이 될 것이고,
--색깔을 바꾸겠습니다--

이것은 각을 정의하는 현 중의 하나라고 합시다

이렇게 말이죠

그리고 이것이 각을 정의하는

다른 현이라고 합시다

그러면 어떻게 이들의 관계를 찾을 수 있을까요?

여기 있는 이 각을 𝜓₁이라고 부르기로 합시다

𝜓₁과 같은 호를 공유하는 중심각과의 관계는

어떻게 찾아야 할까요?

제가 같은 호라고 얘기하는 것은
여기 있는 이 호를 말하는 것입니다

그러면 같은 호를 가지는 중심각은

이렇게 생겼을 것입니다

이것을 𝛳₁이라고 합시다

우리가 할 수 있는 것은 방금 전에 배운
원주각의 한 현이

지름일 경우를 사용하는 것입니다

한 번 사용해 봅시다

여기에 지름을 그리겠습니다

증명할 결과는 이 각이 이 각의 2분의 1이라는 것입니다

증명해 봅시다

이렇게 지름을 그려 봅시다

이 각을 𝜓₂라고 부릅시다

그리고 이 각은 여기 있는 이 호에 대응하네요

좀더 어두운 색깔로 하겠습니다

이 각은 바로 이 호에 대응합니다

그리고서 이 호를 같이 가지는 중심각을

𝛳₂라고 부릅시다

이제 우리는 강의의 앞 부분에서 배웠듯이

𝜓₂가 𝛳₂의 2분의 1이라는 것을 압니다, 맞죠?

이 각들은 여기 있는 이 지름을 공유합니다

그리고 이 지름은 각을 형성하는 현 중에 하나입니다

따라서 𝜓₂는 𝛳₂의 2분의 1과 같습니다

이게 바로 저번 강의에서 한 내용입니다

이 각이 원주각이고

현 중의 하나가 지름 위에 있으니까

이 각, 즉 같은 호를 가지는 중심각의

2분의 1이 되는 것입니다

이제 더 큰각을 봅시다

여기 있는 이 각을 말하는 겁니다

𝜓₁ 더하기 𝜓₂

그렇죠, 이 큰 각은 𝜓₁ 더하기 𝜓₂입니다

다시 한 번, 이 각은 여기 있는 현 전체를 가지고

그리고 이 큰 각을 정의하는 현 중 하나가

지름을 포함합니다

그래서 이 각은 같은 호를 가지는 중심각의

2분의 1이 될 것입니다

우리는 우리가 전에 이미 증명한 내용을
그저 사용만 하고 있습니다

그러니까 이 각은 𝛳₁과 𝛳₂를 더한 것인 이 큰 중심각의

2분의 1과 같습니다

그럼 이제 이 강의에서 배웠던 모든 것들을

다 사용해 봅시다

우리는 이미 𝜓₂가 𝛳₂의 2분의 1과 같다는 것을 압니다

그럼 이걸 여기 대입해 보겠습니다

이것은 저것과 동일합니다

그러면 𝜓₁ 더하기 제가 𝜓₂라고 적은 것 대신에

𝛳₂의 2분의 1을 한 것이
𝛳₁의 2분의 1 더하기 𝛳₂의 2분의 1과 같습니다

양변에서 𝛳₂의 2분의 1을 소거할 수 있고

이제 결과를 얻었습니다

𝜓₁은 𝛳₁의 2분의 1과 같습니다

그럼 이제 끝났습니다

우리는 원주각이 항상 같은 호를 가지는

중심각의 2분의1이라는 관계를 증명했습니다

이것은 원의 중심이 각의 내부에 있든지 외부에 있든지,

각의 한 현이 지름 위에 위치하든지 아니든지

관계 없이 성립합니다

그래서 어떤 다른 각도 우리가 지금 한 상황들 중에

맞춰서 적용할 수 있을 것입니다

여러분들이 이 관계가 유용하다는 것을 알기 바랍니다

그리고 이제 이 결과를 이용해서 더 흥미로운

기하학적 증명을 할 수 있을 것입니다