-
I den her video skal vi bevise
-
en af de mere brugbare ting i geometri.
-
Det er, at en indskreven vinkel er en vinkel,
-
hvis vinkelspids er på en cirkel.
-
Det er vores indskrevne vinkel.
-
Vi kalder den psi.
-
Vi bruger psi for indskrevne vinkler i den her video.
-
Psi er præcis en halv af den centervinkel,
-
der ligger overfor den samme cirkelbue.
-
Vi har lige brugt en masse fine ord,
-
men man burde have hørt dem før.
-
Det her er psi.
-
Det er en indskrevet vinkel.
-
Dens vinkelspids er på cirklen.
-
Når vi tegner de 2 halvlinjer, der går ud fra vinklen -
-
det er de 2 korder, der definerer vinklen -
-
skærer de cirklen i den anden ende.
-
Hvis vi kigger på den del af cirklen,
-
der er indenfor,
-
er det den cirkelbue, der ligger lige overfor psi.
-
Det er nogle komplicerede ord,
-
men selve idéen er simpel.
-
Det her er cirkelbuen, der ligger lige overfor psi.
-
Psi er den indskrevne vinkel her.
-
Vinkelspidsen er på cirklen.
-
En centervinkel er en vinkel,
-
hvor vinkelspidsen er i cirklens centrum.
-
Det her ser ud til at være cirklens centrum.
-
Vi finder det på øjemål.
-
Lad os tegne en centervinkel, der ligger overfor den samme cirkelbue.
-
Det ligner en centervinkel.
-
Sådan.
-
Den kalder vi theta.
-
Den her vinkel er psi, og den her vinkel er theta.
-
I den her video skal vi bevise,
-
at psi altid er lig med det halve af theta.
-
Hvis psi for eksempel er lig med 25 grader,
-
ved vi med det samme,
-
at theta er lig med 50 grader.
-
Hvis theta for eksempel er 80 grader,
-
ved vi, at psi er 40 grader.
-
Lad os bevise det.
-
Vi fjerner lige det her.
-
Et godt sted at begynde
-
er med et særligt tilfælde.
-
Vi tegner en indskreven vinkel,
-
hvor en af korderne også er diameteren i cirklen.
-
Det her er altså ikke generelt,
-
men et særligt tilfælde.
-
Det her er centrum i cirklen.
-
Vi finder det på øjemål.
-
Cirka her.
-
Lad os tegne diameteren.
-
Den er her.
-
Lad os nu definere den indskrevne vinkel.
-
Diameteren her er den ene side.
-
Den anden side ser måske sådan her ud.
-
Vi kalder vinklen psi.
-
Hvis det her er psi,
-
er det her radius i vores cirkel.
-
Den her længde er radius i cirklen.
-
Cirklens omkreds er defineret af alle de punkter,
-
der er præcis en radius væk fra centrum.
-
Det her er også en radius.
-
Trekanten er en ligesidet trekant.
-
Den har 2 sider, der er lige lange.
-
De 2 sider er præcis lige lange.
-
Vi ved, at når der er 2 sider, der er ens,
-
er grundvinklerne også ens.
-
Den her er altså også lig med psi.
-
Det kan godt være, at det ikke er helt tydeligt,
-
fordi den er skæv.
-
Når vi kigger på sådan en trekant her,
-
og det her er r, og det her er r,
-
altså at de her 2 sider er ens, og det her er psi,
-
ved vi, at den her vinkel også er psi.
-
Grundvinkler en ens i en ligebenet trekant.
-
Det her er psi, og det her er psi.
-
Lad os nu kigge på centervinklen.
-
Det er centervinklen, der ligger overfor den samme cirkelbue.
-
Lad os markere cirkelbuen, de begge ligger overfor.
-
Det her er den pågældende cirkelbue.
-
Her er centervinklen theta.
-
Hvis det her er theta, hvad er den her vinkel så?
-
Den vinkel er supplementær til theta,
-
så den er 180 minus theta.
-
Når vi lægger de 2 vinkler sammen, giver de 180 grader.
-
De danner nærmest en linje.
-
De er supplementære.
-
Nu ved vi også,
-
at de her 3 vinkler er i den samme trekant.
-
Derfor giver de sammenlagt 180 grader.
-
Den her psi plus psi plus den her vinkel,
-
som er 180 minus theta.
-
De 3 vinkler giver sammenlagt 180 grader.
-
Det er de 3 vinkler i en trekant.
-
Nu kan vi trække 180 fra begge sider.
-
Psi plus psi er 2psi minus theta er lig med 0.
-
Vi lægger theta til begge sider.
-
Vi får, at 2 psi er lig med theta.
-
Vi ganger begge sider med 1/2 eller dividerer begge sider med 2.
-
Vi får, at psi er lig med en halv theta.
-
Vi har nu bevist, hvad vi ville bevise
-
i det her særlige tilfælde,
-
hvor en af de halvlinjer,
-
der definerer den indskrevne vinkel,
-
er langs diameteren.
-
Diameteren er en del af den halvlinje.
-
Det er altså et særligt tilfælde,
-
hvor den ene halvlinje er på diameteren.
-
Vi kan allerede generalisere vores viden.
-
Vi ved nu, at hvis den her er 50,
-
er den her 100 og omvendt.
-
Ligemeget hvad psi eller theta er,
-
er psi halvdelen af theta.
-
Theta er altid det dobbelte af psi.
-
Ved at bruge det resultat, vi er kommet frem til,
-
kan vi generalisere en smule.
-
Det gælder dog ikke for alle indskrevne vinkler.
-
Lad os tegne sådan en indskreven vinkel her.
-
I den her situation kan
-
vi betragte centrum som om, det er inde i vinklen.
-
Det her er den indskrevne vinkel.
-
Vi vil gerne finde et forhold
-
mellem den indskrevne vinkel og centervinklen,
-
der ligger lige overfor den samme cirkelbue.
-
Det her er centervinklen, der ligger overfor den samme cirkelbue.
-
Ingen af de her korder definerer den her vinkel.
-
Det gør de her diametre heller ikke.
-
Vi kan tegne en diameter.
-
Hvis centrum er indenfor de 2 korder,
-
kan vi tegne en diameter.
-
Sådan.
-
Når vi tegner diameteren sådan her,
-
kan vi definere den her vinkel som psi 1 og den her som psi 2.
-
Psi er summen af de 2 vinkler.
-
Vi kalder den her vinkel for theta 1 og den her for theta 2.
-
Ud fra de resultater, vi har fået,
-
ved vi,
-
at psi 1 er lig
-
med en halv theta 1.
-
Vi ved også, at psi 2 er lig med en halv theta 2.
-
Psi, som er psi 1 plus psi 2,
-
er lig med de her 2 ting.
-
En halv theta 1 plus en halv theta 2.
-
Psi 1 plus psi 2 er
-
lig med den første indskrevne vinkel, som er psi.
-
Det her er psi.
-
Det her er lig med
-
en halv gange theta 1 plus theta 2.
-
Hvad er theta 1 plus theta 2?
-
Det er vores originale theta,
-
som vi lagde ud med.
-
Nu ser vi, at psi er lig med en halv theta.
-
Nu har vi bevist det på en lidt mere generel måde,
-
hvor vores centrum er inden for de 2 halvlinjer,
-
der definerer vores vinkel.
-
Nu har stadig ikke kigget på en sværere situation
-
eller en mere generel situation,
-
hvor centrum i cirklen ikke er inden for
-
de 2 korder.
-
Lad os tegne sådan en situation.
-
Det her er vores vinkelspids.
-
Det her er en af korderne,
-
der definerer vinklen.
-
Det her er den anden korde,
-
så vinklen defineres sådan her.
-
Lad os kalde den her vinkel for psi 1.
-
Hvordan finder vi forholdet mellem psi 1 og den centervinkel,
-
der ligger lige overfor den samme cirkelbue?
-
Det er den her cirkelbue.
-
Den centervinkel, der ligger lige overfor den samme cirkelbue,
-
ser sådan her ud.
-
Den kalder vi theta 1.
-
Vi kan bruge det, vi lige har lært,
-
når den ene side i vores indskrevne vinkel er en diameter.
-
Lad os tegne en diameter her.
-
Vi skal stadig gerne komme frem til,
-
at den her er det halve af den her.
-
Diameteren er her.
-
Vi kalder den her vinkel for psi 2.
-
Den ligger over den her cirkelbue.
-
Den her.
-
Centervinklen, der ligger overfor den samme cirkelbue,
-
kalder vi theta 2.
-
Vi ved fra tidligere, at psi 2 er lig med
-
en halv theta 2.
-
De deler den her diameter.
-
Diameteren her er den ene af de 2 korder, der danner vinklen.
-
Psi 2 er lig med en halv theta 2.
-
Det er præcis det, vi gjorde i den sidste video.
-
Det her er en indskreven vinkel.
-
En af de definerende korder ligger på diameteren.
-
Den her er det halve af centervinklen,
-
der ligger overfor den samme cirkelbue.
-
Lad os nu kigge på den store vinkel.
-
Det er den her.
-
Psi 1 plus psi 2.
-
Den store vinkel er psi 1 plus psi 2.
-
Den her ligger overfor den samme cirkelbue.
-
Diameteren er den ene af de 2 korder,
-
der definerer den her kæmpe vinkel.
-
Den her er det halve af den centervinkel,
-
der ligger overfor den samme cirkelbue.
-
Vi bruger det, vi allerede har vist i videoen.
-
Den her er lig med det halve af den kæmpe centervinkel,
-
der er theta 1 plus theta 2.
-
Indtil videre har vi kun brugt de ting,
-
vi allerede har lært i den her video.
-
Vi ved allerede, at psi 2 er lig med en halv theta 2.
-
Lad os nu substituere.
-
Den her er lig med den her.
-
I stedet for psi 2 skriver vi en halv theta 2.
-
Psi 1 plus en halv theta 2 er lig med en halv theta 1 plus en halv theta 2.
-
Vi kan nu trække en halv theta 2 fra begge sider.
-
Her er vores resultat.
-
Psi 1 er lig med en halv theta 1.
-
Nu er vi færdige.
-
Vi har bevist,
-
at den indskrevne vinkel altid er halvt så stor som den centervinkel, der ligger overfor den samme bue.
-
Det er ligegyldigt, om centrum i cirklen er inden for vinklen,
-
uden for vinklen
-
eller om diameteren er den ene af vinkelkorderne.
-
Enhver anden vinkel kan altså konstrueres som en sum
-
af enhver af dem eller alle dem, vi lige har lavet.
-
Forhåbentlig var den nye viden brugbar,
-
og vi kan faktisk bygge videre på de her ting
-
for at lave nye geometribeviser.
