An inscribed angle is half of a central angle that subtends the same arc

Showing that an inscribed angle is half of a central angle that subtends the same arc

ما اود فعله في هذا العرض هو اثبات واحدة من اكثر

النتائج فائدة في الهندسة، وهي الزاوية المحيطية

وهي عبارة عن زاوية يقع رأسها على محيط

الدائرة

هذه هي الزاوية المحيطية

سأسميها psi --سأستخدم اسم psi للزاوية المحيطية

والزوايا في العرض

psi، او الزاوية المحيطية، تساوي بالضبط 1/2

مركز الزاوية التي تضم نفس القوس

لقد استخدمت العديد من الكلمات الجيدة، لكن اعتقد انكم

تدركون ما اقول

اذاً هذه psi

وهي زاوية محيطية

وتقع، يقع رأيها على محيط الدائرة

واذا رسمت الشعاعين اللذان يأتيان من هذه الزاوية

او الوترين اللذان بعرفان هذه الزاوية، فستقاطع

الدائرة من النهاية الاخرى

واذا نظرت الى الجزء من محيط الدائرة حيث تقع الدائرة

داخله، هذا هو القوس الذي

يضم بواسطة psi

انها جميعهما كلمات ممتازة، لكن اعتقد ان الفكرة

مباشرة تماماً

هذا عبارة عن القوس الذي يضم بواسطة psi، حيث ان psi هي

تلك الزاوية الموجودة هنا، ويقع الرأس

على محيط الدائرة

الآن، الزاوية المركزية حي الزاوية حيث يكون الرأس

واقعاً على مركز الدائرة

فانفترض ان هذه --انني احاول ان الحظها--

هنا يقع مركز الدائرة

دعوني ارسم زاوية مركزية تضم هذا القوس نفسه

انه يبدو كزاوية مركزية تضم نفس القوس

هكذا

دعونا نسميها ثيتا

هذه الزاوية هي psi، وهذه الزاوية هي ثيتا

وما سأقوم باثباته في هذا العرض هو ان psi دائماً

ما تساوي 1/2 ثيتا

فاذا اردت ان اقول لكم ان psi تساوي، لا اعلم

25 درجة، بالتالي ستعرفون بسرعة ان ثيتا

يجب ان تساوي 50 درجة

او اذا قلت لكم ان ثيتا قياسها 80 درجة، فسوف

تعلمون مباشرة ان قياس psi هو 40 درجة

دعونا نقوم باثبات هذا

اسمحوا لي ان امحو هذا

والمكان الجيد لنبدأ به، او المكان الذي

سأبدأ به، عبارة عن حالة خاصة

سوف ارسم زاوية محيطية، لكن واحداً من الاوتار

التي تعرفها سيكون قطر الدائرة

هذه لن تكون الحالة العامة، بل ستكون

حالة خاصة

دعوني ارى، هذا هو مركز الدائرة

احاول ان الحظه

المركز يبدو هكذا

دعوني ارسم قطراً

اذاً القطر يبدو هكذا

ثم دعوني اعرف الزاوية المحيطية

هذا القطر يعتبر واحد من الاضلاع

ثم الضلع الآخر ربما يبدو هكذا

دعوني اسمي هذه psi

اذا كانت psi، هذا الطول عبارة عن نصف القطر --هذا هو

نصف قطر الدائرة

ثم هذا الطول سيكون نصف قطر

الدائرة الذي ينتقل من مركز المحيط

المحيط معرف بجميع النقاط التي

بعدعا يساوي بعد نصف القطر عن المركز

اذاً هذا ايضاً نصف قطر

الآن، هذا المثلث متساوي الساقين

لديه ضلعين متساوين

ضلعين متساوين

نحن نعلم انه عندما يكون لدينا ضلعين متساوين

زوايا القاعدة فيهما تكون متساوية

اذاً هذه ايضاً مساوية لـ psi

وربما انك لن تدركها لأنها

مائلة هكذا

لكن اعتقد ان العديد منا عندما نرى مثلث يبدو

كهذا، اذا افترضنا ان هذا r وهذا r، حيث ان هذان

الضلعان متساويان، واذا كانت هذه psi

فستعرف ان هذه الزاوية هي ايضاً psi

زوايا القاعدة متساوية في المثلث متساوي الساقين

اذاً هذه psi، وتلك ايضاً psi

الآن، دعوين انظر الى الزاوية المركزية

هذه الزاوية المركزية والتي تضم نفس القوس

دعونا نظلل القوس اللذان تضمانه

هذا هو القوس اللضان تضمانه

هذه هي الزاوية المركزية، اي ثيتا

الآن اذا كانت هذه الزاوية ثيتا، فما ستكون هذه الزاوية؟

هذه الزاوية

حسناً، هذه الزاوية مكملة لثيتا

اي ان قياسها 180 - ثيتا

عندما تجمع هاتان الزاويتان ستحصل على 180 درجة

وستكونان خط

انهما مكملتان لبعضهما البعض

الآن نحن نعلم ايضاً ان هذه الزوايا الثلاث تقع

داخل المثلث نفسه

اذاً مجموعهما يجب ان يكون ايضاً 180 درجة

فنحصل على psi --psi هذه + psi تلك + psi هذه + هذه

الزاوية = 180 - ثيتا + 180 - ثيتا

هذه الزوايا الثلاث يجب ان يكون مجموعها 180 درجة

انهما زوايا المثلث الثلاث

الآن يمكننا ان نطرح 180 من كلا الطرفين

psi + psi = 2psi، - ثيتا = 0

نجمع ثيتا لكلا الطرفين

فنحصل على 2psi = ثيتا

نضرب كلا الطرفين بـ 1/2 او نقسم كلا الطرفين على 2

فنحصل على psi تساوي 1/2 ثيتا

اذاً لقد قمنا باثبات ما اردنا اثباته

للحالة الخاصة حيث ان الزاوية المحيطية معرفة، وحيث ان واحداً من

الاشعة، اذا اردنا ان نعتبر هذه الخطوط كأشعة، حيث ان واحداً من

الاشعة التي تعرف هذه الزاوية المحيطية تكون

على طول القطر

يشكل القطر جزء من ذاك الشعاع

اذاً هذه حالة خاصة حيث ان زاوية واحدة

تقع على القطر

وبالطبع يمكننا تعميم هذا

والآن حيث اننا نعلم انه اذا كانت هذه 50 فهذه

ستكون 100 درجة، اليس كذلك؟

ومهما كان قياس psi او مهما كان قياس ثيتا، psi ستكون 1/2

ذلك، او مهما كان قياس psi، فثيتا تكون

2 × ذلك

ويتم تطبيق هذا في اي وقت

يمكننا استخدام هذه النظرية في اي وقت --باستخدام تلك

النتيجة سنحصل على، يمكننا الآن ان نعممها قليلاً

رغم ان هذا لا يطبق على جميع الزوايا المحيطية

دعونا نرسم زاوية محيطية تبدو هكذا

اذاً هذه الحالة، المركز، يمكنك ان تعتبره

داخل الدائرة

هذه هي الزاوية المحيطية

واريد ان اجد علاقة بين هذه

الزاوية المحيطية والزاوية المركزية اليت تضم

نفس القوس

هذه هي الزاوية المركزية التي تضم نفس القوس

حسناً، ربما ستقول، ان لا شيئ من هذه النهايات او هذه

الاوتار يعرف الزاوية، ولا اي واحد منهم يعبر قطر

لكن ما يمكن فعله هو انه يمكن ان نرسم قطر

اذا كان المركز يقع خلال هذان الوتران

يمكننا ان نرسم قطر

يمكن ان نرسم قطر يبدو هكذا

اذا قمنا برسم قطر يبدو هكذا، اذا عرفنا هذه الزاوية

لتكون psi1، وهذه الزاوية psi2

بكل وضوح فإن psi تساوي مجموع هاتين الزاويتين

ونسمي هذه الزاوية ثيتا 1، وهذه ثيتا 2

سنعرف هذا مباشرة، باستخدام النتيجة التي

حصلت عليها، بما ان لدينا ضلع واحد من الزوايا بكلا الحالتين

وهو القطر الآن، نعلم ان psi1

= 1/2 ثيتا 1

ونعلم ان psi2 تساوي 1/2 ثيتا 2

psi2 تساوي 1/2 ثيتا 2

اذاً psi، اي psi1 + psi2

يسايو هاتان

1/2 ثيتا 1 + 1/2 ثيتا 2

psi1 + psi2 = الزاوية المحيطية الاولى

التي نريد التعامل معها

هذه psi

وهذه تساوي 1/2 ×

ثيتا 1 + ثيتا 2

ما مجموع ثيتا 1 + ثيتا 2؟

خذا يساوي ثيتا الاصلية التي

كنا نتعامل معها

والآن نرى ان psi تساوي 1/2 ثيتا

لقد قمنا الآن باثباتها بحالة اكثر عمومية

حيث يقع المركز داخل الشعاعين اللذان

يعرفان تلك الزاوية

الآن، لم نقم بعد بتعريف حالة اصعب بقليل او

حالة اكثر عمومية حيث اذا كان هذا مركز

الدائرة ولدي زاوية محيطية والمركز لا

يقع داخل الوتران

دعوني ارسم ذلك

هذا سيكون الرأس، وسأبدل الالوان

دعونا نفترض ان هذا واحداً من الاوتار التي تعرف

الزاوية، هكذا

ولنفترض ان هذا الوتر الآخر الذي يعرف

الزاوية هكذا

كيف يمكن ان نجد العلاقة بين، دعونا

نسمي، هذه الزاوية، دعونا نسميها psi1

كيف نجد العلاقة بين psi1 و الزاوية المركزية

التي تضم نفس القوس؟

عندما اتحدث عن نفس القوس هذا الموجود هنا

اذاً الزاوية المركزية التي تضم نفس القوس

ستبدو هكذا

دعونا نسميها ثيتا 1

ما يمكن فعله هو ان نستخدم ما تعلمناه عندما ضلع من

الزاوية المحيطية هو القطر

دعونا ننشئ ذلك

دعوني ارسم قطراً هنا

النتيجة التي نريدها يجب ان تكون 1/2

هذا، لكن دعونا نثبت ذلك

دعوني ارسم قطراً هكذا

دعوني اسمي هذه الزاوية، دعوني اسميها psi2

وهي تضم هذا القوس --دعوني ارسمه

بلون داكن

تضم هذا القوس

اذاً الزاوية المركزية التي تضم نفس القوس

دعوني اسميها ثيتا 2

الآن، نحن نعلم من الجزء الاول من العرض ان psi2

يساوي 1/2 ثيتا 2، صحيح؟

انهما يتشاركان --القطر يقع هنا

يعتبر القطر واحداً من الاوتار التي تشكل الزاوية

اذاً psi2 تساوي 1/2 ثيتا 2

هذا بالضبط ما كنا نفعله في العرض الاخير، صحيح؟

هذه زاوية محيطية

واحداً من الاوتار التي تعرف يقع على القطر

هذا يساوي 1/2 هذه الزاوية، اي الزاوية المركزية

التي تضم نفس الوتر

الآن، دعونا ننظر الى هذه الزاوية الاكبر

هذه الزاوية الاكبر

psi1 + psi2

صحيح، الزاوية الاكبر هي psi1 + psi2

مرة اخرى، انها تضم هذا القوس بأكمله، و

فيه القطر يبدو كواحداً من الاوتار التي تعرف

هذه الزاوية الضخمة

هذا يساوي 1/2 الزاوية المركزية التي

تضم نفس القوس

نحن نستخدم ما قمنا بتوضيحه في هذا العرض

اذاً هذه تساوي 1/2 هذه الزاوية الضخمة

لثيتا 1 + ثيتا 2

لقد استخدمنا كل شيئ قد تعلمناه

في بداية العرض

الآن، نحن بالفعل نعلم ان psi2 تساوي 1/2 ثيتا 2

دعوني افعل هذا التعويض

هذا يساوي ذلك

فيمكن ان نقول ان si1 + --بدلاً من si2 سأكتب

1/2 ثيتا 2 تساوي 1/2 ثيتا 1 + 1/2 ثيتا 2

يمكننا ان نطرح 1/2 ثيتا 2 من كلا الطرفين، و

نحصل على النتيجة

si1 تساوي 1/2 ثيتا 1

والآن انتهينا

لقد قمنا باثبات الحالة التي تكون فيها الزاوية المحيطية عبارة عن

1/2 الزاوية المركزية التي تضم نفس القوس

بغض النظر عن ما اذا كان مركز الدائرة يقع داخل

الزاوية، او خارج الزاوية، او اذا كان لدينا

قطر على ضلع واحد

واي زاوية اخرى يمكن ان تكون عبارة عن مجموع

اي واحدة او جميع ما قمنا بفعله

اذاً اتمنى انكم وجدتم هذا مفيداً والآن يمكننا بالفعل

الاعتماد على هذه النتيجة حتى نقوم بعمل المزيد من

االاثباتات الهندسية