Решаване на нехомогенни диференциални уравнения: Метод на неопределените коефициенти (част 4)
-
0:01 - 0:04Преди да приключим с метода
на неопределените коефициенти, -
0:04 - 0:08искам да ти покажа нещо интересно
и доста полезно. -
0:08 - 0:11Ако ми е дадено следното
нехомогенно -
0:11 - 0:15диференциално уравнение:
втората производна на у -
0:15 - 0:23минус 3 по първата производна,
минус 4у, равно на – -
0:23 - 0:29тук е интересната част –
равно на 3 по е на степен 2х -
0:29 - 0:42плюс 2 по синус от х,
плюс... -
0:42 - 0:44нека са абсолютно същите,
които решихме в предните примери, -
0:44 - 0:50плюс 4 по х на квадрат.
-
0:50 - 0:52Може това да ти се стори
-
0:52 - 0:53ужасно сложна задача.
-
0:53 - 0:57Тук имаме 3 вида функции,
макар и познати вече, -
0:57 - 0:59те ще водят до толкова много
неопределени коефициенти, -
0:59 - 1:01че ще стане трудно
за разплитане. -
1:01 - 1:04На този етап е нужно
да осъзнаеш нещо, -
1:04 - 1:05което ще опрости нещата.
-
1:05 - 1:09Вече знаем трите частни решения
на следните диференциални уравнения: -
1:09 - 1:14Знаем решението на...
втората производна -
1:14 - 1:17минус 3 по първата производна,
минус 4у, равно на 0. -
1:17 - 1:19Това е хомогенно
уравнение. -
1:19 - 1:22Знаем неговото решение:
-
1:22 - 1:29вече го изведохме няколко пъти,
то е С1 по е на степен 4х, -
1:29 - 1:30плюс С2 по
е на степен минус х. -
1:30 - 1:35С друг цвят ще напиша следващото,
решено вече, уравнение: -
1:35 - 1:40у секонд минус 3 по у прим,
минус 4 по у, равно -
1:40 - 1:44само на първия израз:
3 по Е на степен 2Х. -
1:44 - 1:51Видяхме, че частното решение
на това уравнение у с индекс р -
1:51 - 1:54е у равно на
минус 1/2 по е на степен 2х. -
1:54 - 1:57Намерихме го по метода
на неопределените коефициенти -
1:57 - 1:59два-три урока по-рано.
-
1:59 - 2:03Сега ще запиша тази част
още два пъти. -
2:03 - 2:07Знаем решението също
и на това уравнение: -
2:07 - 2:09частното му решение
намерихме в един -
2:09 - 2:11от предишните уроци,
във втора част. -
2:11 - 2:14Тогава установихме, че
частното решение в този случай, -
2:14 - 2:26а намирането беше доста заплетено,
то е минус 5/17 по х, плюс 3/17... -
2:26 - 2:27Моя грешка, изпуснах нещо.
-
2:27 - 2:35Частното решение е
минус 5/17 по синус от х -
2:35 - 2:39плюс 3/17 по косинус от х.
-
2:39 - 2:44И остана последната част,
тази с полинома. -
2:44 - 2:49Знаем какво беше решението,
когато отдясно имахме само това. -
2:49 - 2:53Ето това е уравнението,
-
2:53 - 2:56Разбрахме, и това стана
в предишното видео, -
2:56 - 2:58че частното решение
-
2:58 - 3:08в този случай е: –х на квадрат,
плюс 3/2 по х, –13/8. -
3:08 - 3:12И така, знаем частните решения,
когато отдясно имаме -
3:12 - 3:12само нула;
-
3:12 - 3:16експоненциалния израз
3 по е на степен 2х; -
3:16 - 3:19тригонометричния
2 по синус от х; -
3:19 - 3:23и когато отдясно е полиномът
4 х на квадрат. -
3:23 - 3:25Най напред да видим,
че за частното решение -
3:25 - 3:29на нашето нехомогенно уравнение
можем да вземем сбора -
3:29 - 3:30от трите частни решения.
-
3:30 - 3:32Това е логично, нали?
-
3:32 - 3:34Защото, когато заместиш
лявата страна -
3:34 - 3:36с едно от тези
частни решения, -
3:36 - 3:37тя ще е равна на един
от изразите отдясно. -
3:37 - 3:40Ако сложиш отляво
частното решение в зелено, -
3:40 - 3:41то ще е равно на този член,
2 по синус х. -
3:41 - 3:44И накрая, за това
частно решение -
3:44 - 3:47ще получиш
4 по х на квадрат. -
3:47 - 3:50Можем накрая да добавим
и решението на хомогенното уравнение. -
3:50 - 3:53Като го сложим от тази страна,
отдясно ще получим 0. -
3:53 - 3:55То няма да промени стойността
отдясно. -
3:55 - 3:58И така ще получим възможно
най-общото решение, -
3:58 - 4:00тъй като то съдържа
тези две константи, -
4:00 - 4:02които да намерим
според началните условия. -
4:02 - 4:10И така, решението на това наглед сложно
диференциално уравнение -
4:10 - 4:14е просто сборът от тези
четири решения. -
4:14 - 4:17Ще разчистя малко място,
-
4:17 - 4:20за да може да се вижда
всичко едновременно. -
4:20 - 4:31Оставям само намерените
решения за справка. -
4:31 - 4:33Ще използвам
светлосин цвят. -
4:33 - 4:39Решението на хомогенното уравнение:
С1 по е на степен 4х, -
4:39 - 4:48плюс С2 по е на степен –х,
после добавям -1/2 по е на степен 2х, -
4:48 - 4:49ще продължа на нов ред
със зеленото, -
4:49 - 4:59минус 5/17 синус х
плюс 3/17 косинус х, -
4:59 - 5:08накрая минус х на квадрат,
плюс 3/2 по х, минус 13/8. -
5:08 - 5:09Това изглежда страшно.
-
5:09 - 5:11Вероятно така ти се е сторило
на пръв поглед. -
5:11 - 5:13Ако в началото ти бях казал,
че това е решението -
5:13 - 5:15и не ти беше известен методът
на неопределените коефициенти, -
5:15 - 5:17можеше да си помислиш,
че никога няма да успееш -
5:17 - 5:18да стигнеш до такова решение.
-
5:18 - 5:21Но важното е да осъзнаеш,
че просто трябва да намериш -
5:21 - 5:24частните решения
за всеки от тези членове -
5:24 - 5:25и да ги събереш.
-
5:25 - 5:27След това да добавиш
общото решение -
5:27 - 5:29на хомогенното уравнение,
това е, когато отдясно -
5:29 - 5:30има нула.
-
5:30 - 5:35Тогава ще имаш общото решение
на това доста заплашително изглеждащо -
5:35 - 5:43линейно нехомогенно
диференциално уравнение -
5:43 - 5:47от втори ред
с постоянни коефициенти. -
5:47 - 5:50Ще се видим в следващия урок,
където ще се запознаем -
5:50 - 5:53с още един метод за решаване
на нехомогенни уравнения.
- Title:
- Решаване на нехомогенни диференциални уравнения: Метод на неопределените коефициенти (част 4)
- Description:
-
И сега да обобщим всичко научено дотук за решаването на нехомогенни диференциални уравнения по метода на неопределените коефициенти!
Гледай следващия урок: https://www.khanacademy.org/math/differential-equations/laplace-transform/laplace-transform-tutorial/v/laplace-transform-1?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=DifferentialEquations
Пропусна предишния урок?
https://www.khanacademy.org/math/differential-equations/second-order-differential-equations/undetermined-coefficients/v/undetermined-coefficients-3?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=DifferentialEquationsКан Академия е организация с нестопанска цел и с мисията да предоставя свободно образователни материали на световно ниво за всеки и навсякъде. Предлагаме тестове, въпроси, видео уроци и статии върху голям набор от академични дисциплини, включително математика, биология, химия, физика, история, икономика, финанси, граматика, предучилищно образование и други. Ние предоставяме на учителите инструменти и данни, така че да могат да помогнат на учениците си да развият уменията, навиците и нагласите за успех в училище и извън него. Кан Академия е преведена на дузина езици и 100 милиона души по целия свят използват платформата на Кан Академия всяка година. За повече информация, посети bg.khanacademy.org, присъедини се към нас във Фейсбук, или ни следвай в Twitter на @khanacademy. И запомни, можеш да научиш всичко.
Безплатно. За всички. Завинаги.
#YouCanLearnAnythingАбонирай се за Кан Академия България: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademybulgarian
Абонирай се за Кан Академия: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy - Video Language:
- English
- Team:
- Khan Academy
- Duration:
- 05:55
Sevdalina Peeva edited Bulgarian subtitles for Undetermined Coefficients 4 | ||
Sevdalina Peeva edited Bulgarian subtitles for Undetermined Coefficients 4 | ||
Sevdalina Peeva edited Bulgarian subtitles for Undetermined Coefficients 4 | ||
Amara Bot edited Bulgarian subtitles for Undetermined Coefficients 4 |