Развиване на функция в геометричен ред

Степенните редове от вида а _k (x – a) _ (където k е константа) са геометрични редове с начален член k и частно (x-a). Тъй като знаем общия вид на сумата за геометричен ред, можем да представим такива степенни редове като краен израз. Създаден от Сал Кан.

Упражнявай се на този урок в Кан Академия сега: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-power-series/e/creating-power-series-from-geometric-series-using-algebra?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC

Гледай следващия урок: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-power-series/v/rep-function-with-geometric-series?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign = APCalculusBC

Пропусна предишния урок? https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-power-series/v/function-as-a-geometric-series?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC

Кан Академия е организация с нестопанска цел и с мисията да предоставя свободно образователни материали на световно ниво за всеки и навсякъде. Предлагаме тестове, въпроси, видео уроци и статии върху голям набор от академични дисциплини, включително математика, биология, химия, физика, история, икономика, финанси, граматика, предучилищно образование и други. Ние предоставяме на учителите инструменти и данни, така че да могат да помогнат на учениците си да развият уменията, навиците и нагласите за успех в училище и извън него. Кан Академия е преведена на дузина езици и 100 милиона души по целия свят използват платформата на Кан Академия всяка година. За повече информация, посети bg.khanacademy.org, присъедини се към нас във Фейсбук, или ни следвай в Twitter на @khanacademy. И запомни, можеш да научиш всичко.

Безплатно. За всички. Завинаги.
#YouCanLearnAnything

Абонирай се за канала на Кан Академия Математически анализ: https://www.youtube.com/channel/UC5A2DBjjUVNz8axD-90jdfQ?sub_confirmation=1
Абонирай се за Кан Академия България: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademybulgarian
Абонирай се за Кан Академия: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy

Дадена ни е тази функция,
дефинирана като безкраен ред.

В това видео ще се опитаме

да установим дали можем да
я изразим в по-традиционен вид.

Това, което може би ти хрумва,

е, че това е геометричен ред,

знаем как да намерим сумата
на безкрайна геометрична прогресия,

поне за стойностите на х,
за които тя реално е сходяща.

Първо да проверим дали
това е геометрична прогресия.

Основният признак за
геометрична прогресия е,

че когато отиваме от един член
към следващия след него,

умножаваме по частното.

Да видим.

За да отидем от 2 до –8х^2,

по колко трябва да умножим?

Трябва да умножим по –4х^2.

Значи умножаваме по –4х^2.

След това по същото ли
умножаваме,

за да получим 32х^4?

Да, определено.

–4х^2 по –8х^2

дава +32х^4.

Отново умножаваме по –4х^2,

и получаваме –128х^6.

Частното отново е –4х^2,

първият член е 2, така че
можем да преработим това.

Можем да представим f(х)
да е равно на сумата

за n от 0 до безкрайност...
да видим,

първият член е 2,
2 по (–4х^2)^n.

Това е сума на геометрична прогресия,
за която частното

е равно на –4х^2 на степен n.

Кога това ще бъде сходящо?

Знаем, че една безкрайна
геометрична прогресия

е сходяща, когато абсолютната
стойност на частното

е по-малка от 1.

Ще го запиша.

Сходяща е, когато абсолютната
стойност на частното,

на –4х^2 е по-малка от 1.

Това, по начина, по
който го записах сега,

това ще бъде
отрицателна стойност.

Абсолютната стойност на това
ще бъде просто 4х^2

Нали?

х на квадрат е неотрицателно,

така че 4х^2 е също
неотрицателно.

–4х^2 е неположително.

Ако вземем абсолютната
стойност на нещо неположително,

то е равно на абсолютната
стойност на същото със знак минус.

Значи това ще бъде по-малко от 1.

Абсолютната стойност на нещо,

което е стриктно
неотрицателно като това,

това ще бъде 4х^2...

тези две твърдения са
еквивалентни,

и това трябва да е
по-малко от 1.

Можем да разделим двете страни
на 4, получаваме х^2 е по-малко от 1/4.

Така можем да кажем, че
абсолютната стойност на х

трябва да е по-малко от 1/4,
или можем да кажем, че –1/4

трябва да е по-малко от х, което
трябва да е по-малко от +1/4.
(Сал допуска грешка, по-малко е от
корен квадратен от 1/4, т.е. от 1/2).

Изразено по този начин,
получаваме интервал на сходимост.

Това нещо е сходящо, когато
х принадлежи на този интервал.

Изразено по този начин,
всъщност ние даваме

радиуса на сходимост.

Ще бъде сходящо, когато х
е по-малко от радиуса на сходимост,

когато абсолютната стойност
на х е по-малка от радиуса на сходимост,

когато х е отдалечено от нула
с по-малко от 1/4.

За да стане малко по-ясно,

можеш да го преработиш като
разстоянието между х и 0,

когато... можеш да
го разглеждаш като

отдалечеността на х от нула...

когато тя е по-малко от 1/4,

това е сходящо.

Значи това е интервалът
на сходимост,

а това 1/4 можеш да разглеждаш
като радиус на сходимост.

Като определихме това,

определихме къде
това нещо е сходящо,

сега да определим стойността,
към която е сходящо.

Правили сме го няколко пъти.

Това нещо е равно на
първия член, 2, върху

1 минус частното.

Частното ни е –4х^2.

Това ще ни даде...

тук заслужаваме аплодисменти –
2 върху 1 + 4х^2.

Този израз ще е равен
на този,

когато х принадлежи
на интервала на сходимост.