Minsta Gemensamma Multipel (MGM)

U02_L3_T1_we6 Minsta Gemensamma Multipel (MGM)

Vilken är den minsta gemensamma multipeln, förkortat MGM, av 15, 6 och 10?

MGM är precis vad det står, det är den minsta gemensamma multipeln av de här talen.

Och jag vet att det förmodligen inte hjälpte dig mycket, men vi försöker att ta oss igenom det här problemet.

För att göra det så funderar vi på de olika multiplarna av 15, 6 och 10,

och försöker hitta den minsta multipeln -- den minsta multipeln de har gemensamt.

Vi skriver ned multiplarna av 15. Du har: 1 gånger 15 är 15, 2 gånger 15 är 30,

om du sedan lägger till 15 igen får du 45, lägger du till 15 igen får du 60, lägger du till 15 igen

får du 75, lägger du till 15 igen får du 90, lägger du till 15 igen får du 105,

och om ingen av dessa är gemensamma multipler med de andra talen här

så kan du behöva gå ännu längre, men jag stannar här för tillfället.

Det där är multiplerna av 15 upp till och med 105. Om vi vill kan vi såklart fortsätta. Nu skriver vi ned multiplarna av 6.

Vi skriver ned multiplarna av 6: 1 gånger 6 är 6, 2 gånger 6 är 12, 3 gånger 6 är 18, 4 gånger 6 är 24,

5 gånger 6 är 30, 6 gånger 6 är 36, 7 gånger 6 är 42, 8 gånger 6 är 48,

9 gånger 6 är 54, 10 gånger 6 är 60. 60 ser intressant ut, eftersom den är en gemensam multipel av både 15 och 60. Vi har dock två av dem här.

Vi har 30 och vi har 30, vi har 60 och 60. Så den minsta gemensamma multipeln...

...om vi bara brydde oss om den minsta gemensamma multipeln av 15 och 6,

skulle vi säga att den är 30. Vi skriver ned det som ett mellansteg: MGM av 15 och 6. Så den minsta gemensamma multipeln,

den minsta multipeln de har gemensamt ser vi här: 15 gånger 2 är 30 och 6 gånger 5 är 30.

Så det här är definitivt en gemensam multipel och det är den minsta av all deras gemensamma multiplar.

60 är också en gemensam multipel, men den är större. Det här är den minsta gemensamma multipeln. Så det här är 30.

Vi har inte tänkt på 10 ännu, så vi tar in 10. Jag tror du ser vart det här är på väg.

Vi skriver ned multiplarna av 10. De är 10, 20, 30, 40... vi har redan gått tillräckligt långt. Eftersom vi redan har kommit till 30,

och 30 är en gemensam multipel av 15 och 6 och det är den minsta gemensamma multipeln av alla tre.

Så det betyder alltså att den minsta gemensamma multipeln av 15, 6 och 10 är lika med 30.

Det här var ett sätt att hitta den minsta gemensamma multipeln. Vi skrev bokstavligen bara ned multiplarna av varje tal...

och kollade sedan vilken som var den minsta multipeln de hade gemensamt.

Ett annat sätt att göra det här, är att titta på primtalsfaktoriseringen av varje tal

och MGM är då det tal som har alla delarna av primtalsfaktoriseringarna av dessa och inget annat.

Jag ska visa vad jag menar med det. Du kan göra det på det här sättet eller så kan du säga att 15 är

samma sak som 3 gånger 5 och det är allt. Det är dess primtalsfaktorisering, 15 är 3 gånger 5, eftersom både 3 och 5 är primtal.

Vi kan säga att 6 är samma sak som 2 gånger 3. Det är allt, det är dess primtalsfaktorisering, eftersom både 2 och 3 är primtal.

Och sedan kan vi säga att 10 är samma sak som 2 gånger 5. Både 2 och 5 är primtal, så vi är klara med att faktorisera det.

Så den minsta gemensamma multipeln av 15, 6 och 10, behöver bara ha alla de här primtalsfaktorerna.

Och vad jag menar med det, för att vara tydlig: för att ett tal ska vara delbart med 15

måste det ha åtminstone en 3:a och en 5:a i dess primtalsfaktorisering, så det behöver ha minst en 3:a och minst en 5:a.

Genom att ha en 3:a gånger 5 i dess primtalsfaktorisering säkerställer vi att det här talet är delbart med 15.

För att vara delbart med 6 måste det ha åtminstone en 2:a och en 3:a. Så det måste ha åtminstone en 2:a och vi har redan en 3:a här så det där är allt vi vill ha.

Vi behöver bara en 3:a. En 2:a och en 3:a. Det är 2 gånger 3 och säkerställer att det är delbart med 6. Och för att göra det tydligt, det här är 15.

Och för att sedan säkerställa att det är delbart med 10, måste vi ha minst en 2:a och en 5:a. De här två här gör så att det är delbart med 10.

Och så har vi allihopa, 2 x 3 x 5 har alla primfaktorer av antingen 10, 6 eller 15, så det är den minsta gemensamma multipeln.

Om vi multiplicerar det här får vi, 2 x 3 är 6, 6 x 5 är 30.

Hursomhelst -- Förhoppningsvis ringer det en klocka hos dig och du ser att båda metoderna är vettiga.

Det här andra sättet är lite bättre, om du försöker göra det för riktigt komplexa tal...

...tal, som du måste multiplicera väldigt många gånger.

I alla fall, båda dessa är giltiga metoder för att hitta den minsta gemensamma multipeln.