最小公倍数 (LCM)

最小公倍数 (LCM)

15，6，10 の最小公倍数は何でしょうか? 最小公倍数は
英語で短く書くと LCM (Least (最小の) Common (共通の，公の) Multiple (倍数))です，

最小公倍数(LCM)とはその言葉の示す通り，
これらの数の倍数のなかで一番小さなものです．

しかし最小公倍数とは何かと聞かれて，「最小の公倍数」では答えになっていませんね．問題を実際にやってみてどんなものか見てみましょう．

そのために，15, 6, 10 の倍数をいくつか考えてみます．

そしてそれから最小の倍数をみつけます．
これらの数に共通する最小の倍数です．

では，15 の倍数をみつけましょう．ここには．．．
1 かける 15 は 15，2 かける 15 は 30．

それに 15 をたすと 45，15 をさらにたせば 60，
15 をたすと，

75， さらに 15 をたせば 90，15 をたすと 105．

もしこれでもこちらの数と共通の倍数がない場合には，

もっと先に行く必要があるでしょう．
しかし，今はここまでにしておきます．

15 の倍数を 105 までみました．もちろんここからさらに続けていくことができます．6 の倍数をみてみましょう．

6 の倍数: 1 かける 6 は 6，2 かける 6 は 12，
3 かける 6 は 18，4 かける 6 は 24．

5 かける 6 は 30，6 かける 6 は 36，7 かける 6 は 42，
8 かける 6 は 48，

9 かける 6 は 54，10 かける 6 は 60．60 でもうよさそうですね．なぜなら 15 の倍数には 60 があります．
しかしここに既に2つの共通の倍数はあります．

30 がここにあって，ここにも30があります．60 がここにあり，60がここにあります．最小公倍数は

15 と 6 についてだけ最小公倍数を考えれば，

それは 30 です．これを途中経過として
書いておきましょう．15 と 6 の最小公倍数．

ここにでている数の共通の最小の倍数．
15 かける 2 は 30 で 6 かける 5 は 30 です．

つまりこれは確実に公倍数で，全ての公倍数のうちで
最小のものです．

60 はまた公倍数ですが，しかし大きいものです．
これは最小公倍数です．それは 30 です．

10 についてはまだ考えていません．ですから 10 について考えましょう．もうどうなるかわかった人もいるでしょう．

10 の倍数を考えます．それは 10, 20, 30, 40... もう十分書きましたね．なぜならもう 30 があるからです．

そして 30 は 15 と 6 の公倍数であり，
全部の中で最小の公倍数です．

ですから 15, 6, 10 の LCM は 30 に等しいです．

これは最小公倍数をみつける1つの方法です．
文字通り，それぞれの数の倍数をみていき，

共通のもので最小の倍数をみつけるという方法です．

他の方法としては，これらの数のそれぞれの
素因数分解をみていくものがあります．

LCM, 最小公倍数はこれらの素因数の全ての要素を持ち，
それ以上ではないものです．

その意味がどういうものかをここでお見せしましょう．この方法ではまず，15 は

3 かける 5 と同じことです．これはこれだけですね．この素因数分解はこれです．15 は 3 かける 5です．3 と 5 は両方とも素数だからです．

6 は 2 かける 3 と同じことと言えます．これで終わりです．これがこの素因数分解です．なぜなら 2 と 3 は素数だからです．

そして 10 は 2 かける 5 と同じことです．2 も 5 も両方とも素数です．これで素因数分解は終わりました．

15， 6， 10 の LCM は単にこれら素因数の全てを持つ必要があります．

そして私がここで意味するのは．．．はっきりしておきましょう．LCMになるある数が15 で割り切れるには，

少なくとも3が1つ，5が1つその素因数分解に入っていなくてはいけません．つまり，その数には 1 つの 3 と 1 つの 5 が必要です．

3 かける 5 が素因数分解に入っている数は 15 で割り切れます．

6で割り切れる数には，2が1つ，3が１つなくてはいけません．ここでは2が1つ必要です．ここにはもう3 が1つありますので，これで必要なものは全部あります．

ここでは 1つだけ 3 が必要です．ですから 1 つの 2 と 1 つの 3 になります．これが 2 かける 3 で，6 で割り切れる数ということを確かにします．ここにあるのが 15 です．

そして 10 で割り切れるためには，少なくとも 1 つの 2 と 1 つの 5 が必要です．これらの2つがあることで，この数が 10 で確実に割り切れます．

これで必要なものは全部ですね．この 2 かける 3 かける 5 という数は，10, 6, 15 の全部の素因数を持ちます．ですからこれが LCM です．

これをかけ算すると，2 かける 3 は 6,
6 かける 5 は 30 です．

どちらの方法でもかまいません．これらがあなたの考えと共振して，どうしてこれが筋が通るのかわかってもらえると嬉しいです．

2番目の方法が少し良い方法です．特に複雑な数，かけ算に時間がかかるような数で，

最小公倍数を求めようという場合には良いです．

でも，どちらの方法でも最小公倍数を求める
正しい方法には違いありません．