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Quel est le plus petit commun multiple, noté PPCM, de 15, 6 et 10 ?
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Alors le PPCM, c'est exactement ce qui est indiqué par ces mots. C'est le plus petit commun multiple de chacun de ces nombres.
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Et je sais que cela ne vous aide probablement pas beaucoup. Mais travaillons donc à résoudre ce problème.
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Pour faire cela, réfléchissons aux différents multiples de 15, 6 et 10.
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et puis cherchons le plus petit, le plus petit qu'ils ont en commun.
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Cherchons les multiples de 15. Vous avez :
1 x 15 = 15, 2 x 15 = 30,
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et si vous ajoutez 15 encore, vous obtenez 45
puis 15 encore et vous obtenez 60.
Ajoutez encore 15,
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vous obtenez 75, vous ajoutez 15 encore, vous avez 90, vous ajoutez 15 encore, vous obtenez 105.
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et si aucun de ces nombres sont commun multiples avec ces trois là
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alors vous devez aller plus loin, mais j'arrêterai ici pour le moment.
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Donc voici les multiples de 15 jusqu'à 105.
Evidemment, on pourrait continuer à la suite, mais passons aux multiples de 6.
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Cherchons les multiples de 6 :
1x6 = 6, 2x6 = 12, 3x6 = 18, 4x6 = 24,
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5x6 = 30, 6x6 = 36, 7x6 = 42, 8x6 = 48,
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9x6 = 54, 10x6 = 60. 60 semble déjà intéressant, car c'est un multiple commun avec 15 et 60. En fait, nous en avons deux ici.
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Nous avons 30 et un 30, nous avons un 60 et un 60. Donc le plus petit PPCM...
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... Donc si nous avions voulu uniquement le PPCM de 15 et 6.
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On aurait répondu que c'est 30. Écrivons cela commun résultat intermédiaire : le PPCM de 15 et 6. Donc le plus petit commun multiple,
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Le plus petit multiple qu'ils ont en commun dans ceux que nous avons ici. 15x2 = 30 et 6x5 = 30.
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Donc c'est certainement un multiple commun et c'est le plus petit de tout leurs muliples communs.
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60 est aussi un multiple commun, c'est c'est un plus grand. On cherche le plus petit commun multiple, donc c'est 30.
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Nous n'avons pas encore pensé à 10 pour le moment. Occupons nous de lui ici. Je pense que vous avez une idée de ce qui va se passer.
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Cherchons les multiples de 10. Ils sont 10, 20, 30, 40... Bien, nous sommes déjà allé assez loin. Parce que nous avons déjà 30,
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et 30 est multiple commun de 15 et 6 et c'est le plus petit commun multiple de tous.
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Donc le fait est que le PPCM de 15, 6 et 10 est égal à 30.
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Maintenant, il y a une méthode pour trouver le plus petit commun multiple. Littéralement, cherchons et regardons les multiples de chacun des nombres...
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et voyons le plus petit multiple qu'ils ont en commun.
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Une autre façon de faire cela, c'est de regarder la décomposition en facteurs premiers de chacun de ces nombres
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et le PPCM est le nombre qui a tous les éléments des décomposition en facteurs premiers et rien d'autre.
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Laissez moi vous monter ce que je veux dire par là. Vous pouvez faire comme ça ou vous pouvez dire que 15, c'est
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la même chose que 3x5 et voilà. C'est la décomposition en facteur premier, 15, c'est 3 fois 5 car aussi bien 3 que 5 sont des nombres premiers.
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Vous pouvez aussi dire que 6, c'est la même chose que 2 fois 3. Et voilà, c'est la décomposition en facteurs premiers, car aussi bien 2 que 3 sont premiers.
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Et vous pouvez dire que 10, c'est la même chose que 2 fois 5. Aussi bien 2 que 5 sont premiers.
Et nous en avons terminé des décompositions.
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Donc le PPCM de 15, 6 et 10 doit avoir tous ces facteurs premiers.
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Et ce que je veux dire... pour être clair, afin que ce soit divisible par 15
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un nombre doit avoir au moins un 3 et un 5 dans sa décomposition en facteurs premiers. Donc il doit avoir un 3 et au moins un 5.
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En ayant un 3 fois 5 dans sa décomposition en facteurs premiers, on a l'assurance que ce nombre est divisible par 15.
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Pour être divisible par 6, il doit avoir au moins un 2 et un 3. Donc il doit avoir un moins un 2 et nous avons déjà un 3 ici donc c'est tout ce qu'il nout faut.
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Nous avons juste besoin d'un 3. Donc un 2 et un 3. C'est 2 fois 3 et cela assure que le nombre soit divisible par 6. Et laissez-moi vous clarifier la situation, c'est juste là, le 15.
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Et pour être sur que c'est divisible par 10, nous avons besoin d'un 2 et d'un 5. Ces deux là font qu'on est sûr que c'est divisible par 10.
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et donc nous les avons tous, ce 2 x 3 x 5 possède tous les facteurs premiers de 10, 6 et 15, donc c'est le PPCM.
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Donc si nous calculons cela, vous obtiendrez 2 x 3 fait 6, 6 x 5 fait 30.
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D'une façon ou d'une autre, j'espère que vous comprenez ces deux raisonnements et que vous voyez pourquoi ils font sens.
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La deuxième méthode est un peu plus difficile si vous essayez de la faire pour des nombres vraiment grands...
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... nombres que vous aurez à multiplier pendant très longtemps.
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Bon, quoiqu'il en soit, voici deux manières possibles de trouver le plus petit commun multiple.
