Γειά σας . Σε αυτό το μάθημα θα δούμε γιατί - κι όχι πως- χρησιμοποιούμε το δανεισμό στην αφαίρεση.
Είναι σημαντικό να καταλάβουμε το γιατί. Ακόμα και
άνθρωποι που γνωρίζουν αρκετά καλά τα μαθηματικά
κάποιες φορές δεν είναι και πολύ σίγουροι για το τι ακριβώς συμβαίνει με το δανεισμό και κρατούμενα στην αφαίρεση.
Αυτό λοιπόν θα εξηγήσουμε στο μάθημα μας.
Ας πούμε ότι έχουμε την παρακάτω αφαίρεση
Χίλια... - αυτό είναι μηδέν.
1.005 μείον 616.
Αυτό που θα κάνω τώρα είναι να ξαναγράψω την πράξη
με λίγο διαφορετικό τρόπο.
Θα μπορούσαμε να το πούμε πιο "αναλυτικό" τρόπο.
1.005 , Αυτό που θα κάνω τώρα είναι να χωρίσω
τα ψηφία στις αντίστοιχες τους θέσεις.
Λοιπόν, έχουμε 1.000 συν 0 εκατοντάδες,
συν 0 δεκάδες , συν 5.
Το 1.005 είναι απλά 1.000 συν 0 συν 0 συν 5.
Κι μετά όλο αυτό μείον 616.
που είναι αναλυτικά μείον 600, μείον 10, μείον 6.
Το 616 μπορεί να γραφτεί ως 600 συν 10 συν 6.
και βάζουμε μειον αφού έχουμε να το αφαιρέσουμε
ολόκληρο.
Ας λύσουμε την πράξη.
Λοιπόν, αν είστε εξοικειωμένοι με το πώς δανειζόμαστε στην αφαίρεση καταλαβαίνετε ότι αφού το 5
είναι μικρότερο από το 6, πρέπει με κάποιο τρόπο το 5 να γίνει μεγαλύτερο
για να μπορέσουμε να αφαιρέσουμε το 6 από αυτό .
Λοιπόν, σύμφωνα με το γνωστό, συμβατικό τρόπο δανεισμού
αυτό που κάνουμε είναι να δανειστούμε 1 από κάπου και να κάνουμε το 5 , 15
Αυτό που θέλω , είναι να καταλάβετε που βρίσκουμε αυτό το 1
το 1 - που στην πραγματικότητα είναι 10 .
Γιατί μετατρέποντας το 5 σε 15,
αυτό που κάνουμε είναι να προσθέσουμε 10 στο 5.
Λοιπόν αν κοιτάξουμε λίγο καλύτερα το 1.005 καταλάβαινουμε ότι ο μονος τρόπος να βρούμε αυτό
το 10 , είναι αν το παρουμε από το 1.000
Αλλά πώς το κάνουμε αυτό αφού εδώ βρίσκονται οι χιλιάδες;
αντί λοιπόν να δανειστώ το 10 από εδώ, πράγμα
που θα μπέρδευε την αφαίρεση μου, θα πάρω
αυτό το 1.000 από εδώ
το σβηνουμε απο εδώ..παει ...
Αυτό το 1.000 που πήρα από αυτό το 1.000,
θα το διαμοιράσω
σε αυτά τα 3 "κουβαδάκια"
Στα "κουβαδακια" με τις εκατοντάδες , τις δεκάδες και τις μονάδες
Λοιπόν, χρειαζομαστε 10 εδώ, όποτε ας βαλουμε 10 εδώ...
Κι έχουμε 10 συν 5 ίσον 15
Σωστά; Οπότε να το 15 που θέλαμε.
Και αφού πήραμε το 10 από το 1.000, μας έχουν μείνει 990
οπότε βάζουμε 900 εδώ , και 90 εδώ
Για προσέξτε λίγο εδώ , είχαμε 1.000 και το ξαναγράψαμε ως
900 συν 90 συν 10.
Και προσθέσαμε αυτό το 10 σε αυτό το 5.
Τώρα μπορούμε να κάνουμε την αφαίρεση μας,
όπως μια απλή αφαίρεση
15 μείον 6 ίσον 9.
90 μείον 10 ίσον 80.
900 μείον 600 ίσον 300.
οπότε 300 συν 80 συν 9 ισον 389.
Ας κάνουμε την αφαίρεση μας με τον απλό τρόπο χωρίς όλη αυτή την ανάλυση,
φυσικά θα μπορούσε να αναλυθεί με τον ίδιο τρόπο.
Ο τρόπος με τον οποίο το διδάσκω, και δεν ξέρω βασικά αν
είναι ο παραδοσιακός τρόπος διδασκαλίας του δανεισμού, είναι ότι λεμε ΟΚ, πρέπει
να κάνω αυτό εδώ το πέντε 15.
Έτσι πρέπει από κάπου να δανειστώ 1.
Βέβαια, είδαμε όταν λύναμε το πρόβλημα εδώ, ότι στην πραγματικότητα
δε δανείζομαι 1 αλλά 10 για να κανω το 5 , 15.
Πού θα το βρω όμως αυτό το 1;
Από το 0;
Όχι.
Από αυτό το 0;
Όχι.
'Αρα θα το δανειστώ από εδώ,
από το 100 . Σωστά;
Οπότε 100 μείον 1 ίσον 99.
Είδατε λοιπόν πώς γίνεται;
Και έχουμε 15 μείον 6 ίσον 9.
9 μείον 1 ίσον 8.
και 9 μείον 6 ίσον 300.
Αυτός ο τρόπος είναι πιο γρήγορος και, νομίζω,
και πιο εύκολος , όμως υπάρχουν άνθρωποι που δεν καταλαβαίνουν πώς γίνεται.
Τους φαίνεται κάπως ..μαγικό!
Λένε "πήρες αυτό το 5, του έβαλες ένα 1 και μετα πήρες
ένα άλλο 1 από το 100 εδώ."
Αλλά τελικά αυτό που γίνεται είναι πολύ απλό.
Πήρα 1.000 από εδώ και το μοίρασα
στις εκατοντάδες, στις δεκάδες και στις μονάδες.
Λοιπόν, ας δουμε ένα άλλο παράδειγμα,
που θα σας κάνει πιο ξεκάθαρο αυτό που λεω,
το γιατί λειτουργεί ο δανεισμός.
Ας δούμε μια πιο απλή αφαίρεση.
Η αλήθεια είναι πως η πρωτη αφαίρεση μπερδεύει συνήθως
τους περισσότερους ανθρώπους.
Ας πούμε ότι έχω
το 732
μείον , κάτι εύκολο...
μείον 23.
Μερικές φορές τα τριάρια μου βγαίνουν περίεργα.
Λοιπόν, όπως είδαμε πριν αυτό γράφεται και ως 700 συν
30 συν 2 , μείον 20 μείον 3.
Το 2 είναι μικρότερο από το 3 οπότε δεν μπορούμε να κάνουμε την αφαίρεση έτσι.
Τι θέλουμε; Θέλουμε να πάρουμε ένα 10 από κάπου για να γίνει το 2, 12.
Μπορούμε να πάρουμε το 10 από εδώ.
Κάνουμε αυτό 20 και προσθέτουμε το 10 στο 2 και έχουμε 12.
Και για δείτε! 700 συν 20 συν 12 μας κάνει και πάλι 732.
Οπότε δεν αλλάξαμε τον αριθμό καθόλου.
Απλά το διαμοιράσαμε
στις διαφορετικές θέσεις.
Και τώρα είμαστε έτοιμοι να αφαιρέσουμε.
12 μείον 3 ίσον 9.
20 μείον 20 είναι 0 . Κι απλά κατεβάζουμε το 700.
Και έχουμε 700 συν 0 συν 9, που είναι το ίδιο με 709.
Και αυτός είναι ο λόγος που ο δανεισμός και τα κρατούμενα δίνουν τη λύση στην αφαίρεση.
Λέμε, ας δανειστούμε 1 απ' το 3.
Αυτό το κάνει 2,
Κι αυτό γίνεται 12.
Και μετά αφαιρούμε.
9 0 7.
Ας κάνουμε ακόμη μια αφαίρεση, μία τελευταία.
Εννοείται πως δεν είναι ανάγκη να κάνετε την αφαίρεση με αυτόν τον τρόπο.
Δε χρειάζεται κάθε φορά που κάνετε μία αφαίρεση
να την κάνετε έτσι.
Απλώς, αν ποτέ μπερδευτείτε, μπορείτε να το κάνετε με αυτόν
τον τρόπο και δε θα κάνετε λάθος, και βασικά θα
καταλαβαίνετε τι κάνετε.
Αλλά αν γράφετε διαγώνισμα και πρέπει να τα κάνετε όλα πολύ γρήγορα
κάντε το με τον παραδοσιακό τρόπο.
Αλλά θέλει αρκετή εξάσκηση για να σιγουρευτείτε ότι ποτέ
δεν κάνετε κάτι λάθος.
Και αυτό είναι το πρόβλημα.
Οι άνθρωποι μαθαίνουν απλά τους κανόνες, και μετά τους ξεχνούν,
και δε θυμούνται πώς να το κάνουν.
Αν μάθεις τι κάνεις, δεν το ξεχνάς και ποτέ
γιατί σου βγάζει νόημα.
Λοιπόν, ας κάνουμε μια τελευταία αφαίρεση.
Αν είχα 512
μείον 38
Λοιπόν, ας το κάνουμε όπως μόλις έδειξα.
Αυτό είναι το ίδιο με 500 συν 10 συν 2
μείον 30 μείον 8.
Λοιπόν, το 2 είναι μικρότερο απ' το 8
οπότε χρειάζομαι 10 από κάπου.
Ένας τρόπος είναι να πάρουμε
τα 10 από εδώ.
Οπότε αυτό γίνεται 0.
Κι αυτό γίνεται 12
Είδατε ότι 500 συν 0 συν 12 μας κάνει πάλι 512.
Οπότε έτσι μπορούμε να κάνουμε την αφαίρεση.
12 μείον 8 ίσον 4.
Αλλά εδώ βλέπουμε ότι το 0 είναι μικρότερο από 30, οπότε δεν μπορούμε να αφαιρέσουμε.
Γι' αυτό θα δανειστούμε από το 500.
Αυτό που χρειαζόμαστε είναι 100, οπότε αν το κάνουμε 100 τότε
έχουμε πάρει το 100 απ' το 500.
Οπότε αυτό γίνεται 400
Δηλαδή απλώς ξανάγραψα το 500 σαν 400 συν 100.
Και τώρα μπορώ να κάνω την αφαιρεση.
100 μείον 30 ίσον 70.
Κατεβάζω και το 400
Κι αυτό , για δείτε, είναι το ίδιο με 474.
Στο σχολειο λετε:
το 2 είναι μικρότερο από 8, οπότε δανειζόμαστε 1.
Και γίνεται 12.
Κι αυτό γίνεται 0.
0 είναι λιγότερο από 3, οπότε ας δανειστώ 1 απ' αυτό το 5.
Κάνω αυτό 4.
Αυτό γίνεται 10.
Οπότε λέτε 12 μείον 8 κάνει 4.
10 μείον 3 κάνει 7 και κατεβάζετε το 4.
Ελπίζω πως αυτά που κάναμε εδώ θα σας δώσουν μία αίσθηση
του γιατί λειτουργεί ο δανεισμός.
Κι αυτό είναι κάτι που κι εγώ δεν το είχα ακριβώς
καταλάβει, μέχρι που έμαθα τον τρόπο που γίνεται.
Κι ελπίζω τωρα να το έχετε μαθει κι εσείς και να καταλαβαίνετε
ότι είναι κάτι απλό και καθόλου μαγικό.
Και ελπίζω ότι δε θα ξεχάσετε ποτέ τι
κάνετε και μπορείτε πάντα να σκέφτεστε τι
συμβαίνει, βασικά, στους αριθμούς από τους οποίους δανειζόμαστε.
Ελπίζω όσα είπαμε να σαν φανούν χρήσιμα.
Τα λέμε αργότερα.
Γειά σας.