0:00:00.850,0:00:05.080
Γειά σας . Σε αυτό το μάθημα θα δούμε[br]γιατί - κι όχι πως- χρησιμοποιούμε το δανεισμό στην αφαίρεση.

0:00:05.080,0:00:06.750
Είναι σημαντικό να καταλάβουμε το γιατί. Ακόμα και

0:00:06.750,0:00:11.500
άνθρωποι που γνωρίζουν αρκετά καλά τα μαθηματικά

0:00:11.500,0:00:15.630
κάποιες φορές δεν είναι και πολύ σίγουροι για το τι ακριβώς συμβαίνει με το δανεισμό και κρατούμενα στην αφαίρεση.

0:00:15.630,0:00:17.710
Αυτό λοιπόν θα εξηγήσουμε στο μάθημα μας.

0:00:17.710,0:00:20.500
Ας πούμε ότι έχουμε την παρακάτω αφαίρεση

0:00:20.500,0:00:23.450
Χίλια... - αυτό είναι μηδέν.

0:00:23.450,0:00:31.840
1.005 μείον 616.

0:00:31.840,0:00:34.050
Αυτό που θα κάνω τώρα είναι να ξαναγράψω την πράξη

0:00:34.050,0:00:35.300
με λίγο διαφορετικό τρόπο.

0:00:35.300,0:00:37.640
Θα μπορούσαμε να το πούμε πιο "αναλυτικό" τρόπο.

0:00:37.640,0:00:40.080
1.005 , Αυτό που θα κάνω τώρα είναι να χωρίσω

0:00:40.080,0:00:42.330
τα ψηφία στις αντίστοιχες τους θέσεις.

0:00:42.330,0:00:49.720
Λοιπόν, έχουμε 1.000 συν 0 εκατοντάδες,

0:00:49.720,0:00:53.550
συν 0 δεκάδες , συν 5.

0:00:53.550,0:00:56.830
Το 1.005 είναι απλά 1.000 συν 0 συν 0 συν 5.

0:00:56.830,0:01:00.340
Κι μετά όλο αυτό μείον 616.

0:01:00.340,0:01:08.910
που είναι αναλυτικά μείον 600, μείον 10, μείον 6.

0:01:08.910,0:01:13.440
Το 616 μπορεί να γραφτεί ως 600 συν 10 συν 6.

0:01:13.440,0:01:15.150
και βάζουμε μειον αφού έχουμε να το αφαιρέσουμε

0:01:15.150,0:01:16.130
ολόκληρο.

0:01:16.130,0:01:18.940
Ας λύσουμε την πράξη.

0:01:18.940,0:01:23.220
Λοιπόν, αν είστε εξοικειωμένοι με το[br]πώς δανειζόμαστε στην αφαίρεση καταλαβαίνετε ότι αφού το 5

0:01:23.220,0:01:25.940
είναι μικρότερο από το 6, πρέπει [br]με κάποιο τρόπο το 5 να γίνει μεγαλύτερο

0:01:25.940,0:01:28.220
για να μπορέσουμε να[br]αφαιρέσουμε το 6 από αυτό .

0:01:28.220,0:01:31.060
Λοιπόν, σύμφωνα με το γνωστό, συμβατικό τρόπο [br]δανεισμού

0:01:31.060,0:01:33.890
αυτό που κάνουμε είναι να δανειστούμε 1 από κάπου και να κάνουμε το 5 , 15

0:01:33.890,0:01:36.240
Αυτό που θέλω , είναι να καταλάβετε που βρίσκουμε αυτό το 1

0:01:36.240,0:01:38.530
το 1 - που στην πραγματικότητα είναι 10 .

0:01:38.530,0:01:41.090
Γιατί μετατρέποντας το 5 σε 15,

0:01:41.090,0:01:43.090
αυτό που κάνουμε είναι να προσθέσουμε 10 στο 5.

0:01:43.090,0:01:45.550
Λοιπόν αν κοιτάξουμε λίγο καλύτερα το 1.005 καταλάβαινουμε ότι ο μονος τρόπος να βρούμε αυτό

0:01:45.550,0:01:49.970
το 10 , είναι αν το παρουμε από το 1.000

0:01:49.970,0:01:52.950
Αλλά πώς το κάνουμε αυτό αφού εδώ βρίσκονται οι χιλιάδες;

0:01:52.950,0:01:57.040
αντί λοιπόν να δανειστώ το 10 από εδώ, πράγμα

0:01:57.040,0:01:59.480
που θα μπέρδευε την αφαίρεση μου, θα πάρω

0:01:59.480,0:02:02.430
αυτό το 1.000 από εδώ

0:02:02.430,0:02:03.960
το σβηνουμε απο εδώ..παει ...

0:02:03.960,0:02:08.110
Αυτό το 1.000 που πήρα από αυτό το 1.000,

0:02:08.110,0:02:12.740
θα το διαμοιράσω

0:02:12.740,0:02:14.790
σε αυτά τα 3 "κουβαδάκια"

0:02:14.790,0:02:17.360
Στα "κουβαδακια" με τις εκατοντάδες , τις δεκάδες και τις μονάδες

0:02:17.360,0:02:21.270
Λοιπόν, χρειαζομαστε 10 εδώ, όποτε ας βαλουμε 10 εδώ...

0:02:21.270,0:02:24.320
Κι έχουμε 10 συν 5 ίσον 15

0:02:24.320,0:02:25.040
Σωστά; Οπότε να το 15 που θέλαμε.

0:02:25.040,0:02:31.543
Και αφού πήραμε το 10 από το 1.000, μας έχουν μείνει 990

0:02:32.030,0:02:37.960
οπότε βάζουμε 900 εδώ , και 90 εδώ

0:02:37.960,0:02:41.250
Για προσέξτε λίγο εδώ , είχαμε 1.000 και το ξαναγράψαμε ως

0:02:41.250,0:02:44.040
900 συν 90 συν 10.

0:02:44.040,0:02:45.670
Και προσθέσαμε αυτό το 10 σε αυτό το 5.

0:02:45.670,0:02:47.670
Τώρα μπορούμε να κάνουμε την αφαίρεση μας,

0:02:47.670,0:02:49.110
όπως μια απλή αφαίρεση

0:02:49.110,0:02:52.710
15 μείον 6 ίσον 9.

0:02:52.710,0:02:56.300
90 μείον 10 ίσον 80.

0:02:56.300,0:03:00.730
900 μείον 600 ίσον 300.

0:03:00.730,0:03:06.550
οπότε 300 συν 80 συν 9 ισον 389.

0:03:06.550,0:03:08.940
Ας κάνουμε την αφαίρεση μας με τον απλό τρόπο χωρίς όλη αυτή την ανάλυση,

0:03:08.940,0:03:12.790
φυσικά θα μπορούσε να αναλυθεί με τον ίδιο τρόπο.

0:03:12.790,0:03:15.210
Ο τρόπος με τον οποίο το διδάσκω, και δεν ξέρω βασικά αν

0:03:15.210,0:03:20.440
είναι ο παραδοσιακός τρόπος διδασκαλίας του δανεισμού, είναι ότι λεμε ΟΚ, πρέπει

0:03:20.440,0:03:23.480
να κάνω αυτό εδώ το πέντε 15.

0:03:23.480,0:03:25.220
Έτσι πρέπει από κάπου να δανειστώ 1.

0:03:25.220,0:03:26.840
Βέβαια, είδαμε όταν λύναμε το πρόβλημα εδώ, ότι στην πραγματικότητα

0:03:26.840,0:03:28.630
δε δανείζομαι 1 αλλά 10 για να κανω το 5 , 15.

0:03:28.630,0:03:30.540
Πού θα το βρω όμως αυτό το 1;

0:03:30.540,0:03:31.660
Από το 0;

0:03:31.660,0:03:32.100
Όχι.

0:03:32.100,0:03:33.730
Από αυτό το 0;

0:03:33.730,0:03:34.440
Όχι.

0:03:34.440,0:03:36.630
'Αρα θα το δανειστώ από εδώ,

0:03:36.630,0:03:38.980
από το 100 . Σωστά;

0:03:38.980,0:03:43.110
Οπότε 100 μείον 1 ίσον 99.

0:03:43.110,0:03:44.500
Είδατε λοιπόν πώς γίνεται;

0:03:44.500,0:03:47.560
Και έχουμε 15 μείον 6 ίσον 9.

0:03:47.560,0:03:49.370
9 μείον 1 ίσον 8.

0:03:49.370,0:03:51.570
και 9 μείον 6 ίσον 300.

0:03:51.570,0:03:55.600
Αυτός ο τρόπος είναι πιο γρήγορος και, νομίζω,

0:03:55.600,0:03:57.780
και πιο εύκολος , όμως υπάρχουν άνθρωποι που δεν καταλαβαίνουν πώς γίνεται.

0:03:57.780,0:03:59.200
Τους φαίνεται κάπως ..μαγικό!

0:03:59.200,0:04:02.160
Λένε "πήρες αυτό το 5, του έβαλες ένα 1 και μετα πήρες

0:04:02.160,0:04:04.600
ένα άλλο 1 από το 100 εδώ."

0:04:04.600,0:04:07.080
Αλλά τελικά αυτό που γίνεται είναι πολύ απλό.

0:04:07.080,0:04:12.600
Πήρα 1.000 από εδώ και το μοίρασα

0:04:12.600,0:04:17.050
στις εκατοντάδες, στις δεκάδες και στις μονάδες.

0:04:17.050,0:04:18.302
Λοιπόν, ας δουμε ένα άλλο παράδειγμα,

0:04:18.302,0:04:20.425
που θα σας κάνει πιο ξεκάθαρο αυτό που λεω,

0:04:20.425,0:04:22.527
το γιατί λειτουργεί ο δανεισμός.

0:04:25.327,0:04:27.422
Ας δούμε μια πιο απλή αφαίρεση.

0:04:27.438,0:04:29.210
Η αλήθεια είναι πως η πρωτη αφαίρεση μπερδεύει συνήθως

0:04:29.210,0:04:30.670
τους περισσότερους ανθρώπους.

0:04:30.670,0:04:32.718
Ας πούμε ότι έχω

0:04:34.318,0:04:38.450
το 732

0:04:40.897,0:04:45.290
μείον , κάτι εύκολο...

0:04:45.290,0:04:48.958
μείον 23.

0:04:48.958,0:04:51.181
Μερικές φορές τα τριάρια μου βγαίνουν περίεργα.

0:04:51.181,0:04:55.120
Λοιπόν, όπως είδαμε πριν αυτό γράφεται και ως 700 συν

0:04:55.120,0:05:03.240
30 συν 2 , μείον 20 μείον 3.

0:05:03.240,0:05:07.150
Το 2 είναι μικρότερο από το 3 οπότε δεν μπορούμε να κάνουμε την αφαίρεση έτσι.

0:05:07.150,0:05:09.050
Τι θέλουμε; Θέλουμε να πάρουμε ένα 10 από κάπου για να γίνει το 2, 12.

0:05:09.050,0:05:10.870
Μπορούμε να πάρουμε το 10 από εδώ.

0:05:10.870,0:05:16.960
Κάνουμε αυτό 20 και προσθέτουμε το 10 στο 2 και έχουμε 12.

0:05:16.960,0:05:21.940
Και για δείτε! 700 συν 20 συν 12 μας κάνει και πάλι 732.

0:05:21.940,0:05:24.420
Οπότε δεν αλλάξαμε τον αριθμό καθόλου.

0:05:24.420,0:05:28.520
Απλά το διαμοιράσαμε

0:05:28.520,0:05:29.200
στις διαφορετικές θέσεις.

0:05:29.200,0:05:30.260
Και τώρα είμαστε έτοιμοι να αφαιρέσουμε.

0:05:30.260,0:05:32.340
12 μείον 3 ίσον 9.

0:05:32.340,0:05:36.610
20 μείον 20 είναι 0 . Κι απλά κατεβάζουμε το 700.

0:05:36.610,0:05:42.190
Και έχουμε 700 συν 0 συν 9, που είναι το ίδιο με 709.

0:05:42.190,0:05:45.260
Και αυτός είναι ο λόγος που ο δανεισμός και τα κρατούμενα δίνουν τη λύση στην αφαίρεση.

0:05:45.260,0:05:47.380
Λέμε, ας δανειστούμε 1 απ' το 3.

0:05:47.380,0:05:48.290
Αυτό το κάνει 2,

0:05:48.290,0:05:49.750
Κι αυτό γίνεται 12.

0:05:49.750,0:05:52.200
Και μετά αφαιρούμε.

0:05:52.200,0:05:54.520
9 0 7.

0:05:54.520,0:05:57.370
Ας κάνουμε ακόμη μια αφαίρεση, μία τελευταία.

0:05:57.370,0:05:59.160
Εννοείται πως δεν είναι ανάγκη να κάνετε την αφαίρεση με αυτόν τον τρόπο.

0:05:59.160,0:06:00.850
Δε χρειάζεται κάθε φορά που κάνετε μία αφαίρεση

0:06:00.850,0:06:01.480
να την κάνετε έτσι.

0:06:01.480,0:06:03.520
Απλώς, αν ποτέ μπερδευτείτε, μπορείτε να το κάνετε με αυτόν

0:06:03.520,0:06:05.700
τον τρόπο και δε θα κάνετε λάθος, και βασικά θα

0:06:05.700,0:06:06.990
καταλαβαίνετε τι κάνετε.

0:06:06.990,0:06:08.930
Αλλά αν γράφετε διαγώνισμα και πρέπει να τα κάνετε όλα πολύ γρήγορα

0:06:08.930,0:06:10.860
κάντε το με τον παραδοσιακό τρόπο.

0:06:10.860,0:06:13.570
Αλλά θέλει αρκετή εξάσκηση για να σιγουρευτείτε ότι ποτέ

0:06:13.570,0:06:15.710
δεν κάνετε κάτι λάθος.

0:06:15.710,0:06:16.390
Και αυτό είναι το πρόβλημα.

0:06:16.390,0:06:18.280
Οι άνθρωποι μαθαίνουν απλά τους κανόνες, και μετά τους ξεχνούν,

0:06:18.280,0:06:19.980
και δε θυμούνται πώς να το κάνουν.

0:06:19.980,0:06:22.620
Αν μάθεις τι κάνεις, δεν το ξεχνάς και ποτέ

0:06:22.620,0:06:25.544
γιατί σου βγάζει νόημα.

0:06:26.194,0:06:28.702
Λοιπόν, ας κάνουμε μια τελευταία αφαίρεση.

0:06:28.702,0:06:32.185
Αν είχα 512

0:06:32.185,0:06:36.179
μείον 38

0:06:36.179,0:06:38.350
Λοιπόν, ας το κάνουμε όπως μόλις έδειξα.

0:06:38.350,0:06:45.020
Αυτό είναι το ίδιο με 500 συν 10 συν 2

0:06:45.020,0:06:51.080
μείον 30 μείον 8.

0:06:51.080,0:06:52.130
Λοιπόν, το 2 είναι μικρότερο απ' το 8

0:06:52.130,0:06:53.290
οπότε χρειάζομαι 10 από κάπου.

0:06:53.290,0:06:55.290
Ένας τρόπος είναι να πάρουμε

0:06:55.290,0:06:56.600
τα 10 από εδώ.

0:06:56.600,0:06:58.720
Οπότε αυτό γίνεται 0.

0:06:58.720,0:07:00.220
Κι αυτό γίνεται 12

0:07:00.220,0:07:05.370
Είδατε ότι 500 συν 0 συν 12 μας κάνει πάλι 512.

0:07:05.370,0:07:06.270
Οπότε έτσι μπορούμε να κάνουμε την αφαίρεση.

0:07:06.270,0:07:09.770
12 μείον 8 ίσον 4.

0:07:09.770,0:07:14.860
Αλλά εδώ βλέπουμε ότι το 0 είναι μικρότερο από 30, οπότε δεν μπορούμε να αφαιρέσουμε.

0:07:14.860,0:07:17.290
Γι' αυτό θα δανειστούμε από το 500.

0:07:17.290,0:07:22.930
Αυτό που χρειαζόμαστε είναι 100, οπότε αν το κάνουμε 100 τότε

0:07:22.930,0:07:25.260
έχουμε πάρει το 100 απ' το 500.

0:07:25.260,0:07:28.070
Οπότε αυτό γίνεται 400

0:07:28.070,0:07:31.430
Δηλαδή απλώς ξανάγραψα το 500 σαν 400 συν 100.

0:07:31.430,0:07:32.340
Και τώρα μπορώ να κάνω την αφαιρεση.

0:07:32.340,0:07:35.510
100 μείον 30 ίσον 70.

0:07:35.510,0:07:38.790
Κατεβάζω και το 400

0:07:38.790,0:07:42.560
Κι αυτό , για δείτε, είναι το ίδιο με 474.

0:07:42.560,0:07:44.490
Στο σχολειο λετε:

0:07:44.490,0:07:47.815
το 2 είναι μικρότερο από 8, οπότε δανειζόμαστε 1.

0:07:47.815,0:07:48.930
Και γίνεται 12.

0:07:48.930,0:07:50.890
Κι αυτό γίνεται 0.

0:07:50.890,0:07:56.120
0 είναι λιγότερο από 3, οπότε ας δανειστώ 1 απ' αυτό το 5.

0:07:56.120,0:07:57.140
Κάνω αυτό 4.

0:07:57.140,0:07:58.710
Αυτό γίνεται 10.

0:07:58.710,0:08:01.270
Οπότε λέτε 12 μείον 8 κάνει 4.

0:08:01.270,0:08:05.780
10 μείον 3 κάνει 7 και κατεβάζετε το 4.

0:08:05.780,0:08:09.400
Ελπίζω πως αυτά που κάναμε εδώ θα σας δώσουν μία αίσθηση

0:08:09.400,0:08:10.510
του γιατί λειτουργεί ο δανεισμός.

0:08:10.510,0:08:12.760
Κι αυτό είναι κάτι που κι εγώ δεν το είχα ακριβώς

0:08:12.760,0:08:16.690
καταλάβει, μέχρι που έμαθα τον τρόπο που γίνεται.

0:08:16.690,0:08:19.650
Κι ελπίζω τωρα να το έχετε μαθει κι εσείς και να καταλαβαίνετε

0:08:19.650,0:08:21.260
ότι είναι κάτι απλό και καθόλου μαγικό.

0:08:21.260,0:08:23.780
Και ελπίζω ότι δε θα ξεχάσετε ποτέ τι

0:08:23.780,0:08:25.400
κάνετε και μπορείτε πάντα να σκέφτεστε τι

0:08:25.400,0:08:28.900
συμβαίνει, βασικά, στους αριθμούς από τους οποίους δανειζόμαστε.

0:08:28.900,0:08:31.580
Ελπίζω όσα είπαμε να σαν φανούν χρήσιμα.

0:08:31.580,0:08:32.400
Τα λέμε αργότερα.

0:08:32.400,0:08:33.700
Γειά σας.