کسر کی جمع اور تفریق کی پیشکش میں خوشآمدید
شروع کرتے ہیں
ایسے سوال سے شروع کرتے ہیں جو آپ کو بہت ذیادہ الجھن میں نہ ڈالے
امید ہے کہ یہ نسبتا آسان سوال ہونا چاہیۓ
اگر میں پوچھوں کہ ایک بٹا چار جمع ایک بٹا چار گیا ہوگا
اس کے بارے میں سونچیں کہ اس کا کیا مطلب ہے
فرض کریں کہ میرے پاس ایک پاي تھا اور اسے چار تکڑوں میں تقسیم کردیا
تو یہ پہلا تکڑا یہاں ایک چوہتاي ہے
میں اسے ایک الگ رنگ سے کرتا ہوں
یہ یہاں ایک چوہتاي ہے
فرض کریں یہ ایک چوہتاي ہے پاۓ گا، ٹھیک؟
اور ہم اسے ایک اور ایک چوہتاي میں پاۓ کے جمع کرنے جارہے ہیں
اسے ایک بنا دیتے ہیں--- میں رنگ تبدیل کردیتا ہوں--- گلابی
یہ ایک چوہتاي، یہ گلابی ایک چوہتاي پاي کا ایک چوہتاي ہے
تو اگر میں دونوں ایک چوہتاي کھالوں،
یا ایک چوہتاي اور پھر دوسرا ایک چوہتاي کھاؤں،
میں نے کتنا کھا لیا؟
آپ بس دیکھ کر ہی بتاسکتے ہیں
میں نے اب پاي کے چار میں سے دو تکڑے کھا لیۓ ہیں
تو اگر میں نے پاي کے تکڑے کا ایک چوہتاي کھایا یا پاي کا ایک چوہتاي کھایا
اور پھر ایک اور ایک چوہتاي کھایا
تو میں نے پاي کا دو چوہتاي کھا لیا
اور ہم مثاوی کسر سے جانتے ہیں کہ
یہ وہی چیز ہے کہ میں نے آدھا پاي کھالیا ہو
جو کہ سمجھ آتا ہے
ا اگر میں چار میں سے دو تکڑے پاي کے کھالوں، تو میں نے اس کا آدھا کھالیا
اور اگر ہم اسے حساب کی نظر سے دیکھیں، تو یہاں کیا ہوا؟
ڈینومینیٹرز یا نیچے والے نمبرز،
نیچے والے نمبرز کسر میں وہی رہے
کیونکہ وہ بس اس مثال میں تکڑوں کے کل نمبرز ہیں
میں نے نیومیریٹرز کو جمع کیا، جو کہ سمجھ آتا ہے
میرے پاس پاي کے چار میں سے ایک تکڑا تھا، پھر میں نے ان چار میں سے ایک اور کھا لیا،
تو میں نے چار میں سے دو تکڑے پاي کے کھا لیۓ، جو آدھے کے برابر ہے
میں کچ اور مثالیں کرتا ہوں
دو بٹا پانچ جمع ایک بٹا پانچ کیا ہوگا؟
ہم یہاں وہی چیز کرتے ہیں
ہم پہلے دیکھیں گے کہ ڈینومینیٹرز ایک ہی ہیں
ہم ایک لمحے میں سیکھیں گے کہ ڈینومینیٹرز ایک ہی ہوں تو کیا کرتے ہیں
اگر ڈینومینیٹرز ایک ہی ہوں تو ، جواب میں بھی ڈینومینیٹر وہی رہتا ہے
اور ہم بس نیومیریٹرز کو جمع کرتے ہیں
دو بٹا پانچ جمع ایک بٹا پانچ بس دو جمع ایک بٹا پانچ ہے، جو کہ تین بٹا پانچ کے برابر ہے
تفریق میں بھی اسی طرح ہوتا ہے
اگر میرے پاس تین بٹا سات تفریق دو بٹا سات ہو، وہ بس ایک بٹا سات کے برابر ہے
میں نے بس تین کی تفریق کی، میں نے تین میں سے دو کی تفریق کی تو ایک ملا
اور میں نے ڈینومینیٹر کو وہی رکھا
جو کہ سمجھ آتا ہے
اگر میرے پاس سات میں سے تین تکڑے ہوتے پاي کے تو،
اور مجھے سات میں سے دو تکڑے دینے ہوتے،
میرے پاس پاي کا سات میں سے ایک ہی تکڑا بچے گا
تو اب اسے دیکھتے ہیں--- میرے خيال سے یہ بہت سیدھا سادا ہوتا ہے
جب ہمارے پاس ایک ہی ڈینومینیٹر ہو
یاد رکھیں، ڈینومینیٹر بس نیچے والا نمبر ہوتا ہے کسر میں
نیومیریٹر اوپر والا نمبر ہوتا ہے
کیا ہوتا ہے جب ہمارے پاس مختلف ڈینومینیٹرز ہوں؟
امید ہے کہ یہ بہت ذیادہ مشکل نہیں ہوگا
فرض کریں میرے پاس ایک بٹا چار جمع ایک بٹا دو ہے
اس پاي والی مثال پہ دوبارہ چلتے ہیں
میں پاي بناتا ہوں
تو یہ یہاں ایک چوہتاي، اس میں رنگ بھر دیتے ہیں
وہ پاي کا ایک چوہتاي ہے
اور اب میں ایک اور آدھا کھانے جارہا ہوں
تو میں آدھا پاي کھانے جارہا ہوں
تو یہ آدھا ہے
میں یہ پورا آدھا پاي کھالوںگا
تو یہ کس کے برابر ہوا؟
بہت سے انداز ہیں کہ جس سے ہم اس کے بارے میں سونچ سکتے ہیں
پہلا ہم بس آدھا دوبارہ لکھیں
آدھا پاي، یہ وہی چیز ہے کہ دو چوہتاي، ٹھیک؟
یہاں ایک چوہتاي ہے اور پھر یہاں ایک اور ایک چوہتاي ہے
تو ایک چوہتاي دو بٹا چار کے ہی برابر ہے
اور ہم یہ مثاوی کسر سے جانتے ہیں
تو ہم جانتے ہیں کہ ایک چوہتاي جمع آدھا،
یہ ایک چوہتاي جمع دو چوہتاي کے برابر ہے، ٹھیک؟
اور میں نے یہاں کیا کیا ہے کہ ایک بٹا دو کو دو بٹا چار میں تبدیل کردیا ہے
ہم نے یہ بس نیومیریٹر اور ڈینومینیٹر کو ایک ہی نمبر سے ضرب کردیا ہے
اور ہم یہ کسی بھی کسر میں کرسکتے ہیں
آپ جیسےکہ نیومیریٹر اور ڈینومینیٹر کو ایک ہی نمبر سے ضرب کرسکتے ہیں
آپ اسے کسی نمبر سے ضرب کرسکتے ہیں
یہ بات سمجھ آتی ہے کیونکہ آدھا دفعہ ایک آدھا کے ہی برابر ہے
آپ وہ جانتے ہیں
ایک اور انداز ایک لکھنے کا یہ ہوسکتا ہے کہ آدھا دفعہ دو بٹا دو
دو بٹا دو ایک کے برابر ہے، اور وہ دو بٹا چار کے برابر ہے
اس کی وجہ کہ میں نے دو کیوں لیا یہ ہے کہ مجھے یہاں ڈینومینیٹر ایک ہی چاہیۓ تھا
مجھے امید ہے کہ میں آپ کو پوری طرح الجھن میں نہیں ڈال رہا ہوں
مجھے یہ سوال ختم کرنے دیں
تو ہمارے پاس ایک چوہتاي جمع دو چوہتاي ہے،
تو ہم جانتے ہیں کہ ہمیں بس نیومیریٹرز کو جمع کرنا ہے، تین
اور ڈینومینیٹر وہی رہے گا، تین چوہتاي
اور اگر ہم غور کریں، اچھی طرح سے،
ہم نے تین چوہتاي پاي کھالیا ہے
ایک اور کرتے ہیں
آدھا جمع ایک بٹا تین کرتے ہیں
ایک بار پھر، ہم دونوں ڈینومینیٹرز کو ایک بنانا چاہتے ہیں،
لیکن آپ کسی ایک کو ضرب نہیں دے سکتے----
ایسا کچھ نہیں ہے جسے میں تین سے ضرب کروں تو دو ملے،
یا کم از کم ایسا کوي انٹیگر نہیں کہ جسے میں تین سے ضرب دوں دو مل جاۓ
ایسا بھی کچھ نہیں ہے کہ جسے میں دو ضرب کروں تو تین ملے
تو مجھے ان دونوں کو برابر بنانے کیلیۓ ضرب کرنا ہوگا
تو ہم کای چاہتے ہیں
کہ ڈینومینیٹرز ایک جیسے ہوجایں
دو اور تین کا مشترکہ سب سے چھوٹا ضرب ہونے والا نمبر
دو اور تین کا مشترکہ سب سے چھوٹا ضرب ہونے والا نمبر کیا ہے؟
وہ سب سے چھوٹا نمبر جو دو اور تین دونوں سے ضرب ہوسکے
سب سے چھوٹا نمبر جو دو اور تین دونوں سے ضرب ہو وہ چھ ہے
تو ان کسر کو کچھ بٹا چھ بنانا ہے
تو آدھا کس کے برابر بٹا چھ ہوگا
یہ آپ کو مثاوی کسر سے معلوم ہونا چاہیۓ
اگر میں پیزا کے چھ تکڑوں میں سے آدھے کھالوں، تو میں تین کھا چکا ہوںگا، ٹھیک؟
یہ بات سمجھ آتی ہے
دو کا آدھا ایک ہے، اور چھ کا آدھا تین
اسی طرح سے، اگر میں چھ تکڑوں والے پیزا کا ایک تیہاي کھا لوں ،
یہ وہی چیز ہے کہ دو بٹا چھ
تو آدھا جمع ایک تیہاي برابر ہے تین بٹا چھ جمع دو بٹا چھ کے
غور کریں میں نے کچھ بیوقوفی نہیں کی
میں نے بس کیا کیا ہے کہ ان کسور کو مختلف ڈینومینیٹرز کے ساتھ لکھا ہے
میں نے پاي کے تکڑوں کی تعداد بھی تبدیل کردی،
اگر یہ مدد کرے تو
اب ہم ایسے مقام پہ ہیں کہ ہمیں سوال بہت آسان لگیں گے
ہمیں بس نیومیریٹرز کو جمع کرنا ہے، تین جمع دو پانچ،
اور ہم ڈینومینیٹر کو ایک ہی رکھیں گے
تین بٹا چھ جمع دو بٹا چھ ، پانچ بٹا چھ کے برابر ہے
اور تفریق بھی یہی چیز ہے
آدھا تفریق ایک تیہاي، یہ وہی چیز ہے کہ تین بٹا چھ تفریق دو بٹا چھ
وہ ایک بٹا چھ کے برابر ہے
کچھ اور سوال کرتے ہیں اور امید ہے کہ آپ کو سمجھ آنا شروع ہوگیا ہے
اور ہمیشہ یاد رکھیں کہ آپ پیشکش دوبارہ بھی دیکھ سکتے ہیں
یا اسے روک کر خود بھی کرنے کی کوشش کرسکتے ہیں
کیونکہ مجھے لگتا ہے کہ کبھی کبھی میں بہت تیز بول جاتا ہوں
میں آپ کو ایک کرو بال دیتا ہوں
ایک میں سے ایک بٹا دس کی تفریق کس کے برابر ہے؟
ایک کسر نہیں لگتا
لیکن آپ اسے کسر کی شکل میں لکھ سکتے ہیں
یہ وہی چیز ہے کہ ایک بٹا دس تفریق---
آپ ایک کیسے لکھیں گے کہ اس کے ڈینومینیٹر میں دس آۓ؟
ٹھیک
یہ دس بٹا دس کے برابر ہے، ٹھیک؟
دس بٹا دس ایک کے برابر ہے
تو ایک بٹا دس تفریق دس بٹا دس، یہ ایک تفریق دس کے ہی برابر ہے---
یاد رکھیں، ہم صرف نیومیریٹر کی تفریق کرتے ہیں
اور ہم ڈینومینیٹر دس ہی رکھیں گے، اور یہ منفی نو بٹا دس کے برابر ہے
ایک بٹا دس تفریق ایک، منفی نو بٹا دس کے برابر ہے
ایک اور کرتے ہیں
میرے خیال سے میرے پاس وقت ہے
منفی ایک بٹا نو تفریق ایک بٹا چار کرتے ہیں
سب سے چھوٹا نو اور چار سے مشترکہ ضرب ہونے والا نمبر چھتیس ہے
تو یہ چھتیس کے برابر ہوا
تو منفی ایک بٹا نو کس کے برابر ہوگا جب ہمیں ڈینومینیٹر چھتیس چاہیۓ ہو؟
ہم نو دفعہ چار کریںگے چھتیس کے لیۓ
ہمیں نیمیریٹر ک بھی اتنا ہی ضرب کرنا ہوگا
ہمارے پاس منفی ایک ہے تو یہ منفی چار بن جاۓ گا
پھر منفی ایک بٹا چھتیس
چار سے چھتیس پہ جانے کیلیۓ ہمیں نو سے ضرب کرنا ہوگا
یا ہمیں ڈینومینیٹر کو نو سے ضرب کرنا ہوگا
تو آپ کو نیومیریٹر کو بھی نو سے ضرب کرنا ہوگا
ایک دفعہ نو نو کے برابر ہے
تو یہ منفی چار تفریق نو بٹا چھتیس کے برابر ہے
جو منفی تیرہ بٹا چھتیس کے برابر ہے
میرے خیال سے اتنا کافی ہے
میں شاید کچھ اور بھی اضافہ کروںگا
لیکن میرے خیال سے اب آپ خود سے سوال کرسکتے ہیں
مزح کریں