WEBVTT 00:00:01.610 --> 00:00:05.362 Καλώς ήρθατε στην παρουσίαση για την πρόσθεση και την αφαίρεση κλασμάτων. 00:00:05.362 --> 00:00:08.225 Ας ξεκινήσουμε! 00:00:08.225 --> 00:00:12.110 Ας ξεκινήσουμε με κάτι που ελπίζω να μη σας μπερδέψει πολύ. 00:00:12.110 --> 00:00:15.120 Αυτή πρέπει λογικά να είναι μια σχετικά εύκολη ερώτηση. 00:00:15.130 --> 00:00:23.940 Ας πούμε ότι σας ρωτώ πόσο κάνει 1/4 + 1/4. 00:00:23.940 --> 00:00:25.260 Για να δούμε τι σημαίνει αυτό. 00:00:25.260 --> 00:00:32.358 Ας πούμε ότι είχα μια πίτα και αυτή διαιρούταν σε τέσσερα κομμάτια. 00:00:32.358 --> 00:00:35.170 Είναι λοιπόν σαν να λέμε ότι αυτό εδώ είναι το πρώτο ένα τέταρτο... 00:00:35.170 --> 00:00:37.710 ας το κάνω με διαφορετικό χρώμα... 00:00:37.720 --> 00:00:39.128 Αυτό εδώ ένα τέταρτο... 00:00:39.128 --> 00:00:42.652 ας πούμε ότι είναι το 1/4 της πίτας, σωστά; 00:00:42.652 --> 00:00:45.560 Και θέλουμε να το προσθέσουμε σε άλλο ένα τέταρτο της πίτας. 00:00:45.570 --> 00:00:51.600 Ας το κάνουμε αυτό -- ας αλλάξω χρώμα--ροζ. 00:00:51.600 --> 00:00:57.060 Αυτό το ένα τέταρτο, αυτό το ροζ ένα τέταρτο, είναι το ένα τέταρτο της πίτας. 00:00:57.070 --> 00:01:00.270 Αν λοιπόν έτρωγα και τα δύο αυτά τα ένα-τέταρτα... 00:01:00.301 --> 00:01:03.307 ή αν έτρωγα ένα τέταρτο και μετά έτρωγα κι άλλο ένα τέταρτο... 00:01:03.323 --> 00:01:04.560 πόσο θα είχα φάει; 00:01:04.560 --> 00:01:06.922 Θα μπορούσατε απλώς να κοιτάξετε την εικόνα... 00:01:06.937 --> 00:01:10.249 έχω φάει δύο από τα τέσσερα κομμάτια της πίτας. 00:01:10.249 --> 00:01:15.218 Έτσι, αν φάω ένα τέταρτο μιας πίτας... 00:01:15.218 --> 00:01:17.140 και στη συνέχεια φάω άλλο ένα τέταρτο της πίτας, 00:01:17.140 --> 00:01:21.643 θα έχω φάει δύο τέταρτα της πίτας. 00:01:21.658 --> 00:01:23.699 Και ξέρουμε από το μάθημα για τα ισοδύναμα κλάσματα... 00:01:23.699 --> 00:01:27.470 ότι αυτό είναι το ίδιο με το να είχα φάει τη μισή πίτα... 00:01:27.480 --> 00:01:28.320 κι αυτό βγάζει νόημα. 00:01:28.320 --> 00:01:32.140 Εάν φάω δύο από τα τέσσερα κομμάτια μιας πίτας, τότε θα έχω φάει τη μισή πίτα. 00:01:32.150 --> 00:01:34.952 Και αν το δούμε μαθηματικά, τι συνέβη εδώ; 00:01:34.952 --> 00:01:38.282 Οι παρονομαστές ή οι κάτω αριθμοί... 00:01:38.297 --> 00:01:41.270 οι κάτω αριθμοί στο κλάσμα έμειναν οι ίδιοι. 00:01:41.285 --> 00:01:44.335 Κι αυτό γιατί μας λένε το συνολικό αριθμό των κομματιών που έχω σε αυτό το παράδειγμα. 00:01:44.350 --> 00:01:47.428 Προσέθεσα τους αριθμητές, κι αυτό βγάζει νόημα. 00:01:47.428 --> 00:01:52.634 Έφαγα ένα από τα τέσσερα κομμάτια της πίτας και μετά έφαγα κι άλλο ένα από τα τέσσερα κομμάτια της πίτας... 00:01:52.634 --> 00:01:56.202 άρα έφαγα δύο από τα τέσσερα κομμάτια της πίτας, δηλαδή τη μισή πίτα. 00:01:56.202 --> 00:02:01.845 Ας κάνουμε ένα-δυο ακόμα παραδείγματα. 00:02:01.845 --> 00:02:09.256 Πόσο μας κάνει 2/5 + 1/5; 00:02:09.256 --> 00:02:11.750 Θα κάνουμε κι εδώ το ίδιο πράγμα. 00:02:11.750 --> 00:02:14.210 Θα ελέγξουμε πρώτα για να βεβαιωθείτε ότι το παρονομαστές είναι οι ίδιοι. 00:02:14.220 --> 00:02:16.935 Θα μάθουμε σε λίγο τι να κάνουμε αν οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί. 00:02:16.935 --> 00:02:21.053 Αν οι παρονομαστές είναι οι ίδιοι, ο παρονομαστής στην απάντηση θα είναι ο ίδιος μ' αυτούς. 00:02:21.053 --> 00:02:22.470 Και εμείς απλώς προσθέτουμε τους αριθμητές. 00:02:22.470 --> 00:02:31.078 2/5 + 1/5 ισούται με 2 + 5 και όλο αυτό προς 5, δηλαδή 3/5. 00:02:31.090 --> 00:02:33.370 Και αυτό ισχύει με τον ίδιο τρόπο στην αφαίρεση. 00:02:33.380 --> 00:02:42.420 Αν είχα να βρω πόσο κάνει το 3/7 - 2/7, η απάντηση θα ήταν 1/7. 00:02:42.430 --> 00:02:46.351 Απλώς αφαίρεσα 2 από το 3 και βρήκα το 1 00:02:46.367 --> 00:02:48.082 και κράτησα τον ίδιο παρονομαστή. 00:02:48.082 --> 00:02:48.920 Που βγάζει νόημα. 00:02:48.920 --> 00:02:52.476 Εάν φάω τρία από τα επτά κομμάτια μιας πίτας... 00:02:52.476 --> 00:02:55.595 και αν έδινα σε κάποιον 2 από τα 7 κομμάτια μιας πίτας... 00:02:55.595 --> 00:03:00.175 Θα μου έμενε 1 από τα 7 κομμάτια της πίτας. 00:03:00.180 --> 00:03:02.745 Πιστεύω όλα αυτά ήταν αρκετά ξεκάθαρα... 00:03:02.745 --> 00:03:04.564 τι κάνουμε δηλαδή όταν θα έχουμε το ίδιο παρονομαστή... 00:03:04.564 --> 00:03:06.860 Θυμηθείτε, ο παρονομαστής είναι απλώς ο κάτω αριθμός σε ένα κλάσμα. 00:03:06.870 --> 00:03:08.400 Ο αριθμητής είναι ο πάνω αριθμός. 00:03:08.400 --> 00:03:11.420 Τι συμβαίνει λοιπόν όταν έχουμε διαφορετικούς παρονομαστές; 00:03:11.430 --> 00:03:15.090 Λοιπόν, ας ελπίσουμε ότι αυτό δεν θα είναι πολύ δύσκολο. 00:03:15.090 --> 00:03:24.320 Ας υποθέσουμε ότι έχω 1/4 + 1/2. 00:03:24.330 --> 00:03:27.180 Ας πάμε πίσω στο αρχικό παράδειγμα με την πίτα. 00:03:27.180 --> 00:03:33.732 Ας σχεδιάσω την πίτα. 00:03:33.732 --> 00:03:37.244 Έτσι αυτό το πρώτο ένα-τέταρτο εδώ δεξιά , ας το χρωματίσω... 00:03:37.250 --> 00:03:40.460 αυτό είναι το ένα τέταρτο της πίτας. 00:03:40.460 --> 00:03:44.540 Και τώρα θα φάω άλλο ένα 1/2 της πίτας. 00:03:44.550 --> 00:03:46.450 Έτσι θα φάω ένα μισό της πίτας. 00:03:46.460 --> 00:03:49.090 Αυτό εδώ το μισό. 00:03:49.090 --> 00:03:54.590 Θα φάω όλο αυτό το μισό της πίτας. 00:03:54.605 --> 00:03:55.280 Με τι λοιπόν ισούται αυτό; 00:03:55.280 --> 00:03:57.180 Υπάρχουν διάφοροι τρόποι να το σκεφτούμε αυτό. 00:03:57.180 --> 00:03:59.200 Ο πρώτος είναι απλώς να ξαναγράψουμε το 1/2. 00:03:59.210 --> 00:04:07.115 Το 1/2 της πίτας στην πραγματικότητα είναι το ίδιο πράγμα με τα 2/4, σωστά; 00:04:07.115 --> 00:04:12.126 Υπάρχει 1/4 εδώ και στη συνέχεια άλλο 1/4 εδώ. 00:04:12.126 --> 00:04:14.802 Έτσι, το μισό είναι το ίδιο πράγμα με το 2 προς 4, 00:04:14.802 --> 00:04:17.667 και το γνωρίζουμε αυτό από το μάθημα των ισοδύναμων κλασμάτων. 00:04:17.667 --> 00:04:20.317 Έτσι γνωρίζουμε ότι 1/4 + 1/2... 00:04:20.317 --> 00:04:27.168 είναι το ίδιο πράγμα με το να πούμε 1/4 + 2/4, σωστά; 00:04:27.183 --> 00:04:35.591 Και το μόνο που έκανα εδώ, ήταν να αλλάξω το 1/2 σε 2/4... 00:04:35.591 --> 00:04:40.199 πολλαπλασιάζοντας ουσιαστικά τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με το 2. 00:04:40.199 --> 00:04:41.730 Και μπορείτε να το κάνετε αυτό σε κάθε κλάσμα. 00:04:41.740 --> 00:04:45.620 Εφόσον πολλαπλασιάζετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό... 00:04:45.620 --> 00:04:47.860 Μπορείτε να πολλαπλασιάσετε με οτιδήποτε. 00:04:47.860 --> 00:04:53.553 Αυτό βγάζει νόημα, καθώς 1/2 x 1 ισούται με 1/2. 00:04:53.553 --> 00:04:54.722 Το ξέρετε αυτό. 00:04:54.722 --> 00:05:00.060 Ένας άλλος τρόπος λοιπόν να το γράψουμε είναι 1/2 x 2/2... 00:05:00.070 --> 00:05:04.480 2/2 είναι το ίδιο με το 1... αυτό λοιπόν ισούται με 2/4. 00:05:04.490 --> 00:05:11.478 Ο λόγος που διάλεξα το 2 είναι γιατί θέλω να έχω τον ίδιο παρονομαστή εδώ. 00:05:11.478 --> 00:05:13.497 Ελπίζω να μην σας μπερδεύω τελείως. 00:05:13.520 --> 00:05:15.210 Λοιπόν, ας τελειώσουμε με αυτό το πρόβλημα. 00:05:15.220 --> 00:05:18.189 Έτσι, έχουμε 1/4 + 2/4... 00:05:18.205 --> 00:05:21.160 ξέρουμε λοιπόν ότι απλά προσθέτουμε τους αριθμητές...βρίσκουμε 3... 00:05:21.160 --> 00:05:22.747 και οι παρονομαστές μένουν οι ίδιοι... άρα έχουμε 3/4. 00:05:22.762 --> 00:05:25.180 Και αν κοιτάξουμε την εικόνα, θα δούμε ότι όντως 00:05:25.180 --> 00:05:29.360 έχουμε φάει τα 3/4 αυτής της πίτας. 00:05:29.370 --> 00:05:34.131 Ας κάνουμε ακόμα ένα. 00:05:34.172 --> 00:05:44.884 Ας κάνουμε το 1/2 + 1/3. 00:05:44.884 --> 00:05:48.160 Κι εδώ λοιπόν θέλουμε να κάνουμε τους παρονομαστές να είναι οι ίδιοι... 00:05:48.191 --> 00:05:51.360 αλλά δεν μπορούμε απλώς να πολλαπλασιάσουμε έναν από αυτούς... 00:05:51.370 --> 00:05:53.850 δεν υπάρχει κάτι με το οποίο μπορώ να πολλαπλασιάσω το 3 για να πάρω 2... 00:05:53.850 --> 00:05:56.500 δεν υπάρχει δηλαδή κάποιος αριθμός, που να είναι ακέραιος, με τον οποίο μπορώ να πολλαπλασιάσω το 3 για να πάρω 2. 00:05:56.500 --> 00:05:58.880 Και δεν υπάρχει τίποτα με το οποίο μπορώ να πολλαπλασιάσω το 2 για να πάρω 3. 00:05:58.890 --> 00:06:01.860 Άρα πρέπει να τα πολλαπλασιάσω και τα δύο για να εξισωθούν. 00:06:01.870 --> 00:06:04.815 Αποδεικνύεται ότι αυτό που θέλουμε... 00:06:04.815 --> 00:06:07.065 Αυτό που θα ονομάσουμε "κοινό παρονομαστή", 00:06:07.065 --> 00:06:11.120 αποδεικνύεται ότι είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 2 και του 3. 00:06:11.120 --> 00:06:13.380 Ποιο είναι λοιπόν το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 2 και του 3; 00:06:13.390 --> 00:06:17.863 Είναι ο μικρότερος αριθμός που είναι πολλαπλάσιο τόσο του 2, όσο και του 3. 00:06:17.863 --> 00:06:23.488 Ο μικρότερος λοιπόν αριθμός που είναι πολλαπλάσιο τόσο του 2, όσο και του 3, είναι το 6. 00:06:23.488 --> 00:06:27.880 Ας μετατρέψουμε λοιπόν και τα δύο αυτά κλάσματα ώστε να έχουν παρονομαστή το 6. 00:06:27.880 --> 00:06:30.320 Με "πόσα έκτα" ισούται λοιπόν το 1/2; 00:06:30.330 --> 00:06:33.310 Πρέπει να το ξέρετε αυτό από το μάθημα των ισοδύναμων κλασμάτων. 00:06:33.310 --> 00:06:40.259 Αν φάω το μισό μιας πίτσας με 6 κομμάτια, θα έχω φάει 3 κομμάτια, σωστά; 00:06:40.260 --> 00:06:40.810 Βγάζει νόημα. 00:06:40.810 --> 00:06:43.930 Το 1 είναι το μισό του 2... το 3 είναι το μισό του 6. 00:06:43.940 --> 00:06:47.630 Ομοίως, αν φάω το 1/3 μιας πίτσας με 6 κομμάτια... 00:06:47.640 --> 00:06:50.720 είναι το ίδιο πράγμα με τα 2/6. 00:06:50.730 --> 00:06:57.690 Έτσι το 1/2 + 1/3 είναι το ίδιο με το 3/6 + 2/6. 00:06:57.690 --> 00:06:58.970 Είδατε ότι δεν έκανα τίποτε τρελό! 00:06:58.980 --> 00:07:03.205 Το μόνο που έκανα ήταν να ξαναγράψω και τα δύο αυτά κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. 00:07:03.220 --> 00:07:06.040 Ουσιαστικά άλλαξα τον αριθμό των κομματιών της πίτας... 00:07:06.050 --> 00:07:08.820 αν αυτό σας βοηθά. 00:07:08.820 --> 00:07:11.215 Τώρα λοιπόν που φτάσαμε σ' αυτό το σημείο, το πρόβλημα γίνεται πολύ εύκολο. 00:07:11.215 --> 00:07:14.245 Απλώς προσθέτουμε τους αριθμητές... 3 + 2 = 5... 00:07:14.261 --> 00:07:16.800 και κρατάμε τους ίδιους παρονομαστές. 00:07:16.815 --> 00:07:22.647 3/6 + 2/6 = 5/6 00:07:22.647 --> 00:07:24.768 Και η αφαίρεση είναι το ίδιο πράγμα. 00:07:24.768 --> 00:07:35.142 1/2 - 1/3 είναι το ίδιο με το 3/6 - 2/6... 00:07:35.142 --> 00:07:39.520 Κι αυτό ισούται με 1/6. 00:07:39.520 --> 00:07:43.988 Ας κάνουμε κι άλλα προβλήματα και ελπίζω ότι θα αρχίσετε να το μαθαίνετε καλά. 00:07:43.990 --> 00:07:47.202 Και να θυμάστε πάντα ότι μπορείτε να ξαναδείτε την παρουσίαση... 00:07:47.202 --> 00:07:49.198 ή μπορείτε να τη διακόψετε, να πατήσετε την παύση, και να προσπαθήσετε να κάνετε τα προβλήματα από μόνοι σας... 00:07:49.198 --> 00:07:52.465 γιατί νομίζω ότι ορισμένες φορές μιλάω γρήγορα. 00:07:52.465 --> 00:07:55.100 Ας σας ρίξω μια δύσκολη μπαλιά. 00:07:55.100 --> 00:07:59.320 Πόσο μας κάνει 1/10 - 1;; 00:07:59.320 --> 00:08:01.620 Αυτό λοιπόν δεν μοιάζει καν με κλάσμα. 00:08:01.620 --> 00:08:04.130 Αλλά μπορείτε να το γράψετε ως κλάσμα. 00:08:04.140 --> 00:08:07.734 Είναι λοιπόν το ίδιο με το 1/10 μείον... 00:08:07.734 --> 00:08:11.296 πώς θα μπορούσαμε να γράψουμε το 1 ώστε να έχει παρονομαστή το 10; 00:08:11.296 --> 00:08:11.796 Σωστά. 00:08:11.796 --> 00:08:14.820 Είναι το ίδιο πράγμα με το 10/10, σωστά; 00:08:14.820 --> 00:08:16.320 10/10 ίσον 1. 00:08:16.320 --> 00:08:20.880 Άρα το 1/10 - 1 είναι το ίδιο με το (1-10) / 10. 00:08:20.890 --> 00:08:24.494 Θυμηθείτε, αφαιρούμε μόνο τους αριθμητές... 00:08:24.494 --> 00:08:31.160 και κρατάμε τον παρονομαστή 10... άρα αυτό ισούται με -9/10. 00:08:31.170 --> 00:08:34.370 1/10 - 1 = -9/10. 00:08:34.370 --> 00:08:36.546 Ας κάνουμε ακόμα άλλο. Ας κάνουμε ένα ακόμη. 00:08:36.546 --> 00:08:38.670 Έχουμε χρόνο για άλλο ένα. 00:08:38.670 --> 00:08:47.310 Ας κάνουμε το -1/9 - 1/4. 00:08:47.320 --> 00:08:53.760 Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο λοιπόν του 9 και του 4 είναι το 36. 00:08:53.760 --> 00:08:55.580 Άρα αυτό ισούται με 36. 00:08:55.590 --> 00:09:01.978 Πώς θα γράψουμε λοιπόν το -1/9 για να αλλάξουμε τον παρονομαστή από 9 σε 36; 00:09:02.000 --> 00:09:05.010 Θα πολλαπλασιάσουμε το 9 με το 4 για να πάρουμε το 36. 00:09:05.020 --> 00:09:07.220 Άρα θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε και τον αριθμητή με το 4. 00:09:07.230 --> 00:09:11.850 Έχουμε λοιπόν -1, άρα αυτό θα γίνει -4. 00:09:11.860 --> 00:09:16.860 άρα έχουμε αυτό, μείον... 00:09:16.860 --> 00:09:20.110 για να πάμε λοιπόν από το 4 στο 36, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε αυτό το κλάσμα με το 9... 00:09:20.110 --> 00:09:23.070 θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον παρονομαστή με το 9... 00:09:23.070 --> 00:09:25.190 άρα θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε και τον αριθμητή με το 9. 00:09:25.190 --> 00:09:28.360 1 x 9 = 9. 00:09:28.370 --> 00:09:35.195 Άρα αυτό ισούται με (-4 - 9) / 36... 00:09:35.195 --> 00:09:39.898 που ισούται με -13/36. 00:09:39.898 --> 00:09:41.631 Νομίζω ότι εξαντλήσαμε το χρόνο μας. 00:09:41.631 --> 00:09:43.731 Και μάλλον θα φτιάξω κι άλλα τέτοια μαθήματα. 00:09:43.731 --> 00:09:47.400 Αλλά νομίζω ότι τώρα πια μπορείτε να κάνετε τις ασκήσεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης. 00:09:47.400 --> 00:09:48.162 Καλή διασκέδαση.