0:00:01.610,0:00:05.362 Καλώς ήρθατε στην παρουσίαση για την πρόσθεση και την αφαίρεση κλασμάτων. 0:00:05.362,0:00:08.225 Ας ξεκινήσουμε! 0:00:08.225,0:00:12.110 Ας ξεκινήσουμε με κάτι που ελπίζω να μη σας μπερδέψει πολύ. 0:00:12.110,0:00:15.120 Αυτή πρέπει λογικά να είναι μια σχετικά εύκολη ερώτηση. 0:00:15.130,0:00:23.940 Ας πούμε ότι σας ρωτώ πόσο κάνει 1/4 + 1/4. 0:00:23.940,0:00:25.260 Για να δούμε τι σημαίνει αυτό. 0:00:25.260,0:00:32.358 Ας πούμε ότι είχα μια πίτα και αυτή διαιρούταν σε τέσσερα κομμάτια. 0:00:32.358,0:00:35.170 Είναι λοιπόν σαν να λέμε ότι αυτό εδώ είναι το πρώτο ένα τέταρτο... 0:00:35.170,0:00:37.710 ας το κάνω με διαφορετικό χρώμα... 0:00:37.720,0:00:39.128 Αυτό εδώ ένα τέταρτο... 0:00:39.128,0:00:42.652 ας πούμε ότι είναι το 1/4 της πίτας, σωστά; 0:00:42.652,0:00:45.560 Και θέλουμε να το προσθέσουμε σε άλλο ένα τέταρτο της πίτας. 0:00:45.570,0:00:51.600 Ας το κάνουμε αυτό -- ας αλλάξω χρώμα--ροζ. 0:00:51.600,0:00:57.060 Αυτό το ένα τέταρτο, αυτό το ροζ ένα τέταρτο, είναι το ένα τέταρτο της πίτας. 0:00:57.070,0:01:00.270 Αν λοιπόν έτρωγα και τα δύο αυτά τα ένα-τέταρτα... 0:01:00.301,0:01:03.307 ή αν έτρωγα ένα τέταρτο και μετά έτρωγα κι άλλο ένα τέταρτο... 0:01:03.323,0:01:04.560 πόσο θα είχα φάει; 0:01:04.560,0:01:06.922 Θα μπορούσατε απλώς να κοιτάξετε την εικόνα... 0:01:06.937,0:01:10.249 έχω φάει δύο από τα τέσσερα κομμάτια της πίτας. 0:01:10.249,0:01:15.218 Έτσι, αν φάω ένα τέταρτο μιας πίτας... 0:01:15.218,0:01:17.140 και στη συνέχεια φάω άλλο ένα τέταρτο της πίτας, 0:01:17.140,0:01:21.643 θα έχω φάει δύο τέταρτα της πίτας. 0:01:21.658,0:01:23.699 Και ξέρουμε από το μάθημα για τα ισοδύναμα κλάσματα... 0:01:23.699,0:01:27.470 ότι αυτό είναι το ίδιο με το να είχα φάει τη μισή πίτα... 0:01:27.480,0:01:28.320 κι αυτό βγάζει νόημα. 0:01:28.320,0:01:32.140 Εάν φάω δύο από τα τέσσερα κομμάτια μιας πίτας, τότε θα έχω φάει τη μισή πίτα. 0:01:32.150,0:01:34.952 Και αν το δούμε μαθηματικά, τι συνέβη εδώ; 0:01:34.952,0:01:38.282 Οι παρονομαστές ή οι κάτω αριθμοί... 0:01:38.297,0:01:41.270 οι κάτω αριθμοί στο κλάσμα έμειναν οι ίδιοι. 0:01:41.285,0:01:44.335 Κι αυτό γιατί μας λένε το συνολικό αριθμό των κομματιών που έχω σε αυτό το παράδειγμα. 0:01:44.350,0:01:47.428 Προσέθεσα τους αριθμητές, κι αυτό βγάζει νόημα. 0:01:47.428,0:01:52.634 Έφαγα ένα από τα τέσσερα κομμάτια της πίτας και μετά έφαγα κι άλλο ένα από τα τέσσερα κομμάτια της πίτας... 0:01:52.634,0:01:56.202 άρα έφαγα δύο από τα τέσσερα κομμάτια της πίτας, δηλαδή τη μισή πίτα. 0:01:56.202,0:02:01.845 Ας κάνουμε ένα-δυο ακόμα παραδείγματα. 0:02:01.845,0:02:09.256 Πόσο μας κάνει 2/5 + 1/5; 0:02:09.256,0:02:11.750 Θα κάνουμε κι εδώ το ίδιο πράγμα. 0:02:11.750,0:02:14.210 Θα ελέγξουμε πρώτα για να βεβαιωθείτε ότι το παρονομαστές είναι οι ίδιοι. 0:02:14.220,0:02:16.935 Θα μάθουμε σε λίγο τι να κάνουμε αν οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί. 0:02:16.935,0:02:21.053 Αν οι παρονομαστές είναι οι ίδιοι, ο παρονομαστής στην απάντηση θα είναι ο ίδιος μ' αυτούς. 0:02:21.053,0:02:22.470 Και εμείς απλώς προσθέτουμε τους αριθμητές. 0:02:22.470,0:02:31.078 2/5 + 1/5 ισούται με 2 + 5 και όλο αυτό προς 5, δηλαδή 3/5. 0:02:31.090,0:02:33.370 Και αυτό ισχύει με τον ίδιο τρόπο στην αφαίρεση. 0:02:33.380,0:02:42.420 Αν είχα να βρω πόσο κάνει το 3/7 - 2/7, η απάντηση θα ήταν 1/7. 0:02:42.430,0:02:46.351 Απλώς αφαίρεσα 2 από το 3 και βρήκα το 1 0:02:46.367,0:02:48.082 και κράτησα τον ίδιο παρονομαστή. 0:02:48.082,0:02:48.920 Που βγάζει νόημα. 0:02:48.920,0:02:52.476 Εάν φάω τρία από τα επτά κομμάτια μιας πίτας... 0:02:52.476,0:02:55.595 και αν έδινα σε κάποιον 2 από τα 7 κομμάτια μιας πίτας... 0:02:55.595,0:03:00.175 Θα μου έμενε 1 από τα 7 κομμάτια της πίτας. 0:03:00.180,0:03:02.745 Πιστεύω όλα αυτά ήταν αρκετά ξεκάθαρα... 0:03:02.745,0:03:04.564 τι κάνουμε δηλαδή όταν θα έχουμε το ίδιο παρονομαστή... 0:03:04.564,0:03:06.860 Θυμηθείτε, ο παρονομαστής είναι απλώς ο κάτω αριθμός σε ένα κλάσμα. 0:03:06.870,0:03:08.400 Ο αριθμητής είναι ο πάνω αριθμός. 0:03:08.400,0:03:11.420 Τι συμβαίνει λοιπόν όταν έχουμε διαφορετικούς παρονομαστές; 0:03:11.430,0:03:15.090 Λοιπόν, ας ελπίσουμε ότι αυτό δεν θα είναι πολύ δύσκολο. 0:03:15.090,0:03:24.320 Ας υποθέσουμε ότι έχω 1/4 + 1/2. 0:03:24.330,0:03:27.180 Ας πάμε πίσω στο αρχικό παράδειγμα με την πίτα. 0:03:27.180,0:03:33.732 Ας σχεδιάσω την πίτα. 0:03:33.732,0:03:37.244 Έτσι αυτό το πρώτο ένα-τέταρτο εδώ δεξιά , ας το χρωματίσω... 0:03:37.250,0:03:40.460 αυτό είναι το ένα τέταρτο της πίτας. 0:03:40.460,0:03:44.540 Και τώρα θα φάω άλλο ένα 1/2 της πίτας. 0:03:44.550,0:03:46.450 Έτσι θα φάω ένα μισό της πίτας. 0:03:46.460,0:03:49.090 Αυτό εδώ το μισό. 0:03:49.090,0:03:54.590 Θα φάω όλο αυτό το μισό της πίτας. 0:03:54.605,0:03:55.280 Με τι λοιπόν ισούται αυτό; 0:03:55.280,0:03:57.180 Υπάρχουν διάφοροι τρόποι να το σκεφτούμε αυτό. 0:03:57.180,0:03:59.200 Ο πρώτος είναι απλώς να ξαναγράψουμε το 1/2. 0:03:59.210,0:04:07.115 Το 1/2 της πίτας στην πραγματικότητα είναι το ίδιο πράγμα με τα 2/4, σωστά; 0:04:07.115,0:04:12.126 Υπάρχει 1/4 εδώ και στη συνέχεια άλλο 1/4 εδώ. 0:04:12.126,0:04:14.802 Έτσι, το μισό είναι το ίδιο πράγμα με το 2 προς 4, 0:04:14.802,0:04:17.667 και το γνωρίζουμε αυτό από το μάθημα των ισοδύναμων κλασμάτων. 0:04:17.667,0:04:20.317 Έτσι γνωρίζουμε ότι 1/4 + 1/2... 0:04:20.317,0:04:27.168 είναι το ίδιο πράγμα με το να πούμε 1/4 + 2/4, σωστά; 0:04:27.183,0:04:35.591 Και το μόνο που έκανα εδώ, ήταν να αλλάξω το 1/2 σε 2/4... 0:04:35.591,0:04:40.199 πολλαπλασιάζοντας ουσιαστικά τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με το 2. 0:04:40.199,0:04:41.730 Και μπορείτε να το κάνετε αυτό σε κάθε κλάσμα. 0:04:41.740,0:04:45.620 Εφόσον πολλαπλασιάζετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό... 0:04:45.620,0:04:47.860 Μπορείτε να πολλαπλασιάσετε με οτιδήποτε. 0:04:47.860,0:04:53.553 Αυτό βγάζει νόημα, καθώς 1/2 x 1 ισούται με 1/2. 0:04:53.553,0:04:54.722 Το ξέρετε αυτό. 0:04:54.722,0:05:00.060 Ένας άλλος τρόπος λοιπόν να το γράψουμε είναι 1/2 x 2/2... 0:05:00.070,0:05:04.480 2/2 είναι το ίδιο με το 1... αυτό λοιπόν ισούται με 2/4. 0:05:04.490,0:05:11.478 Ο λόγος που διάλεξα το 2 είναι γιατί θέλω να έχω τον ίδιο παρονομαστή εδώ. 0:05:11.478,0:05:13.497 Ελπίζω να μην σας μπερδεύω τελείως. 0:05:13.520,0:05:15.210 Λοιπόν, ας τελειώσουμε με αυτό το πρόβλημα. 0:05:15.220,0:05:18.189 Έτσι, έχουμε 1/4 + 2/4... 0:05:18.205,0:05:21.160 ξέρουμε λοιπόν ότι απλά προσθέτουμε τους αριθμητές...βρίσκουμε 3... 0:05:21.160,0:05:22.747 και οι παρονομαστές μένουν οι ίδιοι... άρα έχουμε 3/4. 0:05:22.762,0:05:25.180 Και αν κοιτάξουμε την εικόνα, θα δούμε ότι όντως 0:05:25.180,0:05:29.360 έχουμε φάει τα 3/4 αυτής της πίτας. 0:05:29.370,0:05:34.131 Ας κάνουμε ακόμα ένα. 0:05:34.172,0:05:44.884 Ας κάνουμε το 1/2 + 1/3. 0:05:44.884,0:05:48.160 Κι εδώ λοιπόν θέλουμε να κάνουμε τους παρονομαστές να είναι οι ίδιοι... 0:05:48.191,0:05:51.360 αλλά δεν μπορούμε απλώς να πολλαπλασιάσουμε έναν από αυτούς... 0:05:51.370,0:05:53.850 δεν υπάρχει κάτι με το οποίο μπορώ να πολλαπλασιάσω το 3 για να πάρω 2... 0:05:53.850,0:05:56.500 δεν υπάρχει δηλαδή κάποιος αριθμός, που να είναι ακέραιος, με τον οποίο μπορώ να πολλαπλασιάσω το 3 για να πάρω 2. 0:05:56.500,0:05:58.880 Και δεν υπάρχει τίποτα με το οποίο μπορώ να πολλαπλασιάσω το 2 για να πάρω 3. 0:05:58.890,0:06:01.860 Άρα πρέπει να τα πολλαπλασιάσω και τα δύο για να εξισωθούν. 0:06:01.870,0:06:04.815 Αποδεικνύεται ότι αυτό που θέλουμε... 0:06:04.815,0:06:07.065 Αυτό που θα ονομάσουμε "κοινό παρονομαστή", 0:06:07.065,0:06:11.120 αποδεικνύεται ότι είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 2 και του 3. 0:06:11.120,0:06:13.380 Ποιο είναι λοιπόν το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 2 και του 3; 0:06:13.390,0:06:17.863 Είναι ο μικρότερος αριθμός που είναι πολλαπλάσιο τόσο του 2, όσο και του 3. 0:06:17.863,0:06:23.488 Ο μικρότερος λοιπόν αριθμός που είναι πολλαπλάσιο τόσο του 2, όσο και του 3, είναι το 6. 0:06:23.488,0:06:27.880 Ας μετατρέψουμε λοιπόν και τα δύο αυτά κλάσματα ώστε να έχουν παρονομαστή το 6. 0:06:27.880,0:06:30.320 Με "πόσα έκτα" ισούται λοιπόν το 1/2; 0:06:30.330,0:06:33.310 Πρέπει να το ξέρετε αυτό από το μάθημα των ισοδύναμων κλασμάτων. 0:06:33.310,0:06:40.259 Αν φάω το μισό μιας πίτσας με 6 κομμάτια, θα έχω φάει 3 κομμάτια, σωστά; 0:06:40.260,0:06:40.810 Βγάζει νόημα. 0:06:40.810,0:06:43.930 Το 1 είναι το μισό του 2... το 3 είναι το μισό του 6. 0:06:43.940,0:06:47.630 Ομοίως, αν φάω το 1/3 μιας πίτσας με 6 κομμάτια... 0:06:47.640,0:06:50.720 είναι το ίδιο πράγμα με τα 2/6. 0:06:50.730,0:06:57.690 Έτσι το 1/2 + 1/3 είναι το ίδιο με το 3/6 + 2/6. 0:06:57.690,0:06:58.970 Είδατε ότι δεν έκανα τίποτε τρελό! 0:06:58.980,0:07:03.205 Το μόνο που έκανα ήταν να ξαναγράψω και τα δύο αυτά κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. 0:07:03.220,0:07:06.040 Ουσιαστικά άλλαξα τον αριθμό των κομματιών της πίτας... 0:07:06.050,0:07:08.820 αν αυτό σας βοηθά. 0:07:08.820,0:07:11.215 Τώρα λοιπόν που φτάσαμε σ' αυτό το σημείο, το πρόβλημα γίνεται πολύ εύκολο. 0:07:11.215,0:07:14.245 Απλώς προσθέτουμε τους αριθμητές... 3 + 2 = 5... 0:07:14.261,0:07:16.800 και κρατάμε τους ίδιους παρονομαστές. 0:07:16.815,0:07:22.647 3/6 + 2/6 = 5/6 0:07:22.647,0:07:24.768 Και η αφαίρεση είναι το ίδιο πράγμα. 0:07:24.768,0:07:35.142 1/2 - 1/3 είναι το ίδιο με το 3/6 - 2/6... 0:07:35.142,0:07:39.520 Κι αυτό ισούται με 1/6. 0:07:39.520,0:07:43.988 Ας κάνουμε κι άλλα προβλήματα και ελπίζω ότι θα αρχίσετε να το μαθαίνετε καλά. 0:07:43.990,0:07:47.202 Και να θυμάστε πάντα ότι μπορείτε να ξαναδείτε την παρουσίαση... 0:07:47.202,0:07:49.198 ή μπορείτε να τη διακόψετε, να πατήσετε την παύση, και να προσπαθήσετε να κάνετε τα προβλήματα από μόνοι σας... 0:07:49.198,0:07:52.465 γιατί νομίζω ότι ορισμένες φορές μιλάω γρήγορα. 0:07:52.465,0:07:55.100 Ας σας ρίξω μια δύσκολη μπαλιά. 0:07:55.100,0:07:59.320 Πόσο μας κάνει 1/10 - 1;; 0:07:59.320,0:08:01.620 Αυτό λοιπόν δεν μοιάζει καν με κλάσμα. 0:08:01.620,0:08:04.130 Αλλά μπορείτε να το γράψετε ως κλάσμα. 0:08:04.140,0:08:07.734 Είναι λοιπόν το ίδιο με το 1/10 μείον... 0:08:07.734,0:08:11.296 πώς θα μπορούσαμε να γράψουμε το 1 ώστε να έχει παρονομαστή το 10; 0:08:11.296,0:08:11.796 Σωστά. 0:08:11.796,0:08:14.820 Είναι το ίδιο πράγμα με το 10/10, σωστά; 0:08:14.820,0:08:16.320 10/10 ίσον 1. 0:08:16.320,0:08:20.880 Άρα το 1/10 - 1 είναι το ίδιο με το (1-10) / 10. 0:08:20.890,0:08:24.494 Θυμηθείτε, αφαιρούμε μόνο τους αριθμητές... 0:08:24.494,0:08:31.160 και κρατάμε τον παρονομαστή 10... άρα αυτό ισούται με -9/10. 0:08:31.170,0:08:34.370 1/10 - 1 = -9/10. 0:08:34.370,0:08:36.546 Ας κάνουμε ακόμα άλλο. Ας κάνουμε ένα ακόμη. 0:08:36.546,0:08:38.670 Έχουμε χρόνο για άλλο ένα. 0:08:38.670,0:08:47.310 Ας κάνουμε το -1/9 - 1/4. 0:08:47.320,0:08:53.760 Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο λοιπόν του 9 και του 4 είναι το 36. 0:08:53.760,0:08:55.580 Άρα αυτό ισούται με 36. 0:08:55.590,0:09:01.978 Πώς θα γράψουμε λοιπόν το -1/9 για να αλλάξουμε τον παρονομαστή από 9 σε 36; 0:09:02.000,0:09:05.010 Θα πολλαπλασιάσουμε το 9 με το 4 για να πάρουμε το 36. 0:09:05.020,0:09:07.220 Άρα θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε και τον αριθμητή με το 4. 0:09:07.230,0:09:11.850 Έχουμε λοιπόν -1, άρα αυτό θα γίνει -4. 0:09:11.860,0:09:16.860 άρα έχουμε αυτό, μείον... 0:09:16.860,0:09:20.110 για να πάμε λοιπόν από το 4 στο 36, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε αυτό το κλάσμα με το 9... 0:09:20.110,0:09:23.070 θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον παρονομαστή με το 9... 0:09:23.070,0:09:25.190 άρα θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε και τον αριθμητή με το 9. 0:09:25.190,0:09:28.360 1 x 9 = 9. 0:09:28.370,0:09:35.195 Άρα αυτό ισούται με (-4 - 9) / 36... 0:09:35.195,0:09:39.898 που ισούται με -13/36. 0:09:39.898,0:09:41.631 Νομίζω ότι εξαντλήσαμε το χρόνο μας. 0:09:41.631,0:09:43.731 Και μάλλον θα φτιάξω κι άλλα τέτοια μαθήματα. 0:09:43.731,0:09:47.400 Αλλά νομίζω ότι τώρα πια μπορείτε να κάνετε τις ασκήσεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης. 0:09:47.400,0:09:48.162 Καλή διασκέδαση.