WEBVTT 00:00:00.000 --> 00:00:05.267 Σ' αυτό το βίντεο θέλω να κάνω κάποια παραδείγματα προβλημάτων που μπαίνουν στα τεστ... 00:00:05.267 --> 00:00:10.200 και σίγουρα θα σας βοηθήσουν στις ασκήσεις στο σάιτ, γιατί εκεί υπάρχουν ερωτήσεις σαν κι αυτή: 00:00:10.200 --> 00:00:12.800 "Όλοι οι αριθμοί" κι αυτό είναι ένα μόνο από τα παραδείγματα... 00:00:12.800 --> 00:00:18.067 "Όλοι οι αριθμοί που διαιρούνται τόσο από το 12 όσο και από το 20, διαιρούνται επίσης από το ..." 00:00:18.067 --> 00:00:22.467 και το κόλπο εδώ είναι να καταλάβετε ότι αν ένας αριθμός διαιρείται τόσο από το 12, όσο και από το 20... 00:00:22.467 --> 00:00:27.191 θα πρέπει να διαιρείται από καθένα από τους πρώτους παράγοντες αυτών των αριθμών. 00:00:27.191 --> 00:00:29.443 Ας τους παραγοντοποιήσουμε λοιπόν για να βρούμε τους πρώτους παράγοντες. 00:00:29.443 --> 00:00:33.019 Η παραγοντοποίηση του 12 είναι 2 x 6 ... 00:00:33.019 --> 00:00:36.333 το 6 δεν είναι ακόμα πρώτος αριθμός, άρα το 6 γίνεται 2 x 3... 00:00:36.333 --> 00:00:37.361 Έτσι, αυτός είναι πρώτος αριθμός... 00:00:37.361 --> 00:00:42.600 άρα, κάθε αριθμός που διαιρείται από το 12, πρέπει να διαιρείται κι από το 2 x 3 x 3... 00:00:42.600 --> 00:00:46.867 Έτσι η παραγοντοποίησή του πρέπει να έχει ένα 2 x 2 x 3 μέσα της... 00:00:46.867 --> 00:00:49.467 για κάθε αριθμό που διαιρείται από το 12. 00:00:49.467 --> 00:00:53.359 Τώρα, κάθε αριθμός που διαιρείται από το 20, πρέπει να διαιρείται και από... 00:00:53.359 --> 00:00:56.448 ας κάνουμε την παραγοντοποίησή του... 00:00:56.448 --> 00:01:00.133 2 x 10... το 10 είναι 2 x 5... 00:01:00.133 --> 00:01:06.933 άρα κάθε αριθμός που διαιρείται από το 2, πρέπει επίσης να διαιρείται και από το 2 x 2 x 5... 00:01:06.933 --> 00:01:12.702 ή αλλιώς, πρέπει να έχει δύο δυάρια και ένα 5 στην παραγοντοποίησή του. 00:01:12.702 --> 00:01:17.694 Τώρα, αν ένας αριθμός διαιρείται και από το 12 και από το 20, πρέπει να έχει 2 δυάρια, ένα 3 και ένα 5. 00:01:17.694 --> 00:01:23.067 δύο 2άρια και ένα 3 για το 12, και μετά δυο 2άρια και ένα 5 για το 20. 00:01:23.067 --> 00:01:25.867 Και μπορείτε να το επιβεβαιώσετε και σεις ότι αυτό διαιρείται και από τους δύο αριθμούς μας. 00:01:25.867 --> 00:01:34.800 Προφανώς, αν διαιρέσεις έναν αριθμό με το 20, είναι το ίδιο με το να τον διαιρέσεις με το 2 x 2 x 5. 00:01:34.800 --> 00:01:38.400 Άρα θα έχουμε... τα δυάρια αλληλοεξουδετερώνονται, τα 5άρια αλληλοεξουδετερώνονται... 00:01:38.400 --> 00:01:43.133 μας μένει ένα 3, άρα σίγουρα διαιρείται με το 20... 00:01:43.133 --> 00:01:50.333 και αν διαιρείται με το 12, θα διαιρούταν με το 2 x 2 x 3... 00:01:50.333 --> 00:01:51.867 που είναι το ίδιο με το 12. 00:01:51.867 --> 00:01:55.200 Άρα αυτά εδώ θα αλληλοεξουδετερώνονταν, και θα μας έμεινε αυτό το 5. 00:01:55.200 --> 00:01:58.120 άρα σίγουρα διαιρείται και από τα δύο, και ο αριθμός αυτός εδώ πέρα είναι το 60... 00:01:58.120 --> 00:02:02.067 είναι το 4 x 3 που μας κάνει 12 x 5 που μας κάνει 60. 00:02:02.067 --> 00:02:06.933 Αυτός εδώ ο αριθμός είναι στην πραγματικότητα το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 12 και του 20. 00:02:06.933 --> 00:02:11.286 Τώρα, το 60 δεν είναι ο μόνος αριθμός που διαιρείται από το 12 και το 20... 00:02:11.286 --> 00:02:14.267 Θα μπορούσαμε να πολλαπλασιάσουμε αυτόν εδώ τον αριθμό με ένα σωρό... 00:02:14.267 --> 00:02:19.333 άλλων παραγόντων, τους οποίους ονομάζω α, β και γ. 00:02:19.333 --> 00:02:25.000 Αλλά αυτός είναι ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται από το 12 και το 20. 00:02:25.000 --> 00:02:28.283 Κάθε μεγαλύτερος αριθμός θα διαιρείται από τους ίδιους αριθμούς με το 60, που είναι ο μικρότερος. 00:02:28.283 --> 00:02:31.933 Τώρα, αφού τα βρήκαμε αυτά, ας απαντήσουμε τις ερωτήσεις. 00:02:31.933 --> 00:02:35.733 Όλοι οι αριθμοί που διαιρούνται από το 12 και το 20, διαιρούνται επίσης από το... 00:02:35.733 --> 00:02:37.867 Λοιπόν, δεν ξέρουμε ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί... 00:02:37.867 --> 00:02:39.933 Άρα δεν μπορούμε να το απαντήσουμε... 00:02:39.933 --> 00:02:41.355 θα μπορούσε να είναι μόνο το 1, ή να μην υπάρχει καν τέτοιος αριθμός.... 00:02:41.355 --> 00:02:44.867 γιατί ο αριθμός θα μπορούσε να είναι το 60, θα μπορούσε να είναι το 120... 00:02:44.867 --> 00:02:50.467 ποιος ξέρει ποιος αριθμός είναι αυτός; Έτσι, οι μόνοι αριθμοί που ξέρουμε που θα μπορούσαν να διαιρεθούν μ' αυτόν τον αριθμό... 00:02:50.467 --> 00:02:54.267 λοιπόν, ξέρουμε ότι το 2 μπορεί να διαιρεθεί. Ξέρουμε ότι το 2 είναι ένας αριθμός που μας κάνει... 00:02:54.267 --> 00:02:57.533 το 2 προφανώς διαιρείται με το 2 x 2 x 3 x 5. 00:02:57.533 --> 00:03:01.067 Ξέρουμε ότι το 2 x 2 διαιρείται μ' αυτό. 00:03:01.067 --> 00:03:03.733 Έχουμε το 2 x 2 εδώ πέρα. 00:03:03.733 --> 00:03:06.400 Ξέρουμε ότι το 3 διαιρείται μ' αυτό. 00:03:06.400 --> 00:03:08.933 Ξέρουμε ότι το 2 x 3 διαιρείται μ' αυτό... 00:03:08.933 --> 00:03:11.200 δηλαδή το 6. 00:03:11.200 --> 00:03:16.534 Ξέρουμε ότι το 2 x 2 x 3 διαιρείται μ' αυτό... 00:03:16.534 --> 00:03:19.467 Θα μπορούσα να βρω κάθε συνδυασμό αυτών εδώ των αριθμών. 00:03:19.467 --> 00:03:23.523 Ξέρουμε ότι το 3 x 5 διαιρείται μ' αυτό... 00:03:23.523 --> 00:03:26.067 Ξέρουμε ότι το 2 x 3 x 5 διαιρείται μ' αυτό. 00:03:26.067 --> 00:03:28.867 Άρα γενικά μπορείτε να βλέπετε αυτούς τους πρώτους παράγοντες... 00:03:28.867 --> 00:03:31.952 και κάθε συνδυασμός αυτών των πρώτων παραγόντων θα διαιρείται... 00:03:31.952 --> 00:03:36.201 με κάθε αριθμό που διαιρείται τόσο από το 12, όσο και από το 20. 00:03:36.201 --> 00:03:38.067 Άρα, αν αυτή ήταν μια ερώτηση πολλαπλών επιλογών... 00:03:38.067 --> 00:03:49.133 και οι επιλογές σας ήταν το 7, το 9, το 12 και το 8... 00:03:49.133 --> 00:03:50.333 θα λέγατε... 00:03:50.333 --> 00:03:52.933 το 7 δεν είναι μέσα σ' αυτούς τους πρώτους παράγοντες εδώ πέρα... 00:03:52.933 --> 00:04:00.467 το 9 είναι 3 x 3, άρα θα έπρεπε να έχω δύο 3αρια εδώ πέρα, άρα το 9 δεν μας κάνει... 00:04:03.133 --> 00:04:04.267 το 7 λοιπόν δεν μας κάνει, το 9 δεν μας κάνει... 00:04:04.267 --> 00:04:06.733 το 12 είναι 4 x 3, ή ένας άλλος τρόπος να το χωρίσουμε είναι να πούμε... 00:04:06.733 --> 00:04:08.871 ότι το 12 είναι 2 x 2 x 3. 00:04:08.871 --> 00:04:12.067 Έχουμε λοιπόν ένα 2 x 2 x 3 στην παραγοντοποίησή μας... 00:04:12.067 --> 00:04:16.534 αυτού του Ελάχιστου Κοινού Πολλαπλάσιου αυτών των δύο αριθμών... 00:04:16.534 --> 00:04:19.367 άρα αυτό είναι ένα 12, επομένως το 12 μας κάνει... 00:04:19.367 --> 00:04:23.616 το 8 είναι 2 x 2 x 2, άρα χρειαζόμαστε τρία 2άρια στην παραγοντοποίησή μας... 00:04:23.616 --> 00:04:28.200 δεν έχουμε τρία 2άρια, άρα αυτό δεν μας κάνει. 00:04:28.200 --> 00:04:36.016 Ας δοκιμάσουμε κι άλλο ένα παράδειγμα, για να το καταλάβουμε καλά. 00:04:36.016 --> 00:04:37.067 Ας πούμε ότι θέλουμε να μάθουμε -- θα ρωτήσω το ίδιο πράγμα... 00:04:37.067 --> 00:04:43.600 Όλοι οι αριθμοί που διαιρούνται με το 9 και το 24 διαιρούνται επίσης με [...] ... 00:04:43.600 --> 00:05:10.000 κι εδώ λοιπόν θα κάνουμε απλώς την παραγοντοποίηση των πρώτων αριθμών. 00:05:10.000 --> 00:05:12.067 Στην πραγματικότητα σκεφτόμαστε το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο... 00:05:12.067 --> 00:05:14.421 του 9 και του 24. 00:05:14.421 --> 00:05:15.600 Πάρουμε την παραγοντοποίηση του 9... 00:05:15.600 --> 00:05:16.933 3 x 3 00:05:16.933 --> 00:05:18.067 και τελειώσαμε. 00:05:18.067 --> 00:05:23.800 Η παραγοντοποίηση του 24 είναι 2 x 12... 00:05:23.800 --> 00:05:26.133 το 12 είναι 2 x 6... 00:05:26.133 --> 00:05:29.467 το 6 είναι 2 x 3... 00:05:29.467 --> 00:05:34.158 Άρα κάθε αριθμός που διαιρείται με το 9 πρέπει να έχει ένα 9 στην παραγοντοποίησή του... 00:05:34.158 --> 00:05:37.333 ή αλλιώς, η παραγοντοποίησή του θα πρέπει να έχει ένα 3 x 3. 00:05:37.333 --> 00:05:41.600 Κάθε αριθμός που διαιρείται με το 24 θα πρέπει να έχει τρία 2άρια στην παραγοντοποίησή του... 00:05:41.600 --> 00:05:45.200 θα πρέπει να έχει ένα 2 x 2 x 2... 00:05:45.200 --> 00:05:50.900 και θα πρέπει να έχει τουλάχιστον ένα 3... και ήδη έχουμε ένα 3 από το 9. 00:05:50.900 --> 00:05:53.826 Έχουμε λοιπόν αυτά, άρα αυτός εδώ ο αριθμός διαιρείται και με τους δύο... 00:05:53.826 --> 00:05:57.933 και με το 9 και με το 24. Αυτός ο αριθμός είναι στην πραγματικότητα το 72. 00:05:57.933 --> 00:06:01.533 Είναι το 8 x 9 που μας κάνει 72. 00:06:01.533 --> 00:06:04.067 Άρα, για τις επιλογές γι' αυτή την ερώτηση... 00:06:04.067 --> 00:06:05.533 ας υποθέσουμε ότι ήταν μια ερώτηση πολλαπλής επιλογής... 00:06:05.533 --> 00:06:19.600 ας πούμε ότι οι επιλογές μας ήταν το 16, το 27, το 5, το 11 και το 9... 00:06:19.600 --> 00:06:21.899 έτσι για το 16, αν βρίσκαμε τους πρώτους παράγοντές του... 00:06:21.899 --> 00:06:27.400 είναι το 2 x 2 x 2 x 2, είναι το 2 εις την τετάρτη... 00:06:27.400 --> 00:06:32.162 άρα θα χρειαζόμασταν τέσσερα 2άρια εδώ, αλλά δεν έχουμε τέσσερα 2άρια... 00:06:32.162 --> 00:06:34.902 θα μπορούσαν να υπάρχουν κι άλλοι αριθμοί, αλλά δεν ξέρουμε ποιοι είναι αυτοί... 00:06:34.902 --> 00:06:38.245 αυτοί είναι οι μόνοι αριθμοί που μπορούμε να υποθέσουμε ότι περιλαμβάνονται στην παραγοντοποίηση των πρώτων αριθμών... 00:06:38.245 --> 00:06:42.133 για κάθε αριθμό που διαιρείται τόσο από το 9, όσο και από το 24. 00:06:42.133 --> 00:06:45.267 Άρα μπορούμε να απορρίψουμε το 16, γιατί δεν έχουμε τέσσερα 2άρια. 00:06:45.267 --> 00:06:50.067 το 27 ισούται με 3 x 3 x 3. 00:06:50.067 --> 00:06:54.244 Δεν έχουμε τρία 3άρια, έχουμε μόνο δύο απ' αυτά... 00:06:54.244 --> 00:06:57.067 άρα το απορρίπτουμε κι αυτό. 00:06:57.067 --> 00:07:01.333 το 5 είναι πρώτος αριθμός, δεν έχουμε 5 εδώ άρα το απορρίπτουμε κι αυτό... 00:07:01.333 --> 00:07:05.668 το 11 είναι κι αυτός πρώτος αριθμός, δεν έχουμε 11, άρα το απορρίπτουμε. 00:07:05.668 --> 00:07:09.600 το 9 ισούται με 3 x 3. 00:07:09.600 --> 00:07:11.667 Και μόλις κατάλαβα ότι είναι μια χαζή ερώτηση... 00:07:11.667 --> 00:07:14.329 γιατί όλοι αριθμοί που διαιρούνται με το 9 και το 24 διαιρούνται... 00:07:14.329 --> 00:07:14.910 με το 9. 00:07:14.910 --> 00:07:17.580 Άρα προφανώς το 9 μας κάνει, αλλά δεν θα έπρεπε να το βάλω στις επιλογές... 00:07:17.580 --> 00:07:19.267 γιατί είναι στα δεδομένα του προβλήματος. 00:07:19.267 --> 00:07:22.154 Αλλά, ούτως ή άλλως, το 9 μας κάνει. Και θα μας έκανε... 00:07:22.154 --> 00:07:26.333 και το 8 αν ήταν στις επιλογές, γιατί το 8 ισούται με ... 00:07:26.333 --> 00:07:31.744 2 x 2 x 2 και έχουμε ένα 2 x 2 x 2 εδώ... 00:07:31.744 --> 00:07:36.067 το 4 επίσης θα μας έκανε, γιατί ισούται με 2 x 2... 00:07:36.067 --> 00:07:39.067 το 6 θα μας έκανε, γιατί ισούται με 2 x 3... 00:07:39.067 --> 00:07:42.820 το 18 θα μας έκανε, γιατί ισούται με 2 x 3 x 3... 00:07:42.820 --> 00:07:46.489 Άρα, κάθε αριθμός που συντίθεται από έναν συνδυασμό αυτών των πρώτων παραγόντων... 00:07:46.489 --> 00:07:49.667 θα διαιρείται με κάτι που με τη σειρά του διαιρείται ... 00:07:49.667 --> 00:07:51.829 τόσο από το 9, όσο και από το 24 00:07:51.829 --> 99:59:59.999 Ελπίζω ότι δεν σας μπέρδεψα πολύ.