So where I left off in the last video, I'd just rewritten
the spring equation.
And I just wrote force is mass times acceleration.
And I was in the process of saying, well if x is a
function of t, what's acceleration?
Well, velocity is this derivative of x with respect
to time, right?
Your change in position over change of time.
And acceleration is the derivative of velocity, or the
second derivative of position.
So you take the derivative twice of x of t, right?
So let's rewrite this equation in those terms. Let me erase
all this--I actually want to keep all of this, just so we
remember what we're talking about this whole time.
Let me see if I can erase it cleanly.
That's pretty good.
Let me erase all of this.
All of this.
I'll even erase this.
That's pretty good, all right.
Now back to work.
So, we know that-- or hopefully we know-- that
acceleration is the second derivative of x as
a function of t.
So we can rewrite this as mass times the second
derivative of x.
So I'll write that as-- well, I think the easiest notation
would just be x prime prime.
That's just the second derivative of x as
a function of t.
I'll write the function notation, just so you remember
this is a function of time.
Is equal to minus k times x of t.
And what you see here, what I've just written, this is
actually a differential equation.
And so what is a differential equation?
Well, it's an equation where, in one expression, or in one
equation, on both sides of this, you not only have a
function, but you have derivatives of that function.
And the solution to a differential equation isn't
just a number, right?
A solution to equations that we've done in the past are
numbers, essentially, or a set of numbers, or maybe a line.
But the solution to differential equations is
actually going to be a function, or a class of
functions, or a set of functions.
So it'll take a little time to get your head around it, but
this is as good an example as ever to be exposed to it.
And we're not going to solve this differential equation
analytically.
We're going to use our intuition behind what we did
earlier in the previous video.
We're going to use that to guess at what a solution to
this differential equation is.
And then, if it works out, then we'll have a little bit
more intuition.
And then we'll actually know what the position is, at any
given time, of this mass attached to the spring.
So this is exciting.
This is a differential equation.
When we drew the position-- our intuition for the position
over time-- our intuition tells us that it's a cosine
function, with amplitude A.
So we said it's A cosine omega t, where this is the angular
velocity of-- well, I don't want to go into that just yet,
we'll get a little bit more intuition in a second.
And now, what we can do is, let's test this expression--
this function-- to see if it satisfies this equation.
Right?
If we say that x of t is equal to A cosine of wt, what is the
derivative of this? x prime of t.
And you could review the derivative
videos to remember this.
Well, it's the derivative of the inside, so it'll be that
omega, times the outside scalar.
A omega.
And then the derivative-- I'm just doing the chain rule--
the derivative of cosine of t is minus sine of whatever's in
the inside.
I'll put the minus outside.
So it's minus sine of wt.
And then, if we want the second derivative-- so that's
x prime prime of t.
Let me do this in a different color, just so it doesn't get
monotonous.
That's the derivative of this, right?
So what's the derivative of-- these are just
scalar values, right?
These are just constants.
So the derivative of the inside is an omega.
I multiply the omega times the scalar constant.
I get minus A omega squared.
And then the derivative of sine is just cosine.
But the minus is still there, because I had the minus to
begin with.
Minus cosine of omega t.
Now let's see if this is true.
So if this is true, I should be able to say that m times
the second derivative of x of t, which is in this case is
this, times minus Aw squared cosine wt.
That should be equal to minus k times my original function--
times x of t.
And x of t is a cosine wt.
I'm running out of space.
Hopefully you understand what I'm saying.
I just substituted x prime prime, the second derivative,
into this, and I just substituted x of t, which I
guess that's that, in here.
And now I got this.
And let me see if I can rewrite.
Maybe I can get rid of the spring up here.
I'm trying to look for space.
I don't want to get rid of this, because I think this
gives us some intuition of what we're doing.
One of those days that I wish I had a larger blackboard.
Erase the spring.
Hopefully you can remember that image in your mind.
And actually, I can erase that.
I can erase that.
I can erase all of this, just so I have some space, without
getting rid of that nice curve I took the time to draw in the
last video.
Almost there.
OK.
Back to work.
Make sure my pen feels right, OK.
So all I did is I took-- we said that by the spring
constant, if you rewrite force as mass times acceleration,
you get this.
Which is essentially a differential equation, I just
rewrote acceleration as the second derivative.
Then I took a guess, that this is x of t, just based on our
intuition of the drawing.
I took a guess.
And then I took the second derivative of it.
Right?
This is the first derivative, this is the second derivative.
And then I substituted the second derivative here, and I
substituted the function here.
And this is what I got.
And so let me see if I can simplify that a little bit.
So if I rewrite there, I get minus mAw squared cosine of wt
is equal to minus kA cosine of wt.
Well it looks good so far.
Let's see, we can get rid of the minus signs on both sides.
Get rid of the A's on both sides.
Right?
We can divide both sides by A.
Let me do this in black, just so it really erases it.
So if we get rid of A on both sides, we're left with that.
And then-- so let's see, we have mw squared cosine of
omega t is equal to k cosine of omega t.
So this equation holds true if what is true?
This equation holds true if mw squared-- or omega squared, I
think that's omega.
I always forget my-- is equal to k.
Or another way of saying it, if omega squared is
equal to k over m.
Or, omega is equal to the square root of k over m.
So there we have it.
We have figured out what x of t has to be.
We said that this differential equation is true, if this is x
of t, and omega is equal to this.
So now we've figured out the actual function that describes
the position of that spring as a function of time.
x of t is going to be equal to-- we were right about the
A, and that's just intuition, right, because the amplitude
of this cosine function is A-- A cosine-- and instead of
writing w, we can now write the square root of k over m.
The square root of k over m t.
That to me is amazing.
We have now, using not too sophisticated calculus, solved
a differential equation.
And now can-- if you tell me at 5.8 seconds, where is x, I
can tell you.
And I just realized that I am now running out of time, so I
will see you in the next video.
И така, в миналото видео
стигнахме до преобразуване на това уравнение.
И тъкмо получих, че силата е равна на масата по ускорението.
И говорех за това, че ако x е функция на t,
какво ще е ускорението?
Ами скоростта е производната на x по отношение на времето, нали?
Промяната в позицията върху промяната във времето.
А ускорението е производната на скоростта,
или втората производна на позицията.
И така, вземам производната два пъти, на х от t, нали така?
Нека пренапишем това уравнение в тези условия.
Нека изтрия всичко това – всъщност искам да го запазя,
за да не забравяме за какво говорим през цялото това време.
Да видим дали мога да го изтрия добре.
Така е доста добре.
Изтриваме всичко това.
Всичко това.
Ще изтрия дори и това.
Много добре, така.
Сега обратно на работа.
И така, знаем, че... надявам се, знаеш, че ускорението
е втората производна на x като функция на t.
И можем да преобразуваме това като произведението на масата
и втората производна на x.
Ще напиша това като – мисля, че най-лесният запис
ще е просто x прим прим.
Това си е втората производна на x като функция на t.
Ще напиша символа за функция, за да помним,
че става дума за функция на времето.
Това е равно на минус k, по x от t.
И това, което виждаме тук, току-що написаното,
е всъщност едно диференциално уравнение.
А какво представлява диференциалното уравнение?
Това е уравнение, в което в един израз,
или в едно уравнение, от двете му страни,
нямаме само функция, но и производни на тази функция.
Решението на диференциалното уравнение
не е просто някакво число, нали така?
Решенията на уравненията, с които се занимавахме преди,
бяха числа или поредица от числа, може и числова редица.
Но решението на дадено диференциално уравнение
всъщност ще е функция,
или клас от функции, поредица от функции.
Така че ще отнеме малко време да си го представиш,
но това е достатъчно добър пример за показване.
Няма да решаваме това диференциално уравнение аналитично.
Ще използваме интуицията си от това, което направихме по-рано –
в миналото видео.
Ще използваме това, за да предположим
какво е решението на това диференциално уравнение.
И после, ако проработи,
ще имаме малко повече интуиция,
след което всъщност ще знаем какво е местоположението на тази пружина
във всеки един момент.
Вълнуващо е.
Това е едно диференциално уравнение.
Когато показахме нагледно позицията –
интуицията ни за нея с течение на времето
ни казва, че това е косинусова функция, с амплитуда А.
Казахме, че това е равно на A по косинус от омега t,
където това е ъгловата скорост на –
още не искам да навлизам в подробности,
ще добием още малко интуиция след секунда.
Сега това, което можем да направим,
е да изпитаме този израз, тази функция –
да видим дали тя удовлетворява това уравнение.
Е?
Ако имаме x от t, равно на A по косинус от wt,
каква е производната на това, х прим от t?
Можеш да преговориш видеата за производни,
за да си припомниш това.
Така, това е производната на вътрешната част,
т.е. имаме това омега по външния скалар.
А по омега.
И после производната – просто прилагам верижното правило –
производната на косинус от t е минус синус от това, което е вътре.
Ще изнеса минуса отвън.
Т.е. това е синус от wt.
След това, ако търсим втората производна –
това е x прим прим от t.
Нека тук оцветя в различен цвят, за да не е монотонно.
Това е производната на това, нали така?
А каква е производната на – това са само скаларни величини, нали?
Тези тук са само константи.
Производната на това в скобите е омега.
Умножавам омега по скаларната константа.
Получавам минус A по омега на квадрат.
След това производната на синус е само косинус.
Но минусът още е там, защото трябваше да започна с него.
Минус косинус от омега t.
Сега да видим дали това е така.
Ако е вярно, трябва да мога да кажа,
че m по втората производна на x от t,
което в този случай е това,
умножено по минус А по w на квадрат по косинус от wt.
Това е равно на минус k
по оригиналната ни функция – по x от t.
А x от t e косинус от wt.
Мястото ми свършва.
Да се надяваме, че разбираш какво казвам.
Само заместих x прим прим, втората производна,
в този израз и после заместих x от t,
където това е това, ето тук.
И сега получих това.
Да видим дали мога да го преобразувам.
Може би мога да се освободя от пружината тук горе.
Опитвам се да потърся място.
Не искам да заличавам това, защото мисля, че
ни дава известна интуиция за това какво правим.
Днес е един от дните, в които мечтая да имам по-голяма черна дъска.
Изтриваме пружината.
Надявам се, че запомни изображението в главата си.
И мога да изтрия това.
Мога да го изтрия.
Мога да залича всичко това, за да имам повече място,
без да премахвам тази хубава крива,
която начертах в миналото видео.
Почти така.
ОК.
Хайде пак на работа.
Вече имам малко повече място.
И така, всчико, което направих, беше –
казахме, че чрез константата на пружината, ако запишем, че силата
е равна на масата по ускорението, получаваме това.
Което определено е диференциално уравнение,
само представих ускорението като втора производна.
След това предположих, че това е x от t,
базирано на интуицията ни от схемата.
Направих предположение.
След това направих втората производна.
Това е първата производна, това е втората производна.
След това заместих с втората производна тук,
и заместих с функцията тук.
И получих това.
Сега нека видим дали мога да опростя малко нещата.
И така, ако преобразувам тук,
ще получа минус mA по w на квадрат
по косинус от wt
е равно на минус kA по косинус от wt.
Е, добре изглежда досега.
Нека видим, можем да се освободим от отрицателните знаци в двете страни.
От А-тата в двете страни.
Можем да разделим двете страни на А.
Нека това го оцветим в черно, за да знаем, че със сигурност е заличено.
И така, ако се овободим от А от двете страни,
ни остава това.
След това – да видим, имаме m по w на квадрат
по косинус от омега t е равно на k по косинус от омега t.
Така, това уравнение е вярно, ако е вярно какво?
Това уравнение е вярно, ако m по w на квадрат,
или омега на квадрат (мисля, че това е омега),
е равно на k.
Или друг начин да кажем това – ако омега, повдигнато на квадрат,
е равно на k/m.
Или омега е равно на корен квадратен от k/m.
И така, получихме го.
Разбрахме колко трябва да е x от t.
Казахме, че това диференциално уравнение е вярно,
ако това е x от t и омега е равно на това.
Така сега намерихме реалната функция, която описва
позицията на тази пружина като функция на времето.
x от t ще е равно на – правилно отсъдихме за А,
и това е просто интуиция – точно така, защото амплитудата
на тази косинусова функция е A.
А по косинус – и вместо да пишем w,
сега можем да запишем корен квадратен от k/m.
Корен квадратен от k/m, по t.
Това за мен е невероятно.
Сега е налице, без да използваме толкова сложни изчисления,
цяло решено диференциално уравнение.
И сега мога, ако ми кажеш при 5,8 секунди къде е x,
мога да ти кажа.
Обаче виждам, че времето свършва,
така че ще се видим в следващото видео.
V předchozím videu jsem přepsal rovnici pružiny.
Napsal jsem, že síla je hmotnost krát zrychlení.
A říkal jsem, že pokud je ‚x‛ funkcí ‚t‛, co je zrychlení?
Rychlost je derivace ‚x‛ vzhledem k času.
Změna polohy dělená změnou v čase.
A zrychlení je derivací rychlosti nebo také druhou derivací polohy.
Takže můžeme vzít dvojitou derivaci x(t).
Takže pojďme přepsat tuto rovnici s použitím těchto pojmů.
Všechno toto vymažu... ...toto všechno si chci nechat,
abychom si zapamatovali, o čem jsme tu celou dobu mluvili.
Pokusím se to vymazat úhledně.
To je docela dobré.
A vymažu toto všechno.
Všechno. Vymažu i toto.
To je docela dobré.
Zpět do práce.
Takže víme...nebo doufám, že víme...
...že zrychlení je druhá derivace x, jako funkce času t.
Můžeme to tedy přepsat, jako hmotnost krát druhá derivace x.
Takže to napíši, jako...myslím, že bude nejjednodušší napsat x se dvěma čárkami.
To je druhá derivace ‚x‛ jako funkce ‚t‛.
Napíši i zápis funkce, abyste si zapamatovali, že toto je funkce času.
To je rovno -k krát x(t).
A co tu vidíme, co jsem právě napsal, je diferenciální rovnice.
A co je diferenciální rovnice?
Je to rovnice, kde v jednom výrazu nebo jedné rovnici,
na obou stranách máte nejen funkci, ale i derivaci té funkce.
A řešení diferenciální rovnice není jen číslo.
Řešení rovnic, kterými jsme se doteď zabývali,
byly čísla, nebo skupina čísel, nebo možná přímka.
Ale řešením diferenciální rovnice
bude funkce, nebo třída funkcí, nebo množina funkcí.
Asi bude chvíli trvat, než to pochopíte,
ale toto je asi nejlepší příklad, na kterém to pochopit.
A tuto diferenciální rovnici nebudeme řešit analyticky.
Použijeme naší intuici, kterou jsme získali v předchozím videu.
Použijeme to, abychom odhadli řešení této diferenciální rovnice.
A potom, pokud to bude fungovat, budeme to o něco lépe chápat.
A budeme znát polohu tohoto závaží připevněného na pružině, v jakémkoli čase.
To je vzrušující. Toto je diferenciální rovnice.
Když jsme nakreslili polohu...naše intuice pro polohu v závislosti na čase...
...naše intuice nám řekne, že je to funkce kosinus s amplitudou A.
Řekli jsme, že je to A kosinus (omega t), kde je toto úhlová rychlost...
...ale o tom teď ještě mluvit nechci, více to pochopíme za chvíli.
A teď můžeme zkusit otestovat tento výraz...tuto funkci...
...abychom zjistili, jestli je to řešením této rovnice.
Když řekneme, že x(t) je rovno A kosinus (omega t), co je derivací tohoto?
x čárka t.
Můžete se podívat na video o derivacích, abyste si na to vzpomněli.
Je to derivace vnitřní funkce, takže to bude omega krát venkovní skalár.
A omega.
A potom derivace ...jen používám řetízkové pravidlo...
derivace kosinus t je znaménko minus krát to, co je uvnitř.
Napíši minus ven.
Takže je to znaménko minus....(omega t).
A jestliže chceme druhou derivaci... ...je to x čárka čárka t.
Napíši to jinou barvou, aby to nebylo takové monotónní.
Toto je derivace tohoto.
Co je derivace... ...toto jsou jen skaláry.
Jsou to jen konstanty.
Takže derivace vnitřní části je omega.
Vynásobím omegu skalární konstantou.
Dostanu -A (omega na druhou).
A potom derivace sinus je kosinus.
Ale minus je zde pořád, protože jsem s ním začínal.
Minus kosinus (omega t).
Pojďme se podívat, jestli je to pravda.
Jestli je toto pravda, můžu říci, že m krát druhá derivace x(t),
což v tomto případě je toto,
krát -A (omega na druhou) kosinus (omega t).
To by mělo být rovno -k krát má původní funkce...krát x(t).
A x(t) je A kosinus (omega t).
A kosinus...dochází mi místo...(wt).
Doufám, že chápete, co říkám.
Jen jsem nahradil x čárka čárka, druhou derivaci do tohoto.
A dosadil jsem x(t), které jsem tady odhadl, sem.
A teď mám toto.
Pokusím se to přepsat. Možná se můžu zbavit té pružiny tady.
Snažím se najít místo...
...nechci vymazat toto, protože to slouží k pochopení toho, na čem pracujeme.
Jeden z těch dní, kdy bych si přál mít větší tabuli.
Vymažu pružinu.
Doufám, že si zapamatujete tento obrázek.
A můžu vymazat toto.
Všechno tohle.
Abych měl místo, aniž bych musel vymazat křivku,
kterou jsem kreslil v posledním videu.
Téměř hotovo.
Zpět do práce.
Ještě se ujistit, že moje tužka je správně.
Vše co jsem udělal...vzal jsem... řekli jsme, že s koeficientem tuhosti...
Když přepíšete sílu jako hmotnost krát zrychlení,
dostanete toto, což je v podstatě diferenciální rovnice...
jen jsem přepsal zrychlení jako druhou derivaci.
Potom jsem hádal, že toto je x(t),
jen podle pohledu na náš obrázek.
Odhadl jsem to a potom jsem vzal druhou derivaci...
toto je první derivace a toto druhá derivace.
Dosadil jsem druhou derivaci zde a substitucí jsem nahradil i tuto funkci.
A toto jsem dostal.
Pokusím se to trochu zjednodušit.
Když to přepíši, získám -mA (w na druhou) kosinus (wt)
se rovná -kA kosinus (wt)
Zatím to vypadá dobře...
můžeme se zbavit znamének minus na obou stranách
...zbavíme se minusu na obou stranách...
zbavíme se A na obou stranách ...můžeme dělit obě strany A...
použiji černou, abych to vymazal.
Když se zbavíme A na obou stranách, zbyde nám toto.
A potom, máme m (w na druhou) kosinus (omega t) se rovná k kosinus (omega t).
Takže tato rovnice je pravdivá, když je pravdivé co?
Tato rovnice platí, když m (w na druhou) ...to je omega na druhou...se rovná k.
Nebo také můžeme říci, že omega na druhou
se rovná k lomeno m nebo omega se rovná druhé odmocnině (k lomeno m).
A tady to je...našli jsme co musí být x(t).
Řekli jsme, že tato diferenciální rovnice je pravdivá,
když je x(t) a omega rovno tomuto.
Teď jsme zjistili celou funkci,
která popisuje polohu pružiny v závislosti na čase.
x(t) se bude rovnat... měli jsme pravdu s A a to je jen intuice,
protože amplituda této funkce kosinus je A.
A kosinus...a místo abychom psali w... mohu napsat odmocninu (k lomeno m).
Druhá odmocnina (k lomeno m) krát t.
Podle mě je tohle skvělé.
Bez použití složitých diferenciálních počtů jsme vyřešili diferenciální rovnici.
A když se mě zeptáte v 5,8 sekundách, kde je ‚x‛, budu vám umět odpovědět.
Právě jsem si všiml, že mi dochází čas, takže na viděnou v dalším videu.
Eelmises videos ma kirjutasin
vedru valemi teistmodi.
Kirjutsin, et jõud on mass korda kiirendus.
Ma hakkasin ütlema, et, kui x on
aja funktsioon, siis, mis on kiirendus.
Kiirus on x'i tuletis
aja suhtes.
Selle asukoha muutumine aja jooksul.
Ja kiirendus on kiiruse tuletis või
funktsiooni teine tuletis.
Võtad 2 korda x(t) tuletise.
kirjutame selle valemi nende tingimustega uuesti. Ma kustutan selle.
Ma tegelikult tahan selle alles hoida,
et meil meeles oleks, millest me räägime.
Vaatame kas ma saan selle puhtalt ära kustutada
See on päris hea.
Las ma kututan selle.
Selle.
Ja isegi selle.
See on päris hea.
Tagasi tööle.
Me teame et kiirendus on
x(t) teine tuletis.
Saame kirjutada, et mass korda x-i
teine tuletis.
ma arvan et kõige lihtsam viis seda ülesse kirjutada
oleks x''.
See on x(t) teine tuletis.
Ma märgin selle ülesse, et see
on ajafunktsioon.
See on -k korda x(t).
Mis ma siin just kirjutasin on
diferentsiaalvõrrand.
Mis on diferentsiaalvõrrand?
See on võrrand kus võrrandi mõlemad
pooled on võrdsed. Sul pole lihtsalt funktsioon,
sest sul on funktsiooni tuletised.
Diferentsiaalvõrrandi vastuseks pole
lihtsalt võrrand.
varasemate valemite vastusteks on olnud numbrid
või numbrite kogumik, või lihtsalt joon.
Aga diferentsiaalvõrrandi vastuseks on
funktsioon või funktsioonide liik.
see võtab natuke aega, et seda mõista,
aga see on hea näide.
Me ei hakka seda analüütiliselt lahendama
Me hakkama kasutama oma loogikat, mida
me õppisime eelmises videos.
Me kasutame seda selleks, et ennustada
selle võrrandi lahendit.
Ja kui see töötab, siis me mõistame
seda paremini.
Siis me teame, mis on massi positsioon ükskõik, mis ajahetkel.
See on põnev.
see on diferentsiaalvõrrand.
Kui me enda loogika järgi massi positsiooni
ajahetkel paika panime, siis see ütleb et see on
koosiinus funktsioon amplituudiga A.
Me ütlesime, et see on A cos (ω t), kus selle nurkkiirus on,
Ma ei taha seda veel puudutada,
aga varsti mõistame seda.
Praegu saame testida seda võrrandit,
et näha kas see vastab tingimustele.
Kui ütleme et x(t) on võrdne A cos (ω t )
Mis on selle tuletis? x'(t)
võid vaadata diferentsiaalvõrrandi videot
uuesti, et seda meenutada.
See on selle tuletis,
Omega
ja tuletis on.
koosiinuse tuletis ajas on miinusega.
panen miinuse välja
see on - ωt
ja siis tahame teist tuletist
see on x''
teen selle teise värviga, et see ei muutuks
monotoonseks.
see on selle tuletis.
Donc, lorsque je vous ai laissé au dernier vidéo, je venais de réécrire
l'équation du ressort
Et j'ai écrit que la force égale la masse fois l'accélération.
Et j'étais dans le processus de vous dire que : si x est
une fonction de t, quelle est l'accélération?
Et bien, la vitesse est la dérivée de x par rapport
au temps, d'accord?
La variation de position sur la variation de temps.
Et l'accélération est la dérivée de la vitesse, ou la
dérivée seconde de la position.
Donc, on prend la dérivée seconde de x(t), d'accord?
Réécrivons cette équation en ces termes. Laissez- moi effacer
tout ceci. En fait je vais tout garder, comme ça
on va se rappeler de ce dont on parlait avant.
Voyons voir si je peux effacer ça proprement.
C'est pas mal bon.
Laissez-moi effacer tout ça.
Tout.
Je vais même effacer ceci.
Ça c'est bien, excellent!
Revenons au travail maintenant.
Donc, nous savons -- espérons -- que
l'accélération est la dérivée seconde de x(t).
On peut réécrire l'équation comme la masse fois la
dérivée seconde de x.
Donc, je vais l'écrire -- je pense que la notation la plus facile
est x''.
C'est juste la dérivée seconde de x(t).
Je vais écrire la notation de fonction, pour que vous vous rappeliez
que c'est une fonction par rapport au temps.
Est égal à -k * x(t)
Et ce que vous voyez ici, ce que je viens d'écrire, c'est
une équation différentielle.
Qu'est-ce qu'une équation différentielle?
בסוף הסירטון הקודם, אני כתבתי את
משוואת הקפיץ מחדש.
כתבתי שהכוח שווה למסה כפול התאוצה,
והייתי בדרך - אם זה x כפונקציה של t,
מהי התאוצה?
המהירות היא הנגזרת של x ביחס לזמן, נכון?
השינוי בהעתק חלקי השינוי בזמן.
והתאוצה היא הנגזרת של המהירות, או הנגזרת
השנייה של ההעתק.
לוקחים פעמיים את הנגזרת של (x (t, נכון?
בואו נכתוב את המשוואה הזאת, לפי המונחים האלה.
אני אמחק את כל זה - אני רוצה להשאיר את זה,
כך שתזכרו כל הזמן על מה אנו מדברים.
בואו נראה אם אני מצליח למחוק את זה.
זה בסדר.
אני אמחק את זה.
את כל זה.
אפילו את זה.
זה בסדר גמור.
חזרה לעבודה.
אנו יודעים, אני מקווה, שהתאוצה
היא הנגזרת השנייה של x
כפונקציה של t.
אנו יכולים לכתוב את זה מחדש, כנגזרת
השנייה של x.
אני אכתוב את זה - אני חושב שדרך הכתיבה
הקלה ביותר היא x תגיים.
זאת הנגזרת השנייה של x
כפונקציה של t.
אני אכתוב את זה בתור פונקציה, כדי שתזכרו
שההעתק הוא פונקציה של הזמן.
שווה למינוס k כפול (x (t.
מה שאתם רואים כאן, מה שכרגע כתבתי,
זאת משוואה דיפרנציאלית.
מהי משוואה דיפרנציאלית?
זאת משוואה שבה, באגפיה
אין לנו רק פונקציה מסוימת,
אלא גם נגזרות של אותה פונקציה.
הפתרון של משוואה דיפרנציאלית אינו
סתם מספר, בסדר?
הפתרונות של המשוואות שפתרנו בעבר
היו מספרים, או קבוצה של מספרים, או אולי קו ישר.
אך, הפתרון של משוואה דיפרנציאלית
הוא פונקציה מסוימת, או
קבוצה של פונקציות.
זה ייקח קצת זמן להסתדר עם המושגים החדשים האלה,
אבל זאת דוגמה טובה כדי להיחשף לזה.
אנו לא נפתור את המשוואה הדיפרנציאלית
בצורה אנליטית.
אנו נשתמש בהבנות שהגענו אליהן
בסירטון הקודם.
אנו נשתמש בזה, כדי לנחש מהו הפתרון
למשוואה הדיפרנציאלית הזאת.
אם זה יצליח, נוכל להרחיב את ההבנה שלנו.
ונדע מהו ההעתק, בכל רגע,
של המסה הקשורה לקפיץ.
זה די מלהיב.
זאת משוואה דיפרנציאלית.
כששרטטנו את ההעתק כפונקציה של הזמן,
נראה לנו שזאת פונקצית קוסינוס,
עם אמפליטודה A.
אמרנו שזה A קוסינוס אומגה t - כשזאת המהירות
הזוויתית - בעצם, איני רוצה להיכנס לזה עדיין.
ההבנה שלנו תשתפר בהמשך.
מה שניתן לעשות הוא לבדוק האם הפונקציה
הזאת מקיימת את המשוואה.
בסדר?
אם אנו אומרים ש- x שווה ל- A קוסינוס אומגה טי,
מהי הנגזרת של זה? (x' (t.
אתם יכולים לחזור לסירטונים
העוסקים בנגזרות.
ניקח את הנגזרת של החלק הפנימי, זה יהיה
אומגה, כפול הסקלר שבחוץ.
האמפליטודה A כפול אומגה.
אני משתמש בכלל השרשרת של הנגזרות,
הנגזרת של קוסינוס t היא מינוס סינוס של מה
שיש בפנים.
אני אכתוב את המינוס בחוץ.
זה מינוס סינוס של אומגה t.
הנגזרת השנייה,
נכתוב (x" (t.
אכתוב את זה בצבע אחר
כדי לגוון.
זאת הנגזרת הראשונה, נכון?
אז מה הנגזרת שלה? אלה גדלים
קבועים, נכון?
אלה קבועים.
הנגזרת של החלק הפנימי היא אומגה.
אני מכפיל את אומגה בגדלים הקבועים,
ומקבל מינוס A כפול אומגה בריבוע.
והנגזרת של סינוס היא קוסינוס.
הסימן מינוס הוא עדיין כאן, כי היה לי מינוס
מלכתחילה.
מינוס קוסינוס אומגה טי.
בואו נראה אם זה נכון.
אם זה נכון, אז המסה m כפול הנגזרת
השנייה של (x (t, שבמקרה הזה היא מינוס A
כפול אומגה בריבוע, קוסינוס אומגה טי,
צריך להיות שווה למינוס k כפול הפונקציה המקורית,
כפול (x (t.
ו- (x (t היא A קוסינוס אומגה טי.
אין לי מקום בלוח.
אני מקווה שאתם מבינים מה אני אומר.
אני הצבתי את x תגיים, הנגזרת השנייה,
כאן, והצבתי את (x (t, כאן.
זה כאן, ועכשיו יש לי את זה.
בואו נראה אם אני יכול לכתוב את זה.
אולי אני יכול למחוק את הקפיץ הזה.
אני מחפש מקום בלוח.
אני רוצה להשאיר את זה, כי זה תורם
להבנה של מה שאנו עושים.
הייתי רוצה שיהיה לי לוח יותר גדול.
אני מוחק את הקפיץ.
אני מקווה שאתם תזכרו את התמונה הזאת.
אני יכול למחוק את זה,
וגם את זה,
וגם את כל זה, כדי שיהיה לי מקום, בלי
למחוק את העקומה היפה הזאת, אותה ציירתי
בסירטון האחרון.
אני מסיים.
או קיי.
חזרה לעבודה.
אני מקווה שהעט שלי בסדר.
אמרנו שבעזרת קבוע הקפיץ,
אם נכתוב מחדש את הכוח כמסה כפול תאוצה,
מקבלים את זה.
זאת בעצם משוואה דיפרנציאלית. כתבתי את
התאוצה כנגזרת שנייה של ההעתק.
וניחשתי, על בסיס ההבנה
של הגרף הזה.
ניחשתי מהי הפונקציה.
ולקחתי את הנגזרת השנייה של ההעתק.
זאת הנגזרת הראשונה, וזאת הנגזרת השנייה.
ואז הצבתי את הנגזרת השנייה כאן,
והצבתי את הפונקציה כאן.
זה מה שקיבלתי.
בואו נראה אם אפשר קצת לפשט את זה.
אם אני כותב את זה מחדש, מינוס mA כפול אומגה בריבוע, קוסינוס אומגה טי,
שווה למינוס kA קוסינוס אומגה טי.
זה נראה בסדר.
אפשר לצמצם את סימני המינוס.
אפשר לצמצם את A בשני האגפים. בסדר?
אפשר לחלק את שני האגפים ב- A.
אעשה זאת בשחור, כדי שזה יהיה מחוק.
אם מצמצמים את A בשני האגפים, זה מה שנשאר.
יש לנו ש- m כפול אומגה בריבוע, כפול
קוסינוס אומגה טי, שווה ל- K קוסינוס אומגה טי.
מתי המשוואה הזאת נכונה?
המשוואה הזאת נכונה, אם m אומגה בריבוע,
זאת אומגה,
שווה ל- K.
או, אומגה בריבוע שווה ל- K
חלקי m. או,
אומגה שווה לשורש הריבועי של K חלקי m.
יש לנו את זה.
מצאנו מה זה x כפונקציה של t.
אמרנו שיש פתרון למשוואה הדיפרנצילית, אם זה
x כפונקציה של t, ואומגה שווה לזה.
מצאנו את הפונקציה המתארת
את מיקום הקפיץ, כפונקציה של הזמן.
x כפונקציה של t שווה... - צדקנו בקשר
ל- A, זאת אינטואיציה, כי המשרעת
של פונקצית הקוסינוס היא A, ובמקום אומגה,
אפשר לכתוב שורש ריבועי של K חלקי m.
השורש הריבועי של K חלקי m.
זה מדהים.
מבלי להשתמש בחשבון דיפרנציאלי מתוחכם,
פתרנו משוואה דיפרנציאלית.
אם תשאלו אותי מהו x ב- 5.8 שניות,
אני יכול לתת לכם תשובה מספרית.
אני שם לב שהזמן אזל,
נתראה בסירטון הבא.
在上个视频中
我重新写了弹簧的方程
我刚写了力等于质量乘以加速度
我刚才在讲
如果x是t的函数 加速度是多少？
速度是x关于时间t的导数
对吗？ 位置的改变量除以时间的改变量
加速度是速度的导数
或说是位移的二阶导数
所以对x(t)求二次导数 对吗？
用上述参数重新写一下方程
我先把这些都擦了 实际上我不想擦了这些
以便让大家记得这段时间我们在讨论什么
我看看是否能把这些擦干净 很好
把这些都擦掉
所有这些 还要擦掉这个
很好 好的 回到正题
我们知道 希望大家知道 加速度
是x(t)的二阶导数
我们可以把这个重写成
质量乘以x的二阶导数
可以把它写成 好的
我想最简单的写法是x的一撇再一撇
这是x关于t的二阶导数
我要写一下函数符号
因此大家就记得这是时间的函数
等于-k乘以x(t)
在这里看到的是 我刚写下了的是
这实际上是个微分方程
什么是微分方程呢？
在这种方程里 在一个表达式中
在一个方程中 在等号两边
不只是有一个函数
还有函数的导数
微分方程的解
不只是一个数 对吗？
实际上 我们以前求的方程的解
是数字 或者是一组数 或是一条线
但微分方程的解
实际上是一个方程 或是一类方程
或说一组方程
这理解起来有点困难
这和以前所讲的例子一样也是个很好的例子
我们不需要理论地分析
微分方程
在我们和以前的视频一样做类似分析后
还要使用直觉来分析
我们要用直觉来猜测
微分方程的解是什么
然后 如果求出来了
我们就可以理解地更直观
实际上我们将知道在任何给定的时刻
附有物体的弹簧处于哪个位置
这很令人兴奋 这是个微分方程
当我们画出这个位置 对于位置与时间的关系
直觉是 直觉告诉我们这是个余弦函数
振幅是A
我们曾说余弦函数是Acosωt 这是角速度
好的 我现在不想分析余弦函数
我们稍后再体会一下
现在 我们能做的是 测试一下这个表达式
这个函数 看看它是否满足方程 对吗？
如果x(t)等于Acosωt
它的导数是什么？ x对t求导
大家可以回顾一下关于导数的视频来记住解法
这是对于内部的导数
将是这个ω 乘以外面的标量 Aω
然后导数是 我在使用链式法则
cost的导数是负正弦函数
把负号放在外面
是-sinωt So it's minus sign of ωt.
然后 如果要求二阶导数
也就是x两撇t
换一种颜色做题
以便看起来不会单调
这是这个的导数 对吗？
这个的导数是
这些仅仅是标量值 对吗？ 这些是常数
所以内部的导数是ω
乘以ω乘以标量常数
得到-A乘以ω的平方
正弦函数的导数是余弦函数
负号仍然在这儿
因为开始有个负号
-cosωt 大家看看这对不对
如果这是正确的 我可以说m乘以
x对t的二阶导数 在这种情况下也就是这个
乘以-A乘以ω的平方乘以cosωt
这将等于-k乘以最初的函数
乘以x(t) x(t)是Acosωt
快没有地方写了
希望大家都明白我在说什么
我用x的二阶导数
替换了这个 替换了x(t)
我猜就是这个 在这儿
现在得到这个 看看是否能重写一下
或许可以擦掉这里的弹簧
我在尝试着找到空白地方做题
我不想擦掉这个 因为我想这
能给我们做题带来启发
我希望有一天我能有个更大的黑板
擦掉这个弹簧
希望大家能记住这个图形
实际上 我可以擦掉这个 可以擦掉这个
擦掉所有这些 如此的话我就有空白地方了
而不需要舍弃这个漂亮的曲线
这是我在上个视频中花时间画的
差不多了 好的 回到题目中来
确保我的笔好写 好的
我所做的是用 我们说 对于弹簧系数
如果再写出力等于质量乘加速度 得到这个
这实际上是个微分方程
我刚重写了加速度是二阶导数
我做了个猜测 这是x(t)
基于我们对于这个图形的直觉 我做了个猜测
我对这个求了二阶导数 对吗？
这是一阶导数 这是二阶导数
然后我替换了这里的二阶导数
替换了这个函数 这是我得到的结果