[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.42,0:00:02.16,Default,,0000,0000,0000,,И така, в миналото видео
Dialogue: 0,0:00:02.16,0:00:05.73,Default,,0000,0000,0000,,стигнахме до преобразуване\Nна това уравнение.
Dialogue: 0,0:00:05.73,0:00:08.90,Default,,0000,0000,0000,,И тъкмо получих, че силата \Nе равна на масата по ускорението.
Dialogue: 0,0:00:08.90,0:00:12.54,Default,,0000,0000,0000,,И говорех за това, че ако \Nx е функция на t,
Dialogue: 0,0:00:12.54,0:00:14.11,Default,,0000,0000,0000,,какво ще е ускорението?
Dialogue: 0,0:00:14.11,0:00:17.71,Default,,0000,0000,0000,,Ами скоростта е производната \Nна x по отношение на времето, нали?
Dialogue: 0,0:00:17.71,0:00:20.06,Default,,0000,0000,0000,,Промяната в позицията\Nвърху промяната във времето.
Dialogue: 0,0:00:20.06,0:00:23.29,Default,,0000,0000,0000,,А ускорението е \Nпроизводната на скоростта,
Dialogue: 0,0:00:23.29,0:00:25.88,Default,,0000,0000,0000,,или втората производна на позицията.
Dialogue: 0,0:00:25.88,0:00:29.35,Default,,0000,0000,0000,,И така, вземам производната \Nдва пъти, на х от t, нали така?
Dialogue: 0,0:00:29.35,0:00:35.06,Default,,0000,0000,0000,,Нека пренапишем това уравнение\Nв тези условия.
Dialogue: 0,0:00:35.06,0:00:37.60,Default,,0000,0000,0000,,Нека изтрия всичко това – \Nвсъщност искам да го запазя,
Dialogue: 0,0:00:37.60,0:00:40.51,Default,,0000,0000,0000,,за да не забравяме за какво говорим \Nпрез цялото това време.
Dialogue: 0,0:00:40.51,0:00:43.80,Default,,0000,0000,0000,,Да видим дали мога\Nда го изтрия добре.
Dialogue: 0,0:00:43.80,0:00:47.35,Default,,0000,0000,0000,,Така е доста добре.
Dialogue: 0,0:00:48.14,0:00:54.55,Default,,0000,0000,0000,,Изтриваме всичко това.
Dialogue: 0,0:00:55.89,0:00:57.85,Default,,0000,0000,0000,,Всичко това.
Dialogue: 0,0:00:57.85,0:01:01.78,Default,,0000,0000,0000,,Ще изтрия дори и това.
Dialogue: 0,0:01:02.28,0:01:05.07,Default,,0000,0000,0000,,Много добре, така.
Dialogue: 0,0:01:05.07,0:01:08.35,Default,,0000,0000,0000,,Сега обратно на работа.
Dialogue: 0,0:01:08.35,0:01:11.73,Default,,0000,0000,0000,,И така, знаем, че... надявам се, \Nзнаеш, че ускорението
Dialogue: 0,0:01:11.73,0:01:14.05,Default,,0000,0000,0000,,е втората производна \Nна x като функция на t.
Dialogue: 0,0:01:14.06,0:01:18.25,Default,,0000,0000,0000,,И можем да преобразуваме това \Nкато произведението на масата
Dialogue: 0,0:01:18.25,0:01:21.29,Default,,0000,0000,0000,,и втората производна на x.
Dialogue: 0,0:01:21.29,0:01:23.87,Default,,0000,0000,0000,,Ще напиша това като – \Nмисля, че най-лесният запис
Dialogue: 0,0:01:23.87,0:01:26.70,Default,,0000,0000,0000,,ще е просто x прим прим.
Dialogue: 0,0:01:26.70,0:01:30.91,Default,,0000,0000,0000,,Това си е втората производна \Nна x като функция на t.
Dialogue: 0,0:01:30.91,0:01:33.53,Default,,0000,0000,0000,,Ще напиша символа за функция,\Nза да помним,
Dialogue: 0,0:01:33.53,0:01:36.19,Default,,0000,0000,0000,,че става дума за функция на времето.
Dialogue: 0,0:01:36.19,0:01:43.27,Default,,0000,0000,0000,,Това е равно на минус \Nk, по x от t.
Dialogue: 0,0:01:43.27,0:01:46.08,Default,,0000,0000,0000,,И това, което виждаме тук, \Nтоку-що написаното,
Dialogue: 0,0:01:46.08,0:01:49.94,Default,,0000,0000,0000,,е всъщност едно \Nдиференциално уравнение.
Dialogue: 0,0:01:49.94,0:01:52.07,Default,,0000,0000,0000,,А какво представлява \Nдиференциалното уравнение?
Dialogue: 0,0:01:52.07,0:01:54.54,Default,,0000,0000,0000,,Това е уравнение, \Nв което в един израз,
Dialogue: 0,0:01:54.54,0:01:56.69,Default,,0000,0000,0000,,или в едно уравнение, \Nот двете му страни,
Dialogue: 0,0:01:56.69,0:02:00.91,Default,,0000,0000,0000,,нямаме само функция, но и\Nпроизводни на тази функция.
Dialogue: 0,0:02:00.91,0:02:03.68,Default,,0000,0000,0000,,Решението на диференциалното уравнение
Dialogue: 0,0:02:03.68,0:02:06.88,Default,,0000,0000,0000,,не е просто някакво число, нали така?
Dialogue: 0,0:02:06.88,0:02:10.25,Default,,0000,0000,0000,,Решенията на уравненията, с които \Nсе занимавахме преди,
Dialogue: 0,0:02:10.25,0:02:14.42,Default,,0000,0000,0000,,бяха числа или поредица от числа,\Nможе и числова редица.
Dialogue: 0,0:02:14.42,0:02:17.03,Default,,0000,0000,0000,,Но решението на дадено \Nдиференциално уравнение
Dialogue: 0,0:02:17.03,0:02:19.34,Default,,0000,0000,0000,,всъщност ще е функция,
Dialogue: 0,0:02:19.34,0:02:22.34,Default,,0000,0000,0000,,или клас от функции, \Nпоредица от функции.
Dialogue: 0,0:02:22.34,0:02:25.61,Default,,0000,0000,0000,,Така че ще отнеме малко време \Nда си го представиш,
Dialogue: 0,0:02:25.61,0:02:28.10,Default,,0000,0000,0000,,но това е достатъчно \Nдобър пример за показване.
Dialogue: 0,0:02:28.10,0:02:31.97,Default,,0000,0000,0000,,Няма да решаваме това \Nдиференциално уравнение аналитично.
Dialogue: 0,0:02:31.97,0:02:35.98,Default,,0000,0000,0000,,Ще използваме интуицията си\Nот това, което направихме по-рано –
Dialogue: 0,0:02:35.98,0:02:37.68,Default,,0000,0000,0000,,в миналото видео.
Dialogue: 0,0:02:37.68,0:02:40.13,Default,,0000,0000,0000,,Ще използваме това, за да предположим
Dialogue: 0,0:02:40.13,0:02:42.71,Default,,0000,0000,0000,,какво е решението на \Nтова диференциално уравнение.
Dialogue: 0,0:02:42.71,0:02:45.02,Default,,0000,0000,0000,,И после, ако проработи,
Dialogue: 0,0:02:45.02,0:02:46.64,Default,,0000,0000,0000,,ще имаме малко повече интуиция,
Dialogue: 0,0:02:46.64,0:02:49.43,Default,,0000,0000,0000,,след което всъщност ще знаем\Nкакво е местоположението на тази пружина
Dialogue: 0,0:02:49.43,0:02:52.63,Default,,0000,0000,0000,,във всеки един момент.
Dialogue: 0,0:02:52.63,0:02:53.70,Default,,0000,0000,0000,,Вълнуващо е.
Dialogue: 0,0:02:53.70,0:02:56.00,Default,,0000,0000,0000,,Това е едно диференциално уравнение.
Dialogue: 0,0:02:56.00,0:02:57.58,Default,,0000,0000,0000,,Когато показахме нагледно позицията –
Dialogue: 0,0:02:57.58,0:02:59.95,Default,,0000,0000,0000,,интуицията ни за нея с течение на времето
Dialogue: 0,0:02:59.95,0:03:02.82,Default,,0000,0000,0000,,ни казва, че това е \Nкосинусова функция, с амплитуда А.
Dialogue: 0,0:03:02.82,0:03:05.32,Default,,0000,0000,0000,,Казахме, че това е равно на \NA по косинус от омега t,
Dialogue: 0,0:03:05.32,0:03:09.02,Default,,0000,0000,0000,,където това е ъгловата скорост на –
Dialogue: 0,0:03:09.02,0:03:11.40,Default,,0000,0000,0000,,още не искам \Nда навлизам в подробности,
Dialogue: 0,0:03:11.40,0:03:13.30,Default,,0000,0000,0000,,ще добием още малко\Nинтуиция след секунда.
Dialogue: 0,0:03:13.30,0:03:15.25,Default,,0000,0000,0000,,Сега това, което можем да направим,
Dialogue: 0,0:03:15.25,0:03:18.41,Default,,0000,0000,0000,,е да изпитаме този израз, тази функция –
Dialogue: 0,0:03:18.41,0:03:25.24,Default,,0000,0000,0000,,да видим дали тя удовлетворява това уравнение.
Dialogue: 0,0:03:25.24,0:03:28.26,Default,,0000,0000,0000,,Е?
Dialogue: 0,0:03:28.26,0:03:39.40,Default,,0000,0000,0000,,Ако имаме x от t, равно на \NA по косинус от wt,
Dialogue: 0,0:03:39.40,0:03:42.46,Default,,0000,0000,0000,,каква е производната на това, х прим от t?
Dialogue: 0,0:03:42.46,0:03:46.16,Default,,0000,0000,0000,,Можеш да преговориш \Nвидеата за производни,
Dialogue: 0,0:03:46.16,0:03:47.84,Default,,0000,0000,0000,,за да си припомниш това.
Dialogue: 0,0:03:47.84,0:03:50.47,Default,,0000,0000,0000,,Така, това е производната \Nна вътрешната част,
Dialogue: 0,0:03:50.47,0:03:53.58,Default,,0000,0000,0000,,т.е. имаме това омега по външния скалар.
Dialogue: 0,0:03:53.58,0:03:56.34,Default,,0000,0000,0000,,А по омега.
Dialogue: 0,0:03:56.34,0:03:59.06,Default,,0000,0000,0000,,И после производната –\Nпросто прилагам верижното правило –
Dialogue: 0,0:03:59.06,0:04:02.21,Default,,0000,0000,0000,,производната на косинус от t е \Nминус синус от това, което е вътре.
Dialogue: 0,0:04:02.21,0:04:04.78,Default,,0000,0000,0000,,Ще изнеса минуса отвън.
Dialogue: 0,0:04:04.78,0:04:10.92,Default,,0000,0000,0000,,Т.е. това е синус от wt.
Dialogue: 0,0:04:10.92,0:04:14.84,Default,,0000,0000,0000,,След това, ако търсим \Nвтората производна –
Dialogue: 0,0:04:14.84,0:04:20.44,Default,,0000,0000,0000,,това е x прим прим от t.
Dialogue: 0,0:04:20.44,0:04:23.36,Default,,0000,0000,0000,,Нека тук оцветя в различен цвят, \Nза да не е монотонно.
Dialogue: 0,0:04:23.36,0:04:25.54,Default,,0000,0000,0000,,Това е производната \Nна това, нали така?
Dialogue: 0,0:04:25.54,0:04:29.16,Default,,0000,0000,0000,,А каква е производната на – \Nтова са само скаларни величини, нали?
Dialogue: 0,0:04:29.16,0:04:30.75,Default,,0000,0000,0000,,Тези тук са само константи.
Dialogue: 0,0:04:30.75,0:04:32.93,Default,,0000,0000,0000,,Производната на това в скобите е омега.
Dialogue: 0,0:04:32.93,0:04:35.27,Default,,0000,0000,0000,,Умножавам омега \Nпо скаларната константа.
Dialogue: 0,0:04:35.27,0:04:42.99,Default,,0000,0000,0000,,Получавам минус A по омега на квадрат.
Dialogue: 0,0:04:42.99,0:04:45.35,Default,,0000,0000,0000,,След това производната на\Nсинус е само косинус.
Dialogue: 0,0:04:45.35,0:04:47.88,Default,,0000,0000,0000,,Но минусът още е там, \Nзащото трябваше да започна с него.
Dialogue: 0,0:04:47.88,0:04:54.42,Default,,0000,0000,0000,,Минус косинус от омега t.
Dialogue: 0,0:04:54.42,0:04:56.59,Default,,0000,0000,0000,,Сега да видим дали това е така.
Dialogue: 0,0:04:56.59,0:05:00.99,Default,,0000,0000,0000,,Ако е вярно, трябва да мога да кажа,
Dialogue: 0,0:05:00.99,0:05:09.62,Default,,0000,0000,0000,,че m по втората производна на x от t,
Dialogue: 0,0:05:09.62,0:05:12.69,Default,,0000,0000,0000,,което в този случай е това,
Dialogue: 0,0:05:12.69,0:05:21.75,Default,,0000,0000,0000,,умножено по минус А по w\Nна квадрат по косинус от wt.
Dialogue: 0,0:05:21.75,0:05:29.59,Default,,0000,0000,0000,,Това е равно на минус k
Dialogue: 0,0:05:29.59,0:05:32.38,Default,,0000,0000,0000,,по оригиналната ни функция – по x от t.
Dialogue: 0,0:05:32.38,0:05:37.22,Default,,0000,0000,0000,,А x от t e косинус от wt.
Dialogue: 0,0:05:37.22,0:05:39.53,Default,,0000,0000,0000,,Мястото ми свършва.
Dialogue: 0,0:05:39.53,0:05:41.71,Default,,0000,0000,0000,,Да се надяваме, че разбираш какво казвам.
Dialogue: 0,0:05:41.71,0:05:44.87,Default,,0000,0000,0000,,Само заместих x прим \Nприм, втората производна,
Dialogue: 0,0:05:44.87,0:05:50.74,Default,,0000,0000,0000,,в този израз и после заместих x от t,
Dialogue: 0,0:05:50.74,0:05:53.38,Default,,0000,0000,0000,,където това е това, ето тук.
Dialogue: 0,0:05:53.38,0:05:55.07,Default,,0000,0000,0000,,И сега получих това.
Dialogue: 0,0:05:55.07,0:05:56.57,Default,,0000,0000,0000,,Да видим дали мога да го преобразувам.
Dialogue: 0,0:05:56.57,0:05:58.57,Default,,0000,0000,0000,,Може би мога да се освободя \Nот пружината тук горе.
Dialogue: 0,0:05:58.57,0:05:59.51,Default,,0000,0000,0000,,Опитвам се да потърся място.
Dialogue: 0,0:05:59.51,0:06:01.40,Default,,0000,0000,0000,,Не искам да заличавам това, \Nзащото мисля, че
Dialogue: 0,0:06:01.40,0:06:04.11,Default,,0000,0000,0000,,ни дава известна интуиция\Nза това какво правим.
Dialogue: 0,0:06:04.11,0:06:09.46,Default,,0000,0000,0000,,Днес е един от дните, в които\Nмечтая да имам по-голяма черна дъска.
Dialogue: 0,0:06:10.34,0:06:13.16,Default,,0000,0000,0000,,Изтриваме пружината.
Dialogue: 0,0:06:13.16,0:06:16.49,Default,,0000,0000,0000,,Надявам се, че запомни \Nизображението в главата си.
Dialogue: 0,0:06:16.49,0:06:19.19,Default,,0000,0000,0000,,И мога да изтрия това.
Dialogue: 0,0:06:19.19,0:06:21.94,Default,,0000,0000,0000,,Мога да го изтрия.
Dialogue: 0,0:06:21.94,0:06:24.51,Default,,0000,0000,0000,,Мога да залича всичко това, \Nза да имам повече място,
Dialogue: 0,0:06:24.51,0:06:26.52,Default,,0000,0000,0000,,без да премахвам тази хубава крива,
Dialogue: 0,0:06:26.52,0:06:28.54,Default,,0000,0000,0000,,която начертах в миналото видео.
Dialogue: 0,0:06:28.54,0:06:29.75,Default,,0000,0000,0000,,Почти така.
Dialogue: 0,0:06:29.75,0:06:31.86,Default,,0000,0000,0000,,ОК.
Dialogue: 0,0:06:31.86,0:06:35.13,Default,,0000,0000,0000,,Хайде пак на работа.
Dialogue: 0,0:06:35.13,0:06:37.42,Default,,0000,0000,0000,,Вече имам малко повече място.
Dialogue: 0,0:06:37.42,0:06:41.01,Default,,0000,0000,0000,,И така, всчико, което направих, беше –
Dialogue: 0,0:06:41.01,0:06:44.99,Default,,0000,0000,0000,,казахме, че чрез константата \Nна пружината, ако запишем, че силата
Dialogue: 0,0:06:44.99,0:06:47.62,Default,,0000,0000,0000,,е равна на масата по ускорението, \Nполучаваме това.
Dialogue: 0,0:06:47.62,0:06:49.34,Default,,0000,0000,0000,,Което определено е \Nдиференциално уравнение,
Dialogue: 0,0:06:49.34,0:06:52.22,Default,,0000,0000,0000,,само представих ускорението \Nкато втора производна.
Dialogue: 0,0:06:52.22,0:06:55.95,Default,,0000,0000,0000,,След това предположих, че това е x от t,
Dialogue: 0,0:06:55.95,0:06:58.50,Default,,0000,0000,0000,,базирано на интуицията ни от схемата.
Dialogue: 0,0:06:58.50,0:06:59.68,Default,,0000,0000,0000,,Направих предположение.
Dialogue: 0,0:06:59.68,0:07:01.68,Default,,0000,0000,0000,,След това направих втората производна.
Dialogue: 0,0:07:01.68,0:07:04.16,Default,,0000,0000,0000,,Това е първата производна, \Nтова е втората производна.
Dialogue: 0,0:07:04.16,0:07:06.07,Default,,0000,0000,0000,,След това заместих \Nс втората производна тук,
Dialogue: 0,0:07:06.07,0:07:07.45,Default,,0000,0000,0000,,и заместих с функцията тук.
Dialogue: 0,0:07:07.45,0:07:08.77,Default,,0000,0000,0000,,И получих това.
Dialogue: 0,0:07:08.77,0:07:12.50,Default,,0000,0000,0000,,Сега нека видим дали мога\Nда опростя малко нещата.
Dialogue: 0,0:07:12.50,0:07:15.12,Default,,0000,0000,0000,,И така, ако преобразувам тук,
Dialogue: 0,0:07:15.12,0:07:25.04,Default,,0000,0000,0000,,ще получа минус mA по w на квадрат
Dialogue: 0,0:07:25.04,0:07:28.55,Default,,0000,0000,0000,,по косинус от wt
Dialogue: 0,0:07:28.55,0:07:37.33,Default,,0000,0000,0000,,е равно на минус kA по косинус от wt.
Dialogue: 0,0:07:37.33,0:07:38.90,Default,,0000,0000,0000,,Е, добре изглежда досега.
Dialogue: 0,0:07:38.90,0:07:45.95,Default,,0000,0000,0000,,Нека видим, можем да се освободим\Nот отрицателните знаци в двете страни.
Dialogue: 0,0:07:45.95,0:07:47.75,Default,,0000,0000,0000,,От А-тата в двете страни.
Dialogue: 0,0:07:47.75,0:07:50.64,Default,,0000,0000,0000,,Можем да разделим двете страни на А.
Dialogue: 0,0:07:50.64,0:07:54.09,Default,,0000,0000,0000,,Нека това го оцветим в черно, \Nза да знаем, че със сигурност е заличено.
Dialogue: 0,0:07:54.09,0:07:57.52,Default,,0000,0000,0000,,И така, ако се овободим от А от двете страни,
Dialogue: 0,0:07:57.52,0:08:01.04,Default,,0000,0000,0000,,ни остава това.
Dialogue: 0,0:08:01.04,0:08:04.11,Default,,0000,0000,0000,,След това – да видим,\Nимаме m по w на квадрат
Dialogue: 0,0:08:04.11,0:08:08.41,Default,,0000,0000,0000,,по косинус от омега t \Nе равно на k по косинус от омега t.
Dialogue: 0,0:08:08.41,0:08:12.66,Default,,0000,0000,0000,,Така, това уравнение е вярно,\Nако е вярно какво?
Dialogue: 0,0:08:12.66,0:08:20.08,Default,,0000,0000,0000,,Това уравнение е вярно,\Nако m по w на квадрат,
Dialogue: 0,0:08:20.08,0:08:22.63,Default,,0000,0000,0000,,или омега на квадрат \N(мисля, че това е омега),
Dialogue: 0,0:08:22.63,0:08:24.69,Default,,0000,0000,0000,,е равно на k.
Dialogue: 0,0:08:24.69,0:08:28.91,Default,,0000,0000,0000,,Или друг начин да кажем това –\Nако омега, повдигнато на квадрат,
Dialogue: 0,0:08:28.91,0:08:32.91,Default,,0000,0000,0000,,е равно на k/m.
Dialogue: 0,0:08:32.91,0:08:39.70,Default,,0000,0000,0000,,Или омега е равно на \Nкорен квадратен от k/m.
Dialogue: 0,0:08:39.70,0:08:41.22,Default,,0000,0000,0000,,И така, получихме го.
Dialogue: 0,0:08:41.22,0:08:43.96,Default,,0000,0000,0000,,Разбрахме колко \Nтрябва да е x от t.
Dialogue: 0,0:08:43.96,0:08:46.84,Default,,0000,0000,0000,,Казахме, че това диференциално \Nуравнение е вярно,
Dialogue: 0,0:08:46.84,0:08:49.84,Default,,0000,0000,0000,,ако това е x от t и омега \Nе равно на това.
Dialogue: 0,0:08:49.84,0:08:55.21,Default,,0000,0000,0000,,Така сега намерихме\Nреалната функция, която описва
Dialogue: 0,0:08:55.21,0:08:58.23,Default,,0000,0000,0000,,позицията на тази пружина\Nкато функция на времето.
Dialogue: 0,0:08:58.23,0:09:04.70,Default,,0000,0000,0000,,x от t ще е равно на –\Nправилно отсъдихме за А,
Dialogue: 0,0:09:04.70,0:09:07.59,Default,,0000,0000,0000,,и това е просто интуиция –\Nточно така, защото амплитудата
Dialogue: 0,0:09:07.59,0:09:10.74,Default,,0000,0000,0000,,на тази косинусова функция е A.
Dialogue: 0,0:09:10.74,0:09:14.63,Default,,0000,0000,0000,,А по косинус – и вместо да пишем w,
Dialogue: 0,0:09:14.63,0:09:18.88,Default,,0000,0000,0000,,сега можем да запишем \Nкорен квадратен от k/m.
Dialogue: 0,0:09:18.88,0:09:25.35,Default,,0000,0000,0000,,Корен квадратен от k/m, по t.
Dialogue: 0,0:09:25.35,0:09:27.45,Default,,0000,0000,0000,,Това за мен е невероятно.
Dialogue: 0,0:09:27.45,0:09:33.46,Default,,0000,0000,0000,,Сега е налице, без да използваме \Nтолкова сложни изчисления,
Dialogue: 0,0:09:33.46,0:09:34.98,Default,,0000,0000,0000,,цяло решено диференциално уравнение.
Dialogue: 0,0:09:34.98,0:09:38.42,Default,,0000,0000,0000,,И сега мога, ако ми кажеш \Nпри 5,8 секунди къде е x,
Dialogue: 0,0:09:38.42,0:09:39.92,Default,,0000,0000,0000,,мога да ти кажа.
Dialogue: 0,0:09:39.92,0:09:41.88,Default,,0000,0000,0000,,Обаче виждам, че \Nвремето свършва,
Dialogue: 0,0:09:41.88,0:09:45.02,Default,,0000,0000,0000,,така че ще се видим\Nв следващото видео.