1
00:00:00,420 --> 00:00:02,160
И така, в миналото видео

2
00:00:02,160 --> 00:00:05,730
стигнахме до преобразуване
на това уравнение.

3
00:00:05,730 --> 00:00:08,900
И тъкмо получих, че силата 
е равна на масата по ускорението.

4
00:00:08,900 --> 00:00:12,540
И говорех за това, че ако 
x е функция на t,

5
00:00:12,540 --> 00:00:14,110
какво ще е ускорението?

6
00:00:14,110 --> 00:00:17,710
Ами скоростта е производната 
на x по отношение на времето, нали?

7
00:00:17,710 --> 00:00:20,060
Промяната в позицията
върху промяната във времето.

8
00:00:20,060 --> 00:00:23,290
А ускорението е 
производната на скоростта,

9
00:00:23,290 --> 00:00:25,875
или втората производна на позицията.

10
00:00:25,875 --> 00:00:29,350
И така, вземам производната 
два пъти, на х от t, нали така?

11
00:00:29,350 --> 00:00:35,060
Нека пренапишем това уравнение
в тези условия.

12
00:00:35,060 --> 00:00:37,600
Нека изтрия всичко това – 
всъщност искам да го запазя,

13
00:00:37,600 --> 00:00:40,510
за да не забравяме за какво говорим 
през цялото това време.

14
00:00:40,510 --> 00:00:43,800
Да видим дали мога
да го изтрия добре.

15
00:00:43,800 --> 00:00:47,350
Така е доста добре.

16
00:00:48,140 --> 00:00:54,550
Изтриваме всичко това.

17
00:00:55,890 --> 00:00:57,850
Всичко това.

18
00:00:57,850 --> 00:01:01,780
Ще изтрия дори и това.

19
00:01:02,280 --> 00:01:05,070
Много добре, така.

20
00:01:05,070 --> 00:01:08,350
Сега обратно на работа.

21
00:01:08,350 --> 00:01:11,730
И така, знаем, че... надявам се, 
знаеш, че ускорението

22
00:01:11,730 --> 00:01:14,050
е втората производна 
на x като функция на t.

23
00:01:14,060 --> 00:01:18,250
И можем да преобразуваме това 
като произведението на масата

24
00:01:18,250 --> 00:01:21,290
и втората производна на x.

25
00:01:21,290 --> 00:01:23,870
Ще напиша това като – 
мисля, че най-лесният запис

26
00:01:23,870 --> 00:01:26,700
ще е просто x прим прим.

27
00:01:26,700 --> 00:01:30,910
Това си е втората производна 
на x като функция на t.

28
00:01:30,910 --> 00:01:33,530
Ще напиша символа за функция,
за да помним,

29
00:01:33,530 --> 00:01:36,190
че става дума за функция на времето.

30
00:01:36,190 --> 00:01:43,270
Това е равно на минус 
k, по x от t.

31
00:01:43,270 --> 00:01:46,080
И това, което виждаме тук, 
току-що написаното,

32
00:01:46,080 --> 00:01:49,940
е всъщност едно 
диференциално уравнение.

33
00:01:49,940 --> 00:01:52,070
А какво представлява 
диференциалното уравнение?

34
00:01:52,070 --> 00:01:54,540
Това е уравнение, 
в което в един израз,

35
00:01:54,540 --> 00:01:56,690
или в едно уравнение, 
от двете му страни,

36
00:01:56,690 --> 00:02:00,910
нямаме само функция, но и
производни на тази функция.

37
00:02:00,910 --> 00:02:03,680
Решението на диференциалното уравнение

38
00:02:03,680 --> 00:02:06,880
не е просто някакво число, нали така?

39
00:02:06,880 --> 00:02:10,250
Решенията на уравненията, с които 
се занимавахме преди,

40
00:02:10,250 --> 00:02:14,420
бяха числа или поредица от числа,
може и числова редица.

41
00:02:14,420 --> 00:02:17,030
Но решението на дадено 
диференциално уравнение

42
00:02:17,030 --> 00:02:19,340
всъщност ще е функция,

43
00:02:19,340 --> 00:02:22,340
или клас от функции, 
поредица от функции.

44
00:02:22,340 --> 00:02:25,610
Така че ще отнеме малко време 
да си го представиш,

45
00:02:25,610 --> 00:02:28,100
но това е достатъчно 
добър пример за показване.

46
00:02:28,100 --> 00:02:31,970
Няма да решаваме това 
диференциално уравнение аналитично.

47
00:02:31,970 --> 00:02:35,980
Ще използваме интуицията си
от това, което направихме по-рано –

48
00:02:35,980 --> 00:02:37,680
в миналото видео.

49
00:02:37,680 --> 00:02:40,130
Ще използваме това, за да предположим

50
00:02:40,130 --> 00:02:42,710
какво е решението на 
това диференциално уравнение.

51
00:02:42,710 --> 00:02:45,020
И после, ако проработи,

52
00:02:45,020 --> 00:02:46,640
ще имаме малко повече интуиция,

53
00:02:46,640 --> 00:02:49,430
след което всъщност ще знаем
какво е местоположението на тази пружина

54
00:02:49,430 --> 00:02:52,630
във всеки един момент.

55
00:02:52,630 --> 00:02:53,700
Вълнуващо е.

56
00:02:53,700 --> 00:02:56,000
Това е едно диференциално уравнение.

57
00:02:56,000 --> 00:02:57,580
Когато показахме нагледно позицията –

58
00:02:57,580 --> 00:02:59,950
интуицията ни за нея с течение на времето

59
00:02:59,950 --> 00:03:02,820
ни казва, че това е 
косинусова функция, с амплитуда А.

60
00:03:02,820 --> 00:03:05,320
Казахме, че това е равно на 
A по косинус от омега t,

61
00:03:05,320 --> 00:03:09,020
където това е ъгловата скорост на –

62
00:03:09,020 --> 00:03:11,400
още не искам 
да навлизам в подробности,

63
00:03:11,400 --> 00:03:13,300
ще добием още малко
интуиция след секунда.

64
00:03:13,300 --> 00:03:15,250
Сега това, което можем да направим,

65
00:03:15,250 --> 00:03:18,410
е да изпитаме този израз, тази функция –

66
00:03:18,410 --> 00:03:25,240
да видим дали тя удовлетворява това уравнение.

67
00:03:25,240 --> 00:03:28,260
Е?

68
00:03:28,260 --> 00:03:39,400
Ако имаме x от t, равно на 
A по косинус от wt,

69
00:03:39,400 --> 00:03:42,460
каква е производната на това, х прим от t?

70
00:03:42,460 --> 00:03:46,160
Можеш да преговориш 
видеата за производни,

71
00:03:46,160 --> 00:03:47,840
за да си припомниш това.

72
00:03:47,840 --> 00:03:50,470
Така, това е производната 
на вътрешната част,

73
00:03:50,470 --> 00:03:53,580
т.е. имаме това омега по външния скалар.

74
00:03:53,580 --> 00:03:56,340
А по омега.

75
00:03:56,340 --> 00:03:59,055
И после производната –
просто прилагам верижното правило –

76
00:03:59,055 --> 00:04:02,210
производната на косинус от t е 
минус синус от това, което е вътре.

77
00:04:02,210 --> 00:04:04,780
Ще изнеса минуса отвън.

78
00:04:04,780 --> 00:04:10,920
Т.е. това е синус от wt.

79
00:04:10,920 --> 00:04:14,840
След това, ако търсим 
втората производна –

80
00:04:14,840 --> 00:04:20,439
това е x прим прим от t.

81
00:04:20,439 --> 00:04:23,360
Нека тук оцветя в различен цвят, 
за да не е монотонно.

82
00:04:23,360 --> 00:04:25,540
Това е производната 
на това, нали така?

83
00:04:25,540 --> 00:04:29,160
А каква е производната на – 
това са само скаларни величини, нали?

84
00:04:29,160 --> 00:04:30,750
Тези тук са само константи.

85
00:04:30,750 --> 00:04:32,930
Производната на това в скобите е омега.

86
00:04:32,930 --> 00:04:35,270
Умножавам омега 
по скаларната константа.

87
00:04:35,270 --> 00:04:42,990
Получавам минус A по омега на квадрат.

88
00:04:42,990 --> 00:04:45,350
След това производната на
синус е само косинус.

89
00:04:45,350 --> 00:04:47,880
Но минусът още е там, 
защото трябваше да започна с него.

90
00:04:47,880 --> 00:04:54,422
Минус косинус от омега t.

91
00:04:54,422 --> 00:04:56,590
Сега да видим дали това е така.

92
00:04:56,590 --> 00:05:00,990
Ако е вярно, трябва да мога да кажа,

93
00:05:00,990 --> 00:05:09,620
че m по втората производна на x от t,

94
00:05:09,620 --> 00:05:12,690
което в този случай е това,

95
00:05:12,690 --> 00:05:21,750
умножено по минус А по w
на квадрат по косинус от wt.

96
00:05:21,750 --> 00:05:29,590
Това е равно на минус k

97
00:05:29,590 --> 00:05:32,380
по оригиналната ни функция – по x от t.

98
00:05:32,380 --> 00:05:37,220
А x от t e косинус от wt.

99
00:05:37,220 --> 00:05:39,530
Мястото ми свършва.

100
00:05:39,530 --> 00:05:41,710
Да се надяваме, че разбираш какво казвам.

101
00:05:41,710 --> 00:05:44,870
Само заместих x прим 
прим, втората производна,

102
00:05:44,870 --> 00:05:50,740
в този израз и после заместих x от t,

103
00:05:50,740 --> 00:05:53,380
където това е това, ето тук.

104
00:05:53,380 --> 00:05:55,070
И сега получих това.

105
00:05:55,070 --> 00:05:56,570
Да видим дали мога да го преобразувам.

106
00:05:56,570 --> 00:05:58,570
Може би мога да се освободя 
от пружината тук горе.

107
00:05:58,570 --> 00:05:59,510
Опитвам се да потърся място.

108
00:05:59,510 --> 00:06:01,400
Не искам да заличавам това, 
защото мисля, че

109
00:06:01,400 --> 00:06:04,110
ни дава известна интуиция
за това какво правим.

110
00:06:04,110 --> 00:06:09,460
Днес е един от дните, в които
мечтая да имам по-голяма черна дъска.

111
00:06:10,340 --> 00:06:13,160
Изтриваме пружината.

112
00:06:13,160 --> 00:06:16,490
Надявам се, че запомни 
изображението в главата си.

113
00:06:16,490 --> 00:06:19,190
И мога да изтрия това.

114
00:06:19,190 --> 00:06:21,945
Мога да го изтрия.

115
00:06:21,945 --> 00:06:24,510
Мога да залича всичко това, 
за да имам повече място,

116
00:06:24,510 --> 00:06:26,520
без да премахвам тази хубава крива,

117
00:06:26,520 --> 00:06:28,540
която начертах в миналото видео.

118
00:06:28,540 --> 00:06:29,750
Почти така.

119
00:06:29,750 --> 00:06:31,860
ОК.

120
00:06:31,860 --> 00:06:35,130
Хайде пак на работа.

121
00:06:35,130 --> 00:06:37,420
Вече имам малко повече място.

122
00:06:37,420 --> 00:06:41,010
И така, всчико, което направих, беше –

123
00:06:41,010 --> 00:06:44,990
казахме, че чрез константата 
на пружината, ако запишем, че силата

124
00:06:44,990 --> 00:06:47,620
е равна на масата по ускорението, 
получаваме това.

125
00:06:47,620 --> 00:06:49,340
Което определено е 
диференциално уравнение,

126
00:06:49,340 --> 00:06:52,220
само представих ускорението 
като втора производна.

127
00:06:52,220 --> 00:06:55,950
След това предположих, че това е x от t,

128
00:06:55,950 --> 00:06:58,500
базирано на интуицията ни от схемата.

129
00:06:58,500 --> 00:06:59,680
Направих предположение.

130
00:06:59,680 --> 00:07:01,680
След това направих втората производна.

131
00:07:01,680 --> 00:07:04,160
Това е първата производна, 
това е втората производна.

132
00:07:04,160 --> 00:07:06,070
След това заместих 
с втората производна тук,

133
00:07:06,070 --> 00:07:07,450
и заместих с функцията тук.

134
00:07:07,450 --> 00:07:08,770
И получих това.

135
00:07:08,770 --> 00:07:12,500
Сега нека видим дали мога
да опростя малко нещата.

136
00:07:12,500 --> 00:07:15,120
И така, ако преобразувам тук,

137
00:07:15,120 --> 00:07:25,040
ще получа минус mA по w на квадрат

138
00:07:25,040 --> 00:07:28,550
по косинус от wt

139
00:07:28,550 --> 00:07:37,330
е равно на минус kA по косинус от wt.

140
00:07:37,330 --> 00:07:38,900
Е, добре изглежда досега.

141
00:07:38,900 --> 00:07:45,950
Нека видим, можем да се освободим
от отрицателните знаци в двете страни.

142
00:07:45,950 --> 00:07:47,750
От А-тата в двете страни.

143
00:07:47,750 --> 00:07:50,635
Можем да разделим двете страни на А.

144
00:07:50,635 --> 00:07:54,090
Нека това го оцветим в черно, 
за да знаем, че със сигурност е заличено.

145
00:07:54,090 --> 00:07:57,520
И така, ако се овободим от А от двете страни,

146
00:07:57,520 --> 00:08:01,040
ни остава това.

147
00:08:01,040 --> 00:08:04,110
След това – да видим,
имаме m по w на квадрат

148
00:08:04,110 --> 00:08:08,410
по косинус от омега t 
е равно на k по косинус от омега t.

149
00:08:08,410 --> 00:08:12,660
Така, това уравнение е вярно,
ако е вярно какво?

150
00:08:12,660 --> 00:08:20,080
Това уравнение е вярно,
ако m по w на квадрат,

151
00:08:20,080 --> 00:08:22,630
или омега на квадрат 
(мисля, че това е омега),

152
00:08:22,630 --> 00:08:24,686
е равно на k.

153
00:08:24,686 --> 00:08:28,910
Или друг начин да кажем това –
ако омега, повдигнато на квадрат,

154
00:08:28,910 --> 00:08:32,909
е равно на k/m.

155
00:08:32,909 --> 00:08:39,699
Или омега е равно на 
корен квадратен от k/m.

156
00:08:39,699 --> 00:08:41,220
И така, получихме го.

157
00:08:41,220 --> 00:08:43,960
Разбрахме колко 
трябва да е x от t.

158
00:08:43,960 --> 00:08:46,840
Казахме, че това диференциално 
уравнение е вярно,

159
00:08:46,840 --> 00:08:49,840
ако това е x от t и омега 
е равно на това.

160
00:08:49,840 --> 00:08:55,210
Така сега намерихме
реалната функция, която описва

161
00:08:55,210 --> 00:08:58,230
позицията на тази пружина
като функция на времето.

162
00:08:58,230 --> 00:09:04,696
x от t ще е равно на –
правилно отсъдихме за А,

163
00:09:04,696 --> 00:09:07,590
и това е просто интуиция –
точно така, защото амплитудата

164
00:09:07,590 --> 00:09:10,740
на тази косинусова функция е A.

165
00:09:10,740 --> 00:09:14,630
А по косинус – и вместо да пишем w,

166
00:09:14,630 --> 00:09:18,880
сега можем да запишем 
корен квадратен от k/m.

167
00:09:18,880 --> 00:09:25,350
Корен квадратен от k/m, по t.

168
00:09:25,350 --> 00:09:27,450
Това за мен е невероятно.

169
00:09:27,450 --> 00:09:33,460
Сега е налице, без да използваме 
толкова сложни изчисления,

170
00:09:33,460 --> 00:09:34,980
цяло решено диференциално уравнение.

171
00:09:34,980 --> 00:09:38,420
И сега мога, ако ми кажеш 
при 5,8 секунди къде е x,

172
00:09:38,420 --> 00:09:39,920
мога да ти кажа.

173
00:09:39,920 --> 00:09:41,880
Обаче виждам, че 
времето свършва,

174
00:09:41,880 --> 00:09:45,020
така че ще се видим
в следващото видео.